三角函数 05 三角函数诱导公式

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1. 诱导公式的概念

诱导公式是指三角函数中，利用角的周期性、对称性等性质，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值的一组公式。这组公式在化简三角函数表达式、求解三角函数方程等方面非常有用。

2. 诱导公式的分类及推导

关于\(k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）与\(\alpha\)的诱导公式（周期性）

公式内容：\(\sin(k\cdot360^{\circ}+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(k\cdot360^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(k\cdot360^{\circ}+\alpha)=\tan\alpha\)。

推导过程：从三角函数的定义出发，在单位圆中，角\(\alpha\)和\(k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）的终边相同。因为三角函数值是由终边与单位圆交点的坐标决定的，终边相同的角对应的三角函数值相等，所以得到上述公式。例如，\(\sin(720^{\circ}+30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，因为\(720^{\circ}\)是\(360^{\circ}\)的整数倍，角的终边位置不变，函数值也就不变。

关于\(-\alpha\)与\(\alpha\)的诱导公式（奇偶性）

公式内容：\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\)。

推导过程：设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，那么角\(-\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P'(x,-y)\)。根据三角函数定义，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(-\alpha\)，\(\sin(-\alpha)= - y\)，\(\cos(-\alpha)=x\)，所以\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。又因为\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)，\(\tan(-\alpha)=\frac{-y}{x}=-\tan\alpha\)。例如，\(\sin(-30^{\circ})=-\sin30^{\circ}=-\frac{1}{2}\)。

关于\(90^{\circ}\pm\alpha\)与\(\alpha\)的诱导公式（互余关系）

公式内容：\(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\tan(90^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}\)；\(\sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(90^{\circ}+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\tan(90^{\circ}+\alpha)=-\frac{1}{\tan\alpha}\)。

推导过程（以\(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\)为例）：设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(90^{\circ}-\alpha\)的终边与单位圆交于点\(Q(y,x)\)。根据三角函数定义，对于角\(\alpha\)，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(90^{\circ}-\alpha\)，\(\sin(90^{\circ}-\alpha)=x\)，\(\cos(90^{\circ}-\alpha)=y\)，所以\(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\)。其余公式可以类似推导或者利用已有的公式和三角函数的基本性质进行推导。例如，\(\sin(90^{\circ}+30^{\circ})=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

关于\(180^{\circ}\pm\alpha\)与\(\alpha\)的诱导公式（互补关系）

公式内容：\(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\tan(180^{\circ}-\alpha)=-\tan\alpha\)；\(\sin(180^{\circ}+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(180^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\tan(180^{\circ}+\alpha)=\tan\alpha\)。

推导过程（以\(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)为例）：设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(180^{\circ}-\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P''(-x,y)\)。根据三角函数定义，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(180^{\circ}-\alpha\)，\(\sin(180^{\circ}-\alpha)=y\)，\(\cos(180^{\circ}-\alpha)= - x\)，所以\(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)。例如，\(\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)。

关于\(270^{\circ}\pm\alpha\)与\(\alpha\)的诱导公式

公式内容：\(\sin(270^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\cos(270^{\circ}-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\tan(270^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}\)；\(\sin(270^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\cos(270^{\circ}+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\tan(270^{\circ}+\alpha)=-\frac{1}{\tan\alpha}\)。

推导过程：可以类似于前面的方法，通过单位圆中角的终边位置以及三角函数定义来推导。例如，设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，找到\(270^{\circ}-\alpha\)和\(270^{\circ}+\alpha\)对应的终边与单位圆的交点坐标，再根据三角函数定义得到相应的公式。

3. 诱导公式的应用

化简三角函数表达式：例如化简\(\sin(180^{\circ}+\theta)\cos(270^{\circ}-\theta)\)，根据诱导公式\(\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta\)，\(\cos(270^{\circ}-\theta)=-\sin\theta\)，所以原式\(=(-\sin\theta)\times(-\sin\theta)=\sin^{2}\theta\)。

求解三角函数方程：如解方程\(\sin(x + 90^{\circ})=\frac{1}{2}\)，由诱导公式\(\sin(x + 90^{\circ})=\cos x\)，则\(\cos x=\frac{1}{2}\)，解得\(x = 2k\pi\pm\frac{\pi}{3}\)，\(k\in Z\)。

如何记忆诱导公式？

1. 理解记忆法

基于三角函数的定义和单位圆：

把诱导公式和单位圆结合起来理解。例如，对于\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)和\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)，可以从单位圆上点的对称性来记忆。当角\(\alpha\)终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)时，角\(-\alpha\)终边与单位圆交于点\(P'(x, - y)\)。根据正弦函数是纵坐标\(y\)，余弦函数是横坐标\(x\)的定义，就能明白为什么\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)而\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。

对于\(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)，在单位圆中，设角\(\alpha\)终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(90^{\circ}-\alpha\)终边与单位圆交于点\(Q(y,x)\)，从正弦和余弦的定义出发，就可以理解这组公式。

利用函数的奇偶性和周期性：

正弦函数是奇函数，所以\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)；

余弦函数是偶函数，所以\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。

这与函数奇偶性的定义相符，从函数性质角度理解可以帮助记忆。

从周期性角度，\(\sin(\alpha + k\cdot360^{\circ})=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha + k\cdot360^{\circ})=\cos\alpha\)（\(k\in Z\)）。

因为三角函数是周期函数，周期为\(360^{\circ}\)（或\(2\pi\)弧度），所以加上整数倍的周期，函数值不变。

2. 口诀记忆法

“奇变偶不变，符号看象限”：

“奇变偶不变”：对于形如\(\sin(k\cdot90^{\circ}\pm\alpha)\)和\(\cos(k\cdot90^{\circ}\pm\alpha)\)（\(k\in Z\)）的诱导公式，当\(k\)为奇数时，函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦）；当\(k\)为偶数时，函数名不变。例如，\(\sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha\)（\(k = 1\)，函数名由正弦变为余弦），\(\sin(180^{\circ}+\alpha)=-\sin\alpha\)（\(k = 2\)，函数名不变）。

“符号看象限”：把\(\alpha\)看作是锐角，然后看原三角函数在\(k\cdot90^{\circ}\pm\alpha\)所在象限的符号。例如，要确定\(\sin(270^{\circ}-\alpha)\)的符号，把\(\alpha\)看作锐角，那么\(270^{\circ}-\alpha\)是第三象限角，第三象限正弦值为负，又因为“奇变偶不变”，这里\(k = 3\)是奇数，函数名由正弦变为余弦，所以\(\sin(270^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\)。

3. 分组记忆法

按照角的关系分组：

可以将诱导公式分为关于负角的一组（如\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)）、关于\(k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）的周期性一组、关于\(90^{\circ}\pm\alpha\)的互余关系一组、关于\(180^{\circ}\pm\alpha\)的互补关系一组和关于\(270^{\circ}\pm\alpha\)的一组。分别理解每组公式的规律和特点，一组一组地记忆。

例如，在记忆关于\(180^{\circ}\pm\alpha\)的公式时，重点理解互补关系，\(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)是因为两角互补，正弦值相等；\(\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\)是因为在单位圆中，\(180^{\circ}-\alpha\)角终边与\(\alpha\)角终边关于\(y\)轴对称，横坐标互为相反数，所以余弦值互为相反数。