函数 03 求函数的值域

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、观察法（直接法）

适用范围：解析式简单、可通过基本函数性质直接判断值域的函数（如一次函数、常数函数、简单分式函数等）。

核心思路：根据函数表达式的结构和基本函数的取值范围，直接观察或结合不等式性质得出值域。

1. 求函数 \( y = 2x + 1 \)（\( x \in \mathbb{R} \)）的值域

解：一次函数 \( y = kx + b \)（\( k \neq 0 \)）的值域为 \( \mathbb{R} \)，故值域为 \( (-\infty, +\infty) \)。

2. 求函数 \( y = 5 \)（\( x \in \mathbb{R} \)）的值域

解：常数函数的值域为单元素集，故值域为 \( \{5\} \)。

3. 求函数 \( y = \sqrt{x} + 1 \) 的值域

解：由 \( \sqrt{x} \geq 0 \)，得 \( y = \sqrt{x} + 1 \geq 1 \)，故值域为 \( [1, +\infty) \)。

4. 求函数 \( y = \frac{1}{x} \)（\( x \neq 0 \)）的值域

解：反比例函数 \( y = \frac{1}{x} \) 中，\( x \neq 0 \) 时 \( y \neq 0 \)，故值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。

5. 求函数 \( y = |x| - 2 \) 的值域

解：由 \( |x| \geq 0 \)，得 \( y = |x| - 2 \geq -2 \)，故值域为 \( [-2, +\infty) \)。

二、配方法

适用范围：二次函数（或可转化为二次函数的函数，如含二次项的分式、根式函数）。

核心思路：通过配方将二次函数化为 \( y = a(x - h)^2 + k \) 的形式，结合二次项系数 \( a \) 的符号判断最值，进而确定值域。

1. 求函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 的值域

解：配方得 \( y = (x - 2)^2 - 1 \)，因 \( (x - 2)^2 \geq 0 \)，故 \( y \geq -1 \)，值域为 \( [-1, +\infty) \)。

2. 求函数 \( y = -2x^2 + 4x + 1 \) 的值域

解：配方得 \( y = -2(x - 1)^2 + 3 \)，因 \( -2(x - 1)^2 \leq 0 \)，故 \( y \leq 3 \)，值域为 \( (-\infty, 3] \)。

3. 求函数 \( y = x^2 - 2x + 3 \)（\( x \in [0, 3] \)）的值域

解：配方得 \( y = (x - 1)^2 + 2 \)，对称轴 \( x = 1 \in [0, 3] \)。

当 \( x = 1 \) 时，\( y_{\text{min}} = 2 \)；

当 \( x = 3 \) 时，\( y_{\text{max}} = 6 \)，故值域为 \( [2, 6] \)。

4. 求函数 \( y = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \) 的值域

解：先求内层二次函数 \( t = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4 \)，值域为 \( [0, 4] \)，故 \( y = \sqrt{t} \in [0, 2] \)，即值域为 \( [0, 2] \)。

5. 求函数 \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \) 的值域

解：令 \( t = x^2 \geq 0 \)，则 \( y = t^2 - 2t + 2 = (t - 1)^2 + 1 \geq 1 \)，故值域为 \( [1, +\infty) \)。

三、换元法

适用范围：含根式、分式或三角函数的复杂函数（可通过换元转化为简单函数，如二次函数、一次函数）。

核心思路：引入新变量 \( t \) 替换函数中复杂的部分（如根式、分式），将原函数转化为关于 \( t \) 的简单函数，注意新变量 \( t \) 的取值范围。

1. 求函数 \( y = 2x + \sqrt{x - 1} \) 的值域

解：令 \( t = \sqrt{x - 1} \geq 0 \)，则 \( x = t^2 + 1 \)，原函数化为 \( y = 2(t^2 + 1) + t = 2t^2 + t + 2 \)。

配方得 \( y = 2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{8} \geq \frac{15}{8} \)，故值域为 \( [\frac{15}{8}, +\infty) \)。

2. 求函数 \( y = x + \sqrt{1 - x^2} \) 的值域

解：令 \( x = \sin\theta \)（\( \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)），则 \( \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta \geq 0 \)，

原函数化为 \( y = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \)。

因 \( \theta + \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] \)，故 \( \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1] \)，值域为 \( [-1, \sqrt{2}] \)。

3. 求函数 \( y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) 的值域

解：令 \( t = x^2 \geq 0 \)（\( t \neq 1 \)），则 \( y = \frac{t + 1}{t - 1} = 1 + \frac{2}{t - 1} \)。

当 \( t > 1 \) 时，\( t - 1 > 0 \)，\( \frac{2}{t - 1} > 0 \Rightarrow y > 1 \)；

当 \( 0 \leq t < 1 \) 时，\( t - 1 \in [-1, 0) \)，\( \frac{2}{t - 1} \in (-\infty, -2] \Rightarrow y \leq -1 \)，

故值域为 \( (-\infty, -1] \cup (1, +\infty) \)。

4. 求函数 \( y = \sqrt{2x - 1} - x \) 的值域

解：令 \( t = \sqrt{2x - 1} \geq 0 \)，则 \( x = \frac{t^2 + 1}{2} \)，

原函数化为 \( y = t - \frac{t^2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - 1)^2 \leq 0 \)，

故值域为 \( (-\infty, 0] \)。

5. 求函数 \( y = \sin^2x + \sin x + 1 \) 的值域

解：令 \( t = \sin x \in [-1, 1] \)，则 \( y = t^2 + t + 1 = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \)。

当 \( t = -\frac{1}{2} \) 时，\( y_{\text{min}} = \frac{3}{4} \)；

当 \( t = 1 \) 时，\( y_{\text{max}} = 3 \)，故值域为 \( [\frac{3}{4}, 3] \)。

四、反函数法（逆求法）

适用范围：形如 \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \)（\( c \neq 0 \)，\( ad \neq bc \)）的分式函数（可转化为用 \( y \) 表示 \( x \)，利用分母不为0求值域）。

核心思路：求出原函数的反函数，反函数的定义域即为原函数的值域。

1. 求函数 \( y = \frac{2x + 1}{x - 3} \) 的值域

解：由 \( y = \frac{2x + 1}{x - 3} \) 得 \( x = \frac{3y + 1}{y - 2} \)，反函数定义域为 \( y \neq 2 \)，故原函数值域为 \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \)。

2. 求函数 \( y = \frac{1 - 3x}{2x + 1} \) 的值域

解：由 \( y = \frac{1 - 3x}{2x + 1} \) 得 \( x = \frac{1 - y}{2y + 3} \)，反函数定义域为 \( 2y + 3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{3}{2} \)，故值域为 \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, +\infty) \)。

3. 求函数 \( y = \frac{5x + 2}{2x - 1} \)（\( x \geq 2 \)）的值域

解：由 \( y = \frac{5x + 2}{2x - 1} \) 得 \( x = \frac{y + 2}{2y - 5} \)，因 \( x \geq 2 \)，故 \( \frac{y + 2}{2y - 5} \geq 2 \Rightarrow \frac{-3y + 12}{2y - 5} \geq 0 \Rightarrow \frac{4}{3} \leq y < \frac{5}{2} \)，

故值域为 \( [\frac{4}{3}, \frac{5}{2}) \)。

4. 求函数 \( y = \frac{2x}{x^2 + 1} \) 的值域

解：当 \( x = 0 \) 时，\( y = 0 \)；当 \( x \neq 0 \) 时，\( y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}} \)。

由 \( |x + \frac{1}{x}| \geq 2 \)（均值不等式），得 \( |y| \leq 1 \)，故值域为 \( [-1, 1] \)。

5. 求函数 \( y = \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} \) 的值域

解：整理为 \( yx^2 + (y - 1)x + (y - 1) = 0 \)，当 \( y \neq 0 \) 时，判别式 \( \Delta = (y - 1)^2 - 4y(y - 1) \geq 0 \Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3} \)（\( y \neq 0 \)）；

当 \( y = 0 \) 时，\( x = -1 \) 有解，故值域为 \( [-1, \frac{1}{3}] \)。