导数 15 导数近似估算

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一、导数近似估算的原理

导数的定义为\(f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)。当\(\Delta x\)很小时，可以用\(\Delta y\approx f^{\prime}(x_{0})\Delta x\)来近似估算函数值的变化量。进而可以得到\(f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Delta x\)。

例如，对于函数\(y = f(x)\)，已知\(f(1)=2\)，\(f^{\prime}(1)=3\)，要估算\(f(1.02)\)的值。这里\(x_{0}=1\)，\(\Delta x = 0.02\)，根据近似公式\(f(1.02)\approx f(1)+f^{\prime}(1)\times(0.02)=2 + 3\times0.02=2.06\)。

二、在几何中的应用（切线近似）

函数\(y = f(x)\)在点\((x_{0}, f(x_{0}))\)处的切线方程为\(y - f(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})(x - x_{0})\)。在\(x\)靠近\(x_{0}\)时，切线可以近似代替曲线。

例如，对于函数\(y=\sqrt{x}\)，在\(x = 4\)处，\(f(4)=\sqrt{4}=2\)，对\(y=\sqrt{x}\)求导得\(y^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f^{\prime}(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\)。

那么在\(x = 4\)附近，\(\sqrt{x}\approx2+\frac{1}{4}(x - 4)\)。

如果要估算\(\sqrt{4.05}\)，令\(x = 4.05\)，则\(\sqrt{4.05}\approx2+\frac{1}{4}(4.05 - 4)=2+\frac{1}{4}\times0.05=2.0125\)。

三、误差分析

设真实值为\(y = f(x_{0}+\Delta x)\)，近似值为\(\hat{y}=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Delta x\)，误差\(E = f(x_{0}+\Delta x)-[f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Delta x]\)。

根据泰勒公式\(f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Delta x+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(\Delta x)^{2}\)（\(\xi\)介于\(x_{0}\)和\(x_{0}+\Delta x\)之间），则误差\(E=\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(\Delta x)^{2}\)。

当\(\Delta x\)足够小时，二阶导数\(f^{\prime\prime}(\xi)\)在局部相对稳定，误差主要取决于\((\Delta x)^{2}\)，并且误差与\(\Delta x\)的平方成正比。例如，对于函数\(y = x^{3}\)，\(y^{\prime}=3x^{2}\)，\(y^{\prime\prime}=6x\)，在\(x = 1\)附近估算函数值，随着\(\Delta x\)的增大，误差会因为\((\Delta x)^{2}\)的增大而增大。

四、导数近似估算的应用

1. 经济学中的成本估算

在企业生产过程中，总成本函数\(C(x)\)表示生产\(x\)单位产品的总成本。边际成本\(C^{\prime}(x)\)表示每增加一单位产品所增加的成本。

例如，已知生产\(100\)件产品时的总成本\(C(100) = 5000\)元，边际成本\(C^{\prime}(100)= 40\)元/件。如果要估算生产\(102\)件产品的总成本，就可以使用导数近似估算。

根据公式\(C(x_{0}+\Delta x)\approx C(x_{0})+C^{\prime}(x_{0})\Delta x\)，这里\(x_{0}=100\)，\(\Delta x = 2\)，则\(C(102)\approx C(100)+C^{\prime}(100)\times2 = 5000+40\times2 = 5080\)元。这能帮助企业快速估算产量变化时的成本变化，从而进行成本控制和定价决策。

2. 物理学中的速度和位移近似计算

在物体做直线运动中，位移函数\(s(t)\)表示物体在时刻\(t\)的位移，速度函数\(v(t)=s^{\prime}(t)\)表示位移对时间的变化率，即瞬时速度。

假设一个物体做直线运动，已知在\(t = 5\)秒时的位移\(s(5)=100\)米，速度\(v(5) = 20\)米/秒。如果要估算\(t = 5.1\)秒时的位移。

由\(s(t_{0}+\Delta t)\approx s(t_{0})+v(t_{0})\Delta t\)，这里\(t_{0}=5\)，\(\Delta t = 0.1\)，则\(s(5.1)\approx s(5)+v(5)\times0.1=100 + 20\times0.1 = 102\)米。这种近似估算在物理实验和实际运动场景（如车辆行驶、物体自由落体等）中，当时间间隔很小时，可以快速得到位移的近似值。

3. 人口增长预测（近似模型）

人口增长模型可以用函数来表示，设\(P(t)\)表示\(t\)时刻的人口数量，人口增长率\(r(t)=P^{\prime}(t)/P(t)\)。

例如，某地区在\(t = 2020\)年的人口\(P(2020)=100\)万人，人口增长率\(r(2020)=0.02\)（假设为常数）。如果要估算\(2021\)年的人口数量。

根据近似公式\(P(t_{0}+\Delta t)\approx P(t_{0})+P^{\prime}(t_{0})\Delta t\)，由于\(P^{\prime}(t)=r(t)P(t)\)，这里\(t_{0}=2020\)，\(\Delta t = 1\)，\(P^{\prime}(2020)=r(2020)P(2020)=0.02\times100 = 2\)万人/年。

则\(P(2021)\approx P(2020)+P^{\prime}(2020)\times1=100 + 2\times1 = 102\)万人。这有助于政府等部门对未来人口资源等方面进行初步规划。