圆锥曲线 13 比较圆锥曲线的第一、第二、第三定义

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比较圆锥曲线的第一定义

1. 椭圆的第一定义

定义内容：平面内与两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。即对于平面内任意一点\(P\)，\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)（\(a\gt c\)，其中\(c = |F_1F_2|/2\)）。

举例说明：假设\(F_1(-1,0)\)，\(F_2(1,0)\)，\(a = 2\)，那么点\(P(x,y)\)满足\(\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}} = 4\)的轨迹就是一个椭圆。从几何直观上看，想象用一根长度为\(4\)（\(2a\)）的绳子，两端分别固定在\(F_1\)和\(F_2\)两点，然后用铅笔拉紧绳子移动，铅笔尖画出的轨迹就是椭圆。

曲线形状特点：椭圆是一个封闭曲线，它的形状类似压扁的圆形，关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称，长轴长为\(2a\)，短轴长为\(2b\)（\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)）。

2. 双曲线的第一定义

定义内容：平面内与两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。即对于平面内任意一点\(P\)，\(||PF_1|-|PF_2|| = 2a\)（\(a\lt c\)，其中\(c = |F_1F_2|/2\)）。

举例说明：若\(F_1(-3,0)\)，\(F_2(3,0)\)，\(a = 2\)，则点\(P(x,y)\)满足\(|\sqrt{(x + 3)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x - 3)^{2}+y^{2}}| = 4\)的轨迹是双曲线。从几何角度理解，双曲线可以看作是平面内到两个定点距离之差的绝对值为定值的点的集合，它有两支，分别位于两个定点的两侧。

曲线形状特点：双曲线有两支，分别向不同方向无限延伸，且关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。实轴长为\(2a\)，虚轴长为\(2b\)（\(b^{2}=c^{2}-a^{2}\)），渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，这两条渐近线控制着双曲线无限延伸的趋势。

3. 抛物线的第一定义

定义内容：平面内与一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即对于平面内任意一点\(P\)，点\(P\)到焦点\(F\)的距离等于点\(P\)到准线\(l\)的距离，记为\(|PF| = d\)。

举例说明：对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线\(l\)的方程为\(x = -\frac{p}{2}\)。设点\(P(x,y)\)是抛物线上一点，则\(\sqrt{(x-\frac{p}{2})^{2}+y^{2}}=\vert x +\frac{p}{2}\vert\)，这就是抛物线的第一定义表达式。从几何上看，抛物线是一种开口朝一个方向的曲线，像一个“U”形（以\(y^{2}=2px(p>0)\)为例），焦点位于对称轴上，准线与对称轴平行且在焦点的另一侧。

曲线形状特点：抛物线只有一支，开口方向由其方程形式决定。例如\(y^{2}=2px(p>0)\)开口向右，\(y^{2}=-2px(p>0)\)开口向左，\(x^{2}=2py(p>0)\)开口向上，\(x^{2}=-2py(p>0)\)开口向下。它关于其对称轴完全对称，对称轴过焦点且垂直于准线。

4. 比较

定点与定直线的使用情况

椭圆和双曲线都是基于两个定点来定义的，而抛物线是基于一个定点和一条定直线来定义的。椭圆和双曲线定义中涉及的两个定点对于曲线的中心对称性质起到关键作用；抛物线的定点（焦点）和定直线（准线）决定了其开口方向和对称轴。

距离关系的差异

椭圆是到两定点距离之和为定值，双曲线是到两定点距离之差的绝对值为定值，抛物线是到定点和定直线的距离相等。这些不同的距离关系导致了三种曲线形状的根本差异。椭圆是封闭曲线，双曲线是两支开放曲线，抛物线是单支开放曲线。

曲线的对称性

椭圆和双曲线都具有中心对称性（关于原点对称）和轴对称性（关于\(x\)轴和\(y\)轴），这是因为它们的定义涉及两个定点，其位置关系决定了这种对称性。抛物线只具有轴对称性，其对称轴是通过焦点且垂直于准线的直线，这是由其定义中焦点和准线的位置关系决定的。

比较圆锥曲线的第二定义

1. 椭圆的第二定义

定义内容：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比是常数\(e\)（\(0 < e<1\)）的动点的轨迹为椭圆。设椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)，焦点\(F(c,0)\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)），准线方程\(x=\frac{a^{2}}{c}\)。对于椭圆上任意一点\(P(x,y)\)，\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)，其中\(\vert PF\vert\)是点\(P\)到焦点\(F\)的距离，\(d\)是点\(P\)到准线的距离。

举例：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(a = 2\)，\(b=\sqrt{3}\)，则\(c = 1\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(x = 4\)。设点\(P(x,y)\)在椭圆上，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x = 4\)的距离\(d=\vert x - 4\vert\)，则\(\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}{\vert x - 4\vert}=\frac{1}{2}\)。

2. 双曲线的第二定义

定义内容：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比是常数\(e\)（\(e>1\)）的动点的轨迹为双曲线。设双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，焦点\(F(c,0)\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)），准线方程\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。对于双曲线上任意一点\(P(x,y)\)，\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)，其中\(\vert PF\vert\)是点\(P\)到焦点\(F\)的距离，\(d\)是点\(P\)到准线的距离。

举例：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(c = 5\)，离心率\(e=\frac{5}{3}\)，焦点\(F(5,0)\)，准线\(x=\frac{9}{5}\)。设点\(P(x,y)\)在双曲线上，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - 5)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x=\frac{9}{5}\)的距离\(d=\vert x-\frac{9}{5}\vert\)，则\(\frac{\sqrt{(x - 5)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{9}{5}\vert}=\frac{5}{3}\)。

3. 抛物线的第二定义

定义内容：平面内与一个定点\(F\)（焦点）和一条定直线\(l\)（准线）的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。即对于抛物线上任意一点\(P\)，\(\vert PF\vert=d\)，此时离心率\(e = 1\)。例如，对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线方程\(x = -\frac{p}{2}\)。设点\(P(x,y)\)在抛物线上，则点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x = -\frac{p}{2}\)的距离\(d=\vert x-(-\frac{p}{2})\vert=\vert x+\frac{p}{2}\vert\)，且\(\vert PF\vert=d\)。

4. 比较

离心率的范围：

椭圆离心率\(0 < e<1\)，双曲线离心率\(e>1\)，抛物线离心率\(e = 1\)。

这是三种圆锥曲线在第二定义下最显著的区别，离心率的大小决定了曲线的形状特征。

椭圆是相对封闭、较为“圆润”的曲线；双曲线有两支，形状较为“开放”；抛物线则介于两者之间，只有一支且向一个方向无限延伸。

焦点与准线的关系：

椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，而抛物线只有一个焦点和一条准线。在椭圆和双曲线中，焦点和准线的位置关系对于曲线的对称性等性质有重要影响。例如，椭圆和双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴或原点对称，其焦点和准线的分布也体现了这种对称性；抛物线的焦点和准线则决定了抛物线的开口方向，如\(y^{2}=2px(p>0)\)开口向右，焦点在\(x\)轴正半轴，准线在\(x\)轴负半轴。

轨迹形成的条件：

椭圆是到焦点与准线距离之比为小于\(1\)的常数的点的轨迹，双曲线是到焦点与准线距离之比为大于\(1\)的常数的点的轨迹，抛物线是到焦点与准线距离相等的点的轨迹。这些不同的条件导致了三种圆锥曲线在几何形状和性质上的差异。

比较圆锥曲线的第三定义

1. 椭圆的第三定义

定义内容：平面内的动点到两定点（椭圆的两个端点）连线的斜率之积为定值（该定值为负数且不等于 - 1）的点的轨迹是椭圆。

数学表达式：设\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\)是椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(P(x,y)\)是椭圆上任意一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y}{x + a}\cdot\frac{y}{x - a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)（定值）。

曲线特征体现：这个定义从斜率的角度刻画了椭圆的形状。它表明椭圆上任意一点与长轴两个端点连线的斜率乘积是一个固定的负数，反映了椭圆的弯曲程度和形状特点。

举例：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 2\)，左右顶点为\((- 3,0)\)和\((3,0)\)，设\(P(x,y)\)是椭圆上一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{4}{9}\)。

2. 双曲线的第三定义

定义内容：平面内的动点到两定点（双曲线的两个端点）连线的斜率之积为定值（该定值为正数）的点的轨迹是双曲线。

数学表达式：设\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\)是双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0,b > 0)\)的左右顶点，\(P(x,y)\)是双曲线上任意一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y}{x + a}\cdot\frac{y}{x - a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\)（定值）。

曲线特征体现：通过双曲线上一点与顶点连线斜率之积为定值来定义双曲线，体现了双曲线两支向外无限延伸的特征。这个定值为正，与双曲线的开口方向和渐近线等性质相关联，反映了双曲线的形状变化规律。

举例：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\)，\(a = 2\)，\(b = 3\)，左右顶点为\((-2,0)\)和\((2,0)\)，设\(P(x,y)\)是双曲线上一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{9}{4}\)。

3. 抛物线的第三定义（较特殊）

定义内容（一种表述）：平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹是抛物线。从另一个角度看，抛物线上一点与某一定点连线的斜率和它到准线垂直的直线斜率之积为 - 1（这可以看作一种特殊的“斜率关系”来体现抛物线的特性）。

数学表达式（以\(y^{2}=2px(p>0)\)为例）：设焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线\(x = -\frac{p}{2}\)，\(P(x,y)\)是抛物线上一点，过\(P\)作准线的垂线，垂足为\(H\)，则\(k_{PF}\cdot k_{PH}=- 1\)（\(k_{PH}\)趋近于无穷大时，可从极限角度理解）。

曲线特征体现：抛物线的这种“斜率关系”体现了它的轴对称性和开口特性。因为抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹，所以这种斜率关系反映了其在几何上的独特性质，即所有平行于对称轴的光线经抛物线反射后都会汇聚于焦点（或从焦点发出的光线经反射后平行于对称轴）。

举例：对于抛物线\(y^{2}=4x\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(x = - 1\)，设\(P(x,y)\)是抛物线上一点，过\(P\)作准线的垂线，垂足为\(H\)，当\(P\)点变化时，\(k_{PF}\cdot k_{PH}=-1\)的关系始终成立，这体现了抛物线的反射特性。

4. 比较

斜率乘积的性质

椭圆的斜率乘积是负数且不等于 - 1，这使得椭圆的轨迹是封闭的曲线，其形状是向内部弯曲的。双曲线的斜率乘积是正数，导致双曲线的轨迹是两支向外无限延伸的曲线。抛物线的“斜率关系”相对特殊，更侧重于体现其到定点和定直线距离相等的性质以及反射特性。

曲线形状与斜率关系的联系

椭圆的第三定义通过斜率乘积体现了其作为封闭曲线的特性，其形状是由长轴和短轴决定的，斜率乘积反映了椭圆上点相对于长轴端点的位置变化规律。双曲线的第三定义中的斜率乘积体现了其两支曲线的开放性和渐近线的性质，随着点向无穷远处移动，斜率乘积保持不变，与双曲线的渐近线方向有关。抛物线的“斜率关系”紧密联系着它的对称轴和开口方向，反映了其反射性质和单支无限延伸的特点。