函数 03 函数的凹凸性（凹函数、凸函数）

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一、函数的凹凸性定义

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上连续，如果对于区间\(I\)上的任意两点\(x_1\)、\(x_2\)：

当\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leqslant\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)时，称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是凹函数（或下凸函数）

当\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\geqslant\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\)时，称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是凸函数（或上凸函数）

直观地说，凹函数的图象上任意两点连线段的中点，在图象对应的点的上方。

例如，函数\(y = x^{2}\)是凹函数，在其图象上任取两点\((a,a^{2})\)和\((b,b^{2})\)，两点连线中点的纵坐标为\(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\)，而函数在\(\frac{a + b}{2}\)处的函数值为\((\frac{a + b}{2})^{2}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}}{4}\)。

例如，函数\(y=-x^{2}\)是凸函数。

二、函数的凹凸性几何意义

凹函数：

凹函数的图象是向上弯曲的。从切线角度看，凹函数图象上任意一点处的切线在函数图象的下方。

例如，对于函数\(y = e^{x}\)，它是凹函数，在点\((x_0,e^{x_0})\)处的切线方程为\(y - e^{x_0}=e^{x_0}(x - x_0)\)，可以通过比较切线和函数图象的位置关系来验证。

凸函数：

凸函数的图象是向下弯曲的。凸函数图象上任意一点处的切线在函数图象的上方。

例如，函数\(y=\ln x\)（\(x>0\)）是凸函数，在某点处的切线与函数图象的位置关系符合上述特点。

三、函数的凹凸性判断方法

二阶导数法-判断函数的凹凸性：

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)内具有二阶导数:

若\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是凹函数

若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是凸函数

例如，对于函数\(y = 3x^{2}-2x + 1\)，先求一阶导数\(y^{\prime}=6x - 2\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=6>0\)，所以函数\(y = 3x^{2}-2x + 1\)是凹函数。

定义法-判断函数的凹凸性：

按照凹函数和凸函数的定义，通过比较\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\)与\(\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\)的大小关系来判断。

例如，要判断函数\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geqslant0\)）的凹凸性，设\(x_1\geqslant0\)，\(x_2\geqslant0\)，计算\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\sqrt{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}\)，\(\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}=\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{2}\)，然后通过比较大小来判断其凹凸性。

四、利用函数的凹凸性证明不等式

例 1：证明对于任意\(x_1,x_2 \in R\)，有\(\frac{e^{x_1} + e^{x_2}}{2} \geq e^{\frac{x_1 + x_2}{2}}\)

1. 确定函数：

设函数\(f(x)=e^{x}\)，\(x\in R\)。

2. 求函数的二阶导数判断凹凸性：

对\(f(x)=e^{x}\)求一阶导数，\(f^\prime(x)=e^{x}\)。

再求二阶导数，\(f^{\prime\prime}(x)=e^{x}\)。

因为对于任意\(x\in R\)，\(e^{x}>0\)，即\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，所以函数\(y = f(x)=e^{x}\)在\(R\)上是凹函数。

3. 利用凹函数的定义证明不等式：

根据凹函数的定义，对于凹函数\(f(x)\)，在其定义域内任意两点\(x_1\)，\(x_2\)，有\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leq\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)。

这里\(f(x)=e^{x}\)，所以\(e^{\frac{x_1 + x_2}{2}}\leq\frac{e^{x_1} + e^{x_2}}{2}\)，即\(\frac{e^{x_1} + e^{x_2}}{2} \geq e^{\frac{x_1 + x_2}{2}}\)，当且仅当\(x_1 = x_2\)时等号成立。

例 2：证明对于\(x_1,x_2 \in (0, +\infty)\)，\(\frac{\ln x_1 + \ln x_2}{2} \leq \ln\frac{x_1 + x_2}{2}\)

1. 确定函数：

设函数\(f(x)=\ln x\)，\(x\in(0, +\infty)\)。

2. 求函数的二阶导数判断凹凸性：

对\(f(x)=\ln x\)求一阶导数，\(f^\prime(x)=\frac{1}{x}\)。

再求二阶导数，\(f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}\)。

因为对于任意\(x\in(0, +\infty)\)，\(-\frac{1}{x^{2}}<0\)，即\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，所以函数\(y = f(x)=\ln x\)在\((0, +\infty)\)上是凸函数。

3. 利用凸函数的定义证明不等式：

根据凸函数的定义，对于凸函数\(f(x)\)，在其定义域内任意两点\(x_1\)，\(x_2\)，有\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\geq\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)。

这里\(f(x)=\ln x\)，所以\(\ln\frac{x_1 + x_2}{2} \geq \frac{\ln x_1 + \ln x_2}{2}\)，即\(\frac{\ln x_1 + \ln x_2}{2} \leq \ln\frac{x_1 + x_2}{2}\)，当且仅当\(x_1 = x_2\)时等号成立。

例 3：证明对于\(x_1,x_2 \in R\)，\((\frac{x_1 + x_2}{2})^2 \leq \frac{x_1^2 + x_2^2}{2}\)

1. 确定函数：

设函数\(f(x)=x^{2}\)，\(x\in R\)。

2. 求函数的二阶导数判断凹凸性：

对\(f(x)=x^{2}\)求一阶导数，\(f^\prime(x)=2x\)。

再求二阶导数，\(f^{\prime\prime}(x)=2\)。

因为\(f^{\prime\prime}(x)=2>0\)，所以函数\(y = f(x)=x^{2}\)在\(R\)上是凹函数。

3. 利用凹函数的定义证明不等式：

根据凹函数的定义，对于任意\(x_1,x_2\in R\)，有\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leq\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)。

这里\(f(x)=x^{2}\)，则\((\frac{x_1 + x_2}{2})^2 \leq \frac{x_1^2 + x_2^2}{2}\)，当且仅当\(x_1 = x_2\)时等号成立。

一般步骤总结：

1. 分析要证明的不等式，选择合适的函数。

2. 对选定的函数求二阶导数，判断其凹凸性。

3. 根据函数的凹凸性（凹函数\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leq\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)，凸函数\(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\geq\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)），结合所设函数来证明不等式。