函数 03 求函数的值域

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一、观察法 - 求函数值域

1. 方法原理：

通过直接观察函数的表达式，结合函数的性质（如定义域、函数的简单运算规律等），来确定函数值的取值范围。这种方法适用于比较简单、直观的函数。

2. 示例：

对于函数\(f(x) = 3\)，其定义域为\(R\)，由于函数值恒为\(3\)，所以值域就是\(\{3\}\)。

函数\(f(x) = x^2 + 1\)，\(x \in R\)，因为\(x^2 \geq 0\)，那么\(x^2 + 1 \geq 1\)，所以该函数的值域是\([1, +\infty)\)。

二、配方法 - 求函数值域

1. 方法原理：

对于二次函数或者能转化为二次函数形式的函数，通过配方将函数化为顶点式，再根据二次函数图象的性质（顶点坐标、开口方向等）来确定值域。

2. 示例：

求函数\(y = x^2 - 4x + 3\)的值域。

首先对函数进行配方：\(y = x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 4 - 1 = (x - 2)^2 - 1\)

因为\((x - 2)^2 \geq 0\)，所以\((x - 2)^2 - 1 \geq -1\)，则函数的值域是\([-1, +\infty)\)。

三、换元法 - 求函数值域

1. 方法原理：

当函数表达式中含有根式、分式等较复杂的形式时，通过引入新的变量进行替换，将原函数转化为相对简单的函数，再求其值域。

2. 示例：

求函数\(y = 2x + \sqrt{1 - x}\)的值域。

设\(t = \sqrt{1 - x}\)（\(t \geq 0\)），则\(x = 1 - t^2\)。

原函数可化为：\(y = 2(1 - t^2) + t = -2t^2 + t + 2\)

这就转化成了关于\(t\)的二次函数，其对称轴为\(t = -\frac{1}{2\times(-2)} = \frac{1}{4}\)，开口向下。

因为\(t \geq 0\)，在\(t \geq 0\)这个区间内，函数在\(t = \frac{1}{4}\)时取得最大值，\(y_{max} = -2\times(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} + 2 = \frac{17}{8}\)。

所以函数的值域是\((-\infty, \frac{17}{8}]\)。

四、分离常数法 - 求函数值域

1. 方法原理：

对于分式函数，将分子进行变形，通过分离出常数的方式，把函数化简为一个常数加上一个较简单的分式形式，再根据分式的取值范围来确定函数的值域。

2. 示例：

求函数\(y = \frac{3x + 1}{x - 2}\)的值域。

对函数进行变形：

\[\begin{align*}y &= \frac{3x + 1}{x - 2}\\&= \frac{3(x - 2) + 6 + 1}{x - 2}\\&= \frac{3(x - 2) + 7}{x - 2}\\&= 3 + \frac{7}{x - 2}\end{align*}\]

因为\(\frac{7}{x - 2} \neq 0\)，所以\(y \neq 3\)，则函数的值域是\(\{y|y \neq 3\}\)，用区间表示为\((-\infty, 3) \cup (3, +\infty)\)。

五、判别式法 - 求函数值域

1. 方法原理：

对于形如\(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}\)（\(d \neq 0\)）的函数，将其整理成关于\(x\)的一元二次方程的形式（\(y\)看作参数），然后利用判别式\(\Delta \geq 0\)来确定\(y\)的取值范围，进而得到函数的值域。但要注意原函数定义域对值域的影响以及使方程为二次方程的条件。

2. 示例：

求函数\(y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\)的值域。

将函数变形为：

\[\begin{align*}y(x^2 + x + 1) &= x^2 - x + 1\\(y - 1)x^2 + (y + 1)x + y - 1 &= 0\end{align*}\]

当\(y = 1\)时，方程化为\(2x = 0\)，\(x = 0\)，说明\(y = 1\)在值域内。

当\(y \neq 1\)时，因为\(x\)是实数，所以判别式\(\Delta = (y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0\)。

展开并化简得：

\[\begin{align*}(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 &\geq 0\\y^2 + 2y + 1 - 4(y^2 - 2y + 1) &\geq 0\\y^2 + 2y + 1 - 4y^2 + 8y - 4 &\geq 0\\-3y^2 + 10y - 3 &\geq 0\\3y^2 - 10y + 3 &\leq 0\end{align*}\]

因式分解得\((3y - 1)(y - 3) \leq 0\)，解得\(\frac{1}{3} \leq y \leq 3\)。

综上，函数的值域是\([\frac{1}{3}, 3]\)。

六、利用函数单调性求值域

1. 方法原理：

先判断函数在其定义域内的单调性（增函数或减函数），然后根据定义域的端点值以及函数的单调性来确定函数的值域。

2. 示例：

求函数\(f(x) = x + \frac{1}{x}\)在区间\([1, 3]\)上的值域。

对函数求导得\(f^\prime(x) = 1 - \frac{1}{x^2}\)，在区间\([1, 3]\)内，当\(x \in [1, 3]\)时，\(f^\prime(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \geq 0\)，说明函数在\([1, 3]\)上是增函数。

则\(f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2\)，\(f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)。

所以函数在区间\([1, 3]\)上的值域是\([2, \frac{10}{3}]\)。

七、利用反函数的定义域求值域（适用于存在反函数的函数）

1. 方法原理：

如果函数\(y = f(x)\)存在反函数\(x = f^{-1}(y)\)，那么原函数的值域就是其反函数的定义域，通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。

2. 示例：

求函数\(y = \sqrt{x - 1}\)（\(x \geq 1\)）的值域。

先求其反函数，由\(y = \sqrt{x - 1}\)可得\(x = y^2 + 1\)，即反函数为\(y = x^2 + 1\)（\(x \geq 0\)），其定义域为\([0, +\infty)\)，所以原函数\(y = \sqrt{x - 1}\)的值域就是\([0, +\infty)\)。

八、图象法 - 求函数值域

1. 方法原理：

通过画出函数的图象，直观地观察图象上\(y\)坐标的取值范围，从而确定函数的值域。

2. 示例：

求函数\(y = |x - 1| + |x + 2|\)的值域。

根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，画出函数图象。

当\(x \leq -2\)时，\(y = -(x - 1) - (x + 2) = -2x - 1\)；

当\(-2 < x < 1\)时，\(y = -(x - 1) + (x + 2) = 3\)；

当\(x \geq 1\)时，\(y = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1\)。

画出图象后可以看出，函数图象的最低点纵坐标为\(3\)，所以函数的值域是\([3, +\infty)\)。

不同的函数可能适合不同的求值域方法，在实际解题过程中，需要根据函数的具体形式灵活选用合适的方法来准确求出函数的值域。

求函数值域练习

1. 观察法练习题

（1）求函数\(y = 5 - \sqrt{x^2}\)，\(x\in R\)的值域。

（2）求函数\(y = \frac{1}{x^2 + 1}\)，\(x\in R\)的值域。

（3）已知函数\(y = 3 + |x - 2|\)，\(x\in R\)，求其值域。

2. 配方法练习题

（1）求函数\(y = x^2 + 6x + 5\)的值域。

（2）求函数\(y = -2x^2 - 4x + 1\)，\(x\in R\)的值域。

（3）已知函数\(y = 3x^2 - 12x + 9\)，求其值域。

3. 换元法练习题

（1）求函数\(y = 2x - 3 + \sqrt{x - 1}\)的值域。

（2）求函数\(y = \sqrt{1 - 2x} - x\)的值域。

（3）已知函数\(y = \frac{1}{2}\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x}\)，求其值域。

4. 分离常数法练习题

（1）求函数\(y = \frac{2x + 3}{x - 1}\)的值域。

（2）求函数\(y = \frac{3x - 1}{2x + 5}\)的值域。

（3）已知函数\(y = \frac{x + 1}{3 - x}\)，求其值域。

5. 判别式法练习题

（1）求函数\(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x + 1}\)的值域。

（2）求函数\(y = \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + x + 1}\)的值码。

（3）已知函数\(y = \frac{2x^2 + 5x - 1}{x^2 + 3x + 2}\)，求其值域。

6. 利用函数单调性求值域练习题

（1）求函数\(y = x - \frac{1}{x}\)在区间\([1, 2]\)上的值域。

（2）求函数\(y = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\)在区间\((1, 4)\)上的值域。

（3）已知函数\(y = \ln x + \frac{1}{\ln x}\)在区间\([e, e^2]\)上，求其值域。

7. 利用反函数的定义域求值域练习题

（1）求函数\(y = \sqrt{2x - 3}\)（\(x\geq\frac{3}{2}\)）的值域。

（2）求函数\(y = \frac{1}{1 + \sqrt{x - 1}}\)（\(x\geq1\)）的值域。

（3）已知函数\(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\)（\(x\neq3\)），求其值域。

8. 图象法练习题

（1）求函数\(y = |x + 1| - |x - 3|\)的值域。

（2）求函数\(y = \left\{\begin{array}{l}x^2 - 1, x \leq 0\\ 2x, x > 0\end{array}\right.\)的值域。

（3）已知函数\(y = \sin |x|\)，\(x\in R\)，求其值域。

求函数值域练习答案

1. 观察法答案

（1）因为\(\sqrt{x^2}=\vert x\vert\geq0\)，所以\(y = 5 - \sqrt{x^2}\leq5\)，值域是\((-\infty,5]\)。

（2）因为\(x^2\geq0\)，所以\(x^2 + 1\geq1\)，则\(0<\frac{1}{x^2 + 1}\leq1\)，值域是\((0,1]\)。

（3）因为\(\vert x - 2\vert\geq0\)，所以\(y = 3+\vert x - 2\vert\geq3\)，值域是\([3,+\infty)\)。

2. 配方法答案

（1）\(y = x^2 + 6x + 5=(x + 3)^2 - 4\)，因为\((x + 3)^2\geq0\)，所以\((x + 3)^2 - 4\geq - 4\)，值域是\([-4,+\infty)\)。

（2）\(y=-2x^2 - 4x + 1=-2(x + 1)^2 + 3\)，因为\(-2(x + 1)^2\leq0\)，所以\(-2(x + 1)^2 + 3\leq3\)，值域是\((-\infty,3]\)。

（3）\(y = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 2)^2 - 3\)，因为\(3(x - 2)^2\geq0\)，所以\(3(x - 2)^2 - 3\geq - 3\)，值域是\([-3,+\infty)\)。

3. 换元法答案

（1）设\(t=\sqrt{x - 1}(t\geq0)\)，则\(x=t^2 + 1\)，\(y = 2(t^2 + 1)-3 + t = 2t^2+t - 1\)。对于二次函数\(y = 2t^2+t - 1\)，对称轴为\(t=-\frac{1}{4}\)，开口向上，在\(t\geq0\)时单调递增，当\(t = 0\)时，\(y=-1\)，值域是\([-1,+\infty)\)。

（2）设\(t=\sqrt{1 - 2x}(t\geq0)\)，则\(x=\frac{1 - t^2}{2}\)，\(y=t-\frac{1 - t^2}{2}=\frac{1}{2}t^2 + t-\frac{1}{2}\)。对称轴为\(t=-1\)，开口向上，在\(t\geq0\)时单调递增，当\(t = 0\)时，\(y = -\frac{1}{2}\)，值域是\([-\frac{1}{2},+\infty)\)。

（3）设\(t=\sqrt{x - 1}(t\geq0)\)，则\(x=t^2 + 1\)，\(y=\frac{1}{2}t+\sqrt{4-(t^2 + 1)}=\frac{1}{2}t+\sqrt{3 - t^2}\)。令\(y=f(t)\)，对\(y\)求导分析单调性或者利用三角函数代换等方法可得值域是\([\frac{1}{2},\sqrt{3}+\frac{1}{2}]\)。

4. 分离常数法答案

（1）\(y=\frac{2x + 3}{x - 1}=\frac{2(x - 1)+5}{x - 1}=2+\frac{5}{x - 1}\)，因为\(\frac{5}{x - 1}\neq0\)，所以\(y\neq2\)，值域是\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)。

（2）\(y=\frac{3x - 1}{2x + 5}=\frac{\frac{3}{2}(2x + 5)-\frac{17}{2}}{2x + 5}=\frac{3}{2}-\frac{17}{2(2x + 5)}\)，因为\(\frac{17}{2(2x + 5)}\neq0\)，所以\(y\neq\frac{3}{2}\)，值域是\((-\infty,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2},+\infty)\)。

（3）\(y=\frac{x + 1}{3 - x}=\frac{-(3 - x)+4}{3 - x}=-1+\frac{4}{3 - x}\)，因为\(\frac{4}{3 - x}\neq0\)，所以\(y\neq - 1\)，值域是\((-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)\)。

5. 判别式法答案

（1）由\(y=\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x + 1}\)得\(y(x^2 - x + 1)=x^2 - 2x + 3\)，即\((y - 1)x^2+( - y - 2)x + y - 3 = 0\)。当\(y = 1\)时，\(-3x - 2 = 0\)，\(x=-\frac{2}{3}\)。当\(y\neq1\)时，\(\Delta=( - y - 2)^2 - 4(y - 1)(y - 3)\geq0\)，展开得\(y^2 + 4y+4 - 4(y^2 - 4y + 3)\geq0\)，即\(-3y^2 + 20y - 8\geq0\)，解不等式得\(\frac{2}{3}\leq y\leq\frac{8}{3}\)，值域是\([\frac{2}{3},\frac{8}{3}]\)。

（2）同理，由\(y=\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + x + 1}\)得\((y - 3)x^2+(y - 2)x + y - 1 = 0\)，当\(y = 3\)时，\(x=-1\)。当\(y\neq3\)时，\(\Delta=(y - 2)^2 - 4(y - 3)(y - 1)\geq0\)，展开得\(y^2 - 4y + 4 - 4(y^2 - 4y + 3)\geq0\)，即\(-3y^2 + 12y - 8\geq0\)，解不等式得\(\frac{2}{3}\leq y\leq2\)，值域是\([\frac{2}{3},2]\)。

（3）由\(y=\frac{2x^2 + 5x - 1}{x^2 + 3x + 2}\)得\((y - 2)x^2+(3y - 5)x + 2y + 1 = 0\)，当\(y = 2\)时，\(x=-5\)。当\(y\neq2\)时，\(\Delta=(3y - 5)^2 - 4(y - 2)(2y + 1)\geq0\)，展开得\(9y^2 - 30y + 25 - 4(2y^2 - 3y - 2)\geq0\)，即\(y^2 - 18y + 33\geq0\)，解不等式得\(y\leq9 - 2\sqrt{15}\)或\(y\geq9 + 2\sqrt{15}\)，值域是\((-\infty,9 - 2\sqrt{15}]\cup[9 + 2\sqrt{15},+\infty)\)。

6. 利用函数单调性求值域答案

（1）对\(y = x-\frac{1}{x}\)求导得\(y^\prime=1 + \frac{1}{x^2}>0\)，函数在\([1,2]\)上单调递增，\(y(1)=0\)，\(y(2)=\frac{3}{2}\)，值域是\([0,\frac{3}{2}]\)。

（2）对\(y = \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)求导得\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}>0\)（\(x\in(1,4)\)），函数单调递增，\(y(1)=0\)，\(y(4)=\frac{3}{2}\)，值域是\((0,\frac{3}{2})\)。

（3）对\(y = \ln x+\frac{1}{\ln x}\)，\(x\in[e,e^2]\)，令\(t = \ln x\)，\(t\in[1,2]\)，\(y=t+\frac{1}{t}\)，求导得\(y^\prime=1-\frac{1}{t^2}\geq0\)，函数单调递增，\(y(1)=2\)，\(y(2)=\frac{5}{2}\)，值域是\([2,\frac{5}{2}]\)。

7. 利用反函数的定义域求值域答案

（1）由\(y = \sqrt{2x - 3}\)得\(x=\frac{y^2 + 3}{2}\)，反函数的定义域为\([0,+\infty)\)，所以原函数的值域是\([0,+\infty)\)。

（2）由\(y=\frac{1}{1+\sqrt{x - 1}}\)得\(\sqrt{x - 1}=\frac{1}{y}-1\)，\(x=(\frac{1}{y}-1)^2 + 1\)，反函数定义域为\((0,1]\)，值域是\((0,1]\)。

（3）由\(y=\frac{2x + 1}{x - 3}\)得\(x=\frac{3y + 1}{y - 2}\)，反函数定义域为\(y\neq2\)，值域是\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)。

8. 图象法答案

（1）当\(x\leq - 1\)时，\(y=-(x + 1)+(x - 3)= - 4\)；当\(-1<x<3\)时，\(y=(x + 1)+(x - 3)=2x - 2\)，值域是\([-4,4]\)；当\(x\geq3\)时，\(y=(x + 1)-(x - 3)=4\)，值域是\([-4,4]\)。

（2）当\(x\leq0\)时，\(y = x^2 - 1\geq - 1\)；当\(x>0\)时，\(y = 2x>0\)，值域是\([-1,+\infty)\)。

（3）因为\(\vert x\vert\geq0\)，\(\sin\vert x\vert\)的值域是\([-1,1]\)，值域是\([-1,1]\)。