高等数学：求函数的三要素：定义域、值域、解析式

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一、整式函数

对于整式函数（如\(y = ax + b\)、\(y=ax^{2}+bx + c\)等多项式函数），其定义域为全体实数\(R\)。因为对于任意实数\(x\)，整式函数都有确定的函数值。例如\(y = 3x^{2}-2x + 1\)，\(x\)可以取任意实数。

二、分式函数

对于分式函数\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)，其定义域是使分母\(g(x)\neq0\)的实数\(x\)的集合。

例如，对于函数\(y = \frac{1}{x - 1}\)，要使函数有意义，则\(x-1\neq0\)，即\(x\neq1\)，所以该函数的定义域为\(\{x|x\in R,x\neq1\}\)。

三、根式函数

偶次根式：对于函数\(y = \sqrt[n]{f(x)}\)（\(n\)为偶数），其定义域是使\(f(x)\geq0\)的实数\(x\)的集合。

例如，对于函数\(y=\sqrt{x - 2}\)，要使函数有意义，则\(x - 2\geq0\)，即\(x\geq2\)，所以其定义域为\([2,+\infty)\)。

奇次根式：对于函数\(y = \sqrt[n]{f(x)}\)（\(n\)为奇数），其定义域是使\(f(x)\)为实数的全体实数\(x\)的集合，因为奇次方根对被开方数的正负没有限制。

例如，对于函数\(y=\sqrt[3]{x + 1}\)，\(x\)可以取任意实数，定义域为\(R\)。

四、对数函数

对于对数函数\(y=\log_{a}f(x)\)（\(a>0,a\neq1\)），其定义域是使\(f(x)>0\)的实数\(x\)的集合。

例如，对于函数\(y = \log_{2}(x - 1)\)，要使函数有意义，则\(x - 1>0\)，即\(x>1\)，所以其定义域为\((1,+\infty)\)。

五、三角函数

正弦函数\(y = \sin x\)和余弦函数\(y=\cos x\)：定义域为全体实数\(R\)，因为对于任意实数\(x\)，都能确定\(\sin x\)和\(\cos x\)的值。

正切函数\(y = \tan x\)：其定义域是\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)。因为\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，当\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}\)时，\(\cos x = 0\)，函数无定义。

余切函数\(y = \cot x\)：其定义域是\(x\neq k\pi,k\in Z\)。因为\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，当\(x = k\pi\)时，\(\sin x = 0\)，函数无定义。

六、反三角函数

反正弦函数\(y = \arcsin x\)：其定义域是\([-1,1]\)。因为正弦函数的值域是\([-1,1]\)，所以反正弦函数的定义域是\([-1,1]\)。

反余弦函数\(y=\arccos x\)：其定义域是\([-1,1]\)。因为余弦函数的值域是\([-1,1]\)，所以反余弦函数的定义域是\([-1,1]\)。

反正切函数\(y=\arctan x\)：其定义域是\(R\)，因为正切函数的值域是\(R\)，所以反正切函数的定义域是全体实数。

反余切函数\(y = \text{arccot}x\)：其定义域是\(R\)，因为余切函数的值域是\(R\)，所以反余切函数的定义域是全体实数。

七、复合函数

对于复合函数\(y = f(g(x))\)，首先要确定\(g(x)\)的定义域，然后在\(g(x)\)的定义域内确定使\(f(u)\)（令\(u = g(x)\)）有意义的\(x\)的取值范围。

例如，对于函数\(y=\sqrt{\log_{2}(x - 1)}\)，先考虑\(\log_{2}(x - 1)\)的定义域为\(x>1\)，再考虑\(\sqrt{u}\)（\(u=\log_{2}(x - 1)\)）的定义域要求\(u\geq0\)，即\(\log_{2}(x - 1)\geq0\)，解得\(x\geq2\)，所以函数\(y=\sqrt{\log_{2}(x - 1)}\)的定义域为\([2,+\infty)\)。

一、函数加法运算

设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。

则函数\((f + g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)（非空），且\((f + g)(x)=f(x)+g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，定义域\(D_{f}=[0,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{1 - x}\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,1]\)。

首先求\((f + g)(x)\)的定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=[0,1]\)。

然后\((f + g)(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1 - x}\)，\(x\in[0,1]\)。

例2：设\(f(x)=x^{2}+1\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，定义域\(D_{g}=\{x|x\neq0\}\)。

其定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=\{x|x\neq0\}\)。

\((f + g)(x)=x^{2}+1+\frac{1}{x}\)，\(x\in\{x|x\neq0\}\)。

二、函数减法运算

设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。

则函数\((f - g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)，且\((f - g)(x)=f(x)-g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=3x - 2\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=x^{2}\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

\((f - g)(x)=(3x - 2)-x^{2}=-x^{2}+3x - 2\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

例2：设\(f(x)=\sqrt{x + 3}\)，定义域\(D_{f}=[- 3,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{2x}\)，定义域\(D_{g}=[0,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=[0,+\infty)\)。

\((f - g)(x)=\sqrt{x + 3}-\sqrt{2x}\)，\(x\in[0,+\infty)\)。

三、函数乘法运算

设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。

则函数\((f\cdot g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)，且\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=x\sin x\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=\cos x\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

\((f\cdot g)(x)=x\sin x\cos x\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

例2：设\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，定义域\(D_{f}=(-1,+\infty)\)，\(g(x)=\frac{1}{x - 1}\)，定义域\(D_{g}=\{x|x\neq1\}\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。

\((f\cdot g)(x)=\frac{\log_{2}(x + 1)}{x - 1}\)，\(x\in(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。

四、函数除法运算

设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。

则函数\((\frac{f}{g})(x)\)的定义域为\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}\neq\varnothing\)，且\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=x^{2}-1\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=x - 1\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}=\{x|x\neq1\}\)。

\((\frac{f}{g})(x)=\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=x + 1\)（\(x\neq1\)）。

例2：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，定义域\(D_{f}=[0,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{x - 1}\)，定义域\(D_{g}=[1,+\infty)\)。

定义域\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}=[1,+\infty)\)。

\((\frac{f}{g})(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}=\sqrt{\frac{x}{x - 1}}\)，\(x\in[1,+\infty)\)。

求函数值域的方法

1、观察法

适用范围：对于一些简单的函数，通过观察函数的性质和定义域直接确定值域。

示例：对于函数\(y = 3x+ 1\)，\(x\in[1,2]\)。因为\(x\)在\([1,2]\)范围内，当\(x = 1\)时，\(y = 3\times1+1=4\)；当\(x = 2\)时，\(y=3\times2 + 1=7\)。所以函数的值域是\([4,7]\)。

2、配方法

适用范围：二次函数或者可转化为二次函数形式的函数。

示例：对于函数\(y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4\)。因为\((x + 1)^{2}\geqslant0\)，所以\((x + 1)^{2}-4\geqslant - 4\)，函数的值域是\([-4,+\infty)\)。

3、换元法

适用范围：函数表达式中含有根式、指数、对数等复杂形式，通过换元将函数转化为熟悉的形式。

示例：对于函数\(y = 2x+\sqrt{x - 1}\)，设\(t=\sqrt{x - 1}(t\geqslant0)\)，则\(x=t^{2}+1\)。原函数可化为\(y = 2(t^{2}+1)+t=2t^{2}+t + 2\)。对于二次函数\(y = 2t^{2}+t + 2\)，其对称轴为\(t=-\frac{1}{4}\)，因为\(t\geqslant0\)，函数在\([0,+\infty)\)上单调递增。当\(t = 0\)时，\(y = 2\)，所以函数的值域是\([2,+\infty)\)。

4、判别式法

适用范围：对于形如\(y=\frac{ax^{2}+bx + c}{dx^{2}+ex + f}\)（\(a,d\)不同时为\(0\)）的函数。

示例：对于函数\(y=\frac{x^{2}-x + 1}{x^{2}+x + 1}\)，将其变形为\((y - 1)x^{2}+(y + 1)x+(y - 1)=0\)。当\(y\neq1\)时，因为\(x\)是实数，所以判别式\(\Delta=(y + 1)^{2}-4(y - 1)^{2}\geqslant0\)，解这个不等式得到\(\frac{1}{3}\leqslant y\leqslant3\)。当\(y = 1\)时，代入原函数成立，所以函数的值域是\([\frac{1}{3},3]\)。

5、反函数法

适用范围：如果函数\(y = f(x)\)存在反函数\(x = f^{-1}(y)\)，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。

示例：对于函数\(y=\frac{1}{x}+1\)（\(x\neq0\)），求其反函数，由\(y=\frac{1}{x}+1\)得\(x=\frac{1}{y - 1}\)，反函数的定义域是\(y\neq1\)，所以原函数的值域是\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。

6、不等式法

适用范围：利用基本不等式\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立）等不等式来确定函数的值域。

示例：对于函数\(y = x+\frac{1}{x}\)（\(x>0\)），根据基本不等式\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x = 1\)时等号成立，所以函数在\(x>0\)时的值域是\([2,+\infty)\)。

7、函数单调性法

适用范围：对于单调递增或单调递减的函数。

示例：对于函数\(y = 2^{x}-1\)，因为指数函数\(y = 2^{x}\)在\(R\)上单调递增，所以\(y = 2^{x}-1\)在\(R\)上也单调递增。当\(x\to-\infty\)时，\(y\to - 1\)；当\(x\to+\infty\)时，\(y\to+\infty\)，所以函数的值域是\((-1,+\infty)\)。

8、图像法

适用范围：对于各种函数，通过画出函数的图像，观察\(y\)轴上的取值范围来确定值域。

示例：对于函数\(y=\vert x - 1\vert+2\)，其图像是将\(y=\vert x\vert\)的图像向右平移\(1\)个单位，再向上平移\(2\)个单位。从图像可以看出，函数的值域是\([2,+\infty)\)。

求函数的解析式的方法

1、待定系数法

适用情况：已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等），求函数的解析式。

步骤：

先设出函数的一般形式。

例如，若已知是一次函数，则设\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)）；若是二次函数，设\(y=ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)）。

根据已知条件列出关于待定系数（如\(k\)、\(b\)或\(a\)、\(b\)、\(c\)等）的方程组。

解方程组求出待定系数的值，从而确定函数的解析式。

示例：已知二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)的图像经过点\((1, - 1)\)，\((2,1)\)，\(( - 1,1)\)。将这三个点代入函数可得方程组\(\begin{cases}a + b + c=-1\\4a + 2b + c = 1\\a - b + c = 1\end{cases}\)，解这个方程组，由第一个方程\(a + b + c=-1\)减去第三个方程\(a - b + c = 1\)，可得\(2b=-2\)，即\(b=-1\)。将\(b = - 1\)代入第一个方程得\(a + c = 0\)，再将\(b = - 1\)代入第二个方程得\(4a + c = 3\)，然后用\(4a + c = 3\)减去\(a + c = 0\)得\(3a = 3\)，即\(a = 1\)，进而可得\(c=-1\)。所以函数解析式为\(y=x^{2}-x - 1\)。

2、换元法

适用情况：函数表达式中含有某一个式子的多次出现，通过换元将复杂的函数关系转化为简单的函数关系来求解解析式。

步骤：

设一个新的变量来代替式子中重复出现的部分。

例如，对于函数\(f(x + 1)=x^{2}+2x\)，可设\(t=x + 1\)，则\(x=t - 1\)。

将原函数中的变量用新变量表示，得到关于新变量的函数表达式。此时\(f(t)=(t - 1)^{2}+2(t - 1)=t^{2}-2t + 1+2t - 2=t^{2}-1\)。

最后将新变量换回到原变量，得到原函数的解析式\(f(x)=x^{2}-1\)。

3、配凑法

适用情况：当已知复合函数的表达式，且能通过对表达式进行变形、配凑，直接得到原函数的解析式时使用。

步骤：

对已知的函数表达式进行变形和配凑。

例如，已知\(f(x + 1)=x^{2}+2x + 3\)，将右边式子变形为\(f(x + 1)=x^{2}+2x + 1+2=(x + 1)^{2}+2\)。

直接得出原函数的解析式\(f(x)=x^{2}+2\)。

4、方程组法（消元法）

适用情况：当已知函数\(f(x)\)满足的两个或多个关系式，且这些关系式中含有\(f(x)\)与\(f(\frac{1}{x})\)、\(f(-x)\)等形式时使用。

步骤：

根据已知条件列出方程组。

例如，已知\(f(x)+2f(\frac{1}{x})=3x\)，将\(x\)换为\(\frac{1}{x}\)，可得\(f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}\)。

通过解方程组消去其他形式的函数，求出\(f(x)\)的解析式。将\(f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}\)两边乘以\(2\)得\(2f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{6}{x}\)，用这个式子减去\(f(x)+2f(\frac{1}{x})=3x\)，可得\(3f(x)=\frac{6}{x}-3x\)，即\(f(x)=\frac{2}{x}-x\)。

5、特殊值法（赋值法）

适用情况：当函数\(f(x)\)满足的关系式对于定义域内的任意值都成立，通过给变量赋特殊值来求解函数解析式。

步骤：

选择合适的特殊值代入函数关系式。

例如，对于函数\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=2\)，令\(x = y = 0\)，可得\(f(0)=f(0)+f(0)\)，解得\(f(0)=0\)。再令\(y = 1\)，则\(f(x + 1)=f(x)+f(1)=f(x)+2\)，由此可以推出\(f(x)\)是一个首项为\(f(1)=2\)，公差为\(2\)的等差数列，根据等差数列通项公式可得\(f(x)=2x\)。

6、利用函数的性质求解析式

适用情况：已知函数的奇偶性、周期性、对称性等性质来求函数的解析式。

步骤：

根据函数的性质建立等式。

例如，已知\(y = f(x)\)是偶函数，则\(f(x)=f(-x)\)。若已知\(f(x)\)在\(x>0\)时的表达式为\(f(x)=x^{2}-1\)，那么当\(x<0\)时，\(f(x)=f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1\)，所以\(f(x)=x^{2}-1\)（\(x\in R\)）。

结合已知条件求出函数在整个定义域上的解析式。