高中数学 11 空间向量

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空间向量

在空间中，既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。向量的大小也叫做向量的模（或长度），若向量\(\overrightarrow{a}\)，则其模记为\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。

特殊向量

零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记为\(\overrightarrow{0}\)。零向量的方向是任意的。

单位向量：模为\(1\)的向量叫做单位向量。对于任意一个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，与它同方向的单位向量记作\(\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)相等，记作\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\)。相等向量可以在空间中任意平移，其大小和方向都不会改变。

相反向量：与向量\(\overrightarrow{a}\)长度相等，方向相反的向量叫做\(\overrightarrow{a}\)的相反向量，记作\(-\overrightarrow{a}\)。零向量的相反向量仍是零向量。

向量的关系

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，记作\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)。对于空间任意两个向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)（\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)），\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)的充要条件是存在实数\(\lambda\)，使\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)。

共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。如果两个向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)不共线，那么向量\(\overrightarrow{p}\)与向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)共面的充要条件是存在唯一的有序实数对\((x,y)\)，使\(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}\)。

向量的运算

加法：空间向量的加法运算满足三角形法则和平行四边形法则。即已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，在空间任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)；若以同一点\(A\)为起点的两个已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)为邻边作平行四边形\(ABCD\)，则以\(A\)为起点的对角线\(\overrightarrow{AC}\)就是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和。

减法：\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\)，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。在空间任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)。

数乘：实数\(\lambda\)与空间向量\(\overrightarrow{a}\)的乘积\(\lambda\overrightarrow{a}\)仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)。

数量积：已知两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)叫做\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)的数量积。其中\(\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)表示向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角，范围是\([0,\pi]\)。