高等数学：函数的单调性、凹凸性、拐点、极值、最值

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函数的单调性由一阶导数符号决定，反映函数的增减趋势；

函数的凹凸性由二阶导数符号决定，描述函数曲线的弯曲方向；

函数的拐点是凹凸性的分界点，需验证二阶导数变号；

函数的极值是局部最值，由导数为零或不存在且两侧单调性改变时产生；

函数的最值是整体概念，需在极值点和区间端点中比较得出。

一、函数的单调性

若函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 内，对任意 \( x_1 < x_2 \) 满足 \( f(x_1) \leq f(x_2) \)（或 \( f(x_1) \geq f(x_2) \)），则称 \( f(x) \) 在 \( I \) 上单调递增（或递减）。

利用一阶导数 \( f'(x) \)判别单调性： 若 \( f'(x) > 0 \)，则 \( f(x) \) 单调递增； 若 \( f'(x) < 0 \)，则 \( f(x) \) 单调递减。

例1：单调递增函数 \( f(x) = e^x \)

导数 \( f'(x) = e^x > 0 \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立，故在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。

\( f(x) = x^3 \)

导数 \( f'(x) = 3x^2 \geq 0 \)，且仅当 \( x=0 \) 时等号成立，故在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。

\( f(x) = \arctan x \)

导数 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} > 0 \)，在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。

例2：单调递减函数 \( f(x) = e^{-x} \)

导数 \( f'(x) = -e^{-x} < 0 \)，在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递减。

\( f(x) = \ln \frac{1}{x} \)（\( x > 0 \)）

导数 \( f'(x) = -\frac{1}{x} < 0 \)，在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。

\( f(x) = -x^3 + 3x \)（部分区间）

导数 \( f'(x) = -3x^2 + 3 \)，当 \( |x| > 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，故在 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \) 上单调递减。

例3：非单调函数（分段单调） \( f(x) = x^2 - 2x \)

导数 \( f'(x) = 2x - 2 \)，当 \( x < 1 \) 时 \( f'(x) < 0 \)（递减），当 \( x > 1 \) 时 \( f'(x) > 0 \)（递增）。

\( f(x) = \sin x \)

导数 \( f'(x) = \cos x \)，在 \( [2k\pi, 2k\pi+\pi] \) 上递增，在 \( [2k\pi+\pi, 2k\pi+2\pi] \) 上递减（\( k \in \mathbb{Z} \)）。

\( f(x) = \frac{1}{x} \)（\( x \neq 0 \)）

导数 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)，在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (0, +\infty) \) 上分别单调递减，但整体非单调（因区间不连续）。

二、函数的凹凸性

若函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 内，对任意 \( x_1, x_2 \in I \) 和 \( \lambda \in (0,1) \) 满足：

\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)，则为凸函数（下凸）；

\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)，则为凹函数（上凸）。

利用二阶导数 \( f''(x) \)判别函数的凹凸性： \( f''(x) > 0 \)，则 \( f(x) \) 为凸函数； 若 \( f''(x) < 0 \)，则 \( f(x) \) 为凹函数。

例1：凸函数（下凸） \( f(x) = x^2 \)

二阶导数 \( f''(x) = 2 > 0 \)，在 \( (-\infty, +\infty) \) 上为凸函数，图像呈“U”型。

\( f(x) = e^x \)

二阶导数 \( f''(x) = e^x > 0 \)，在 \( (-\infty, +\infty) \) 上为凸函数。

\( f(x) = -\ln x \)（\( x > 0 \)）

二阶导数 \( f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)，在 \( (0, +\infty) \) 上为凸函数。

例2：凹函数（上凸） \( f(x) = -x^2 \)

二阶导数 \( f''(x) = -2 < 0 \)，在 \( (-\infty, +\infty) \) 上为凹函数，图像呈“∩”型。

\( f(x) = \sin x \)（\( x \in (0, \pi) \)）

二阶导数 \( f''(x) = -\sin x < 0 \)，在 \( (0, \pi) \) 上为凹函数。

\( f(x) = \sqrt{x} \)（\( x > 0 \)）

二阶导数 \( f''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} < 0 \)，在 \( (0, +\infty) \) 上为凹函数。

例3：混合凹凸性函数 \( f(x) = x^3 \)

二阶导数 \( f''(x) = 6x \)，当 \( x > 0 \) 时 \( f''(x) > 0 \)（凸），当 \( x < 0 \) 时 \( f''(x) < 0 \)（凹）。

\( f(x) = x^4 - 2x^2 \)

二阶导数 \( f''(x) = 12x^2 - 4 \)，当 \( |x| > \frac{1}{\sqrt{3}} \) 时 \( f''(x) > 0 \)（凸），当 \( |x| < \frac{1}{\sqrt{3}} \) 时 \( f''(x) < 0 \)（凹）。

\( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)

二阶导数 \( f''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \)，当 \( |x| < 1 \) 时 \( f''(x) > 0 \)（凸），当 \( |x| > 1 \) 时 \( f''(x) < 0 \)（凹）。

三、拐点（凹凸性发生改变的点）

函数 \( f(x) \) 的凹凸性发生改变的点，即二阶导数 \( f''(x) \) 变号的点（或 \( f''(x) \) 不存在但凹凸性改变的点）。

判别步骤： 1. 求 \( f''(x) \)； 2. 找到 \( f''(x)=0 \) 或不存在的点； 3. 验证该点两侧 \( f''(x) \) 的符号是否相反。

例1：二阶导数为零的拐点 \( f(x) = x^3 \)

\( f''(x) = 6x \)，当 \( x=0 \) 时 \( f''(0)=0 \)，且 \( x<0 \) 时 \( f''(x)<0 \)（凹），\( x>0 \) 时 \( f''(x)>0 \)（凸），故 \( (0,0) \) 是拐点。

\( f(x) = \sin x \)

\( f''(x) = -\sin x \)，当 \( x=k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）时 \( f''(x)=0 \)，两侧凹凸性改变，故 \( (k\pi, 0) \) 是拐点。

\( f(x) = x^4 - 4x^3 \)

\( f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2) \)，当 \( x=0 \) 和 \( x=2 \) 时 \( f''(x)=0 \)，验证得 \( (0,0) \) 和 \( (2, -16) \) 均为拐点。

例2：二阶导数不存在的拐点 \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \)

二阶导数 \( f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}} \)，在 \( x=0 \) 处不存在，且 \( x<0 \) 时 \( f''(x)>0 \)（凸），\( x>0 \) 时 \( f''(x)<0 \)（凹），故 \( (0,0) \) 是拐点。

\( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

二阶导数在 \( x=0 \) 处不存在，\( x<0 \) 时 \( f''(x)<0 \)（凹），\( x>0 \) 时 \( f''(x)>0 \)（凸），故 \( (0,0) \) 是拐点。

\( f(x) = (x-1)^{\frac{2}{3}} \)

二阶导数在 \( x=1 \) 处不存在，\( x<1 \) 时 \( f''(x)>0 \)（凸），\( x>1 \) 时 \( f''(x)<0 \)（凹），故 \( (1,0) \) 是拐点。

例3：二阶导数为零但非拐点的点 \( f(x) = x^4 \)

\( f''(x) = 12x^2 \)，当 \( x=0 \) 时 \( f''(0)=0 \)，但两侧 \( f''(x) \geq 0 \)（始终凸），故 \( (0,0) \) 不是拐点。

\( f(x) = (x-1)^4 \)

\( f''(x) = 12(x-1)^2 \)，\( x=1 \) 时 \( f''(x)=0 \)，但两侧均为凸，无凹凸性变化，非拐点。

\( f(x) = \cos x \)（在 \( x=2k\pi \) 处）

\( f''(x) = -\cos x \)，当 \( x=2k\pi \) 时 \( f''(x)=-1 \neq 0 \)，非拐点；而 \( x=2k\pi+\frac{\pi}{2} \) 时 \( f''(x)=0 \) 且凹凸性改变，是拐点。

四、极值（极大值与极小值）

若函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某邻域内满足 \( f(x_0) \geq f(x) \)（或 \( f(x_0) \leq f(x) \)），则 \( f(x_0) \) 为极大值（或极小值），\( x_0 \) 为极值点。

函数极值的判别方法：

一阶导数法：\( f'(x_0)=0 \) 且两侧导数变号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。

二阶导数法：\( f'(x_0)=0 \) 且 \( f''(x_0) < 0 \)（极大值），\( f''(x_0) > 0 \)（极小值）。

例1：极大值点 \( f(x) = -x^2 + 2x \)

导数 \( f'(x) = -2x + 2 \)，令 \( f'(x)=0 \) 得 \( x=1 \)，二阶导数 \( f''(1)=-2 < 0 \)，故 \( x=1 \) 为极大值点，极大值 \( f(1)=1 \)。

\( f(x) = \sin x \)（\( x \in [0, 2\pi] \)）

导数 \( f'(x) = \cos x \)，在 \( x=\frac{\pi}{2} \) 处 \( f'(x)=0 \)，左侧 \( f'(x)>0 \)，右侧 \( f'(x)<0 \)，故为极大值点，极大值 \( f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \)。

\( f(x) = x\sqrt{3 - x} \)（\( x \leq 3 \)）

导数 \( f'(x) = \sqrt{3 - x} - \frac{x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} \)，令 \( f'(x)=0 \) 得 \( x=2 \)，二阶导数 \( f''(2)=-\frac{3}{4} < 0 \)，故 \( x=2 \) 为极大值点，极大值 \( f(2)=2 \)。

例2：极小值点 \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)

导数 \( f'(x) = 2x - 4 \)，令 \( f'(x)=0 \) 得 \( x=2 \)，二阶导数 \( f''(2)=2 > 0 \)，故 \( x=2 \) 为极小值点，极小值 \( f(2)=1 \)。

\( f(x) = e^x - x \)

导数 \( f'(x) = e^x - 1 \)，令 \( f'(x)=0 \) 得 \( x=0 \)，二阶导数 \( f''(0)=1 > 0 \)，故 \( x=0 \) 为极小值点，极小值 \( f(0)=1 \)。

\( f(x) = x - \ln x \)（\( x > 0 \)）

导数 \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x} \)，令 \( f'(x)=0 \) 得 \( x=1 \)，二阶导数 \( f''(1)=1 > 0 \)，故 \( x=1 \) 为极小值点，极小值 \( f(1)=1 \)。

例3：导数不存在的极值点 \( f(x) = |x| \)

在 \( x=0 \) 处导数不存在，但左侧 \( f(x) \) 递减，右侧递增，故 \( x=0 \) 为极小值点，极小值 \( f(0)=0 \)。

\( f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2} \)

在 \( x=0 \) 处导数不存在，左侧 \( f(x) \) 递增，右侧递减，故 \( x=0 \) 为极大值点，极大值 \( f(0)=1 \)。

\( f(x) = (x-1)^{\frac{2}{3}} \)

在 \( x=1 \) 处导数不存在，左侧 \( f(x) \) 递减，右侧递增，故 \( x=1 \) 为极小值点，极小值 \( f(1)=0 \)。

五、最值（最大值与最小值）

函数在区间 \( I \) 上的整体最大（小）值，可能出现在极值点或区间端点。

函数最值的求解步骤： 1. 求区间内所有极值点； 2. 计算极值点和端点的函数值； 3. 比较得出最大（小）值。

例1：闭区间上的最值 \( f(x) = x^3 - 3x \)，\( x \in [-2, 2] \)

导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，极值点 \( x=1 \)（极小值 \( f(1)=-2 \)），\( x=-1 \)（极大值 \( f(-1)=2 \)）；

端点值 \( f(-2)=-2 \)，\( f(2)=2 \)；

最大值为 \( 2 \)（在 \( x=-1 \) 和 \( x=2 \) 处），最小值为 \( -2 \)（在 \( x=1 \) 和 \( x=-2 \) 处）。

\( f(x) = \sin x + \cos x \)，\( x \in [0, \pi] \)

导数 \( f'(x) = \cos x - \sin x \)，极值点 \( x=\frac{\pi}{4} \)（极大值 \( f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \)）；

端点值 \( f(0)=1 \)，\( f(\pi)=-1 \)；

最大值为 \( \sqrt{2} \)，最小值为 \( -1 \)。

\( f(x) = x^2 e^{-x} \)，\( x \in [0, 3] \)

导数 \( f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x)e^{-x} \)，极值点 \( x=0 \)（端点），\( x=2 \)（极大值 \( f(2)=\frac{4}{e^2} \approx 0.541 \)）；

端点值 \( f(0)=0 \)，\( f(3)=\frac{9}{e^3} \approx 0.446 \)；

最大值为 \( \frac{4}{e^2} \)，最小值为 \( 0 \)。

例2：开区间上的最值（若存在） \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，\( x \in (-\infty, +\infty) \)

导数 \( f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)，极值点 \( x=0 \)（极大值 \( f(0)=1 \)），无端点；

当 \( |x| \to \infty \) 时 \( f(x) \to 0 \)，故最大值为 \( 1 \)，无最小值（下确界为 \( 0 \)）。

\( f(x) = x - \frac{1}{x} \)，\( x \in (0, +\infty) \)

导数 \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0 \)，函数单调递增，无极大/极小值；

当 \( x \to 0^+ \) 时 \( f(x) \to -\infty \)，当 \( x \to +\infty \) 时 \( f(x) \to +\infty \)，故无最值。

\( f(x) = e^{-x^2} \)，\( x \in (-\infty, +\infty) \)

导数 \( f'(x) = -2x e^{-x^2} \)，极值点 \( x=0 \)（极大值 \( f(0)=1 \)）；

当 \( |x| \to \infty \) 时 \( f(x) \to 0 \)，故最大值为 \( 1 \)，最小值不存在（下确界为 \( 0 \)）。

例3：实际问题中的最值应用

面积最大化：用长为 \( L \) 的篱笆围矩形场地，一边靠墙，求最大面积。

设垂直墙的边长为 \( x \)，则平行墙的边长为 \( L - 2x \)，面积 \( S(x) = x(L - 2x) \)，\( x \in (0, \frac{L}{2}) \)；

导数 \( S'(x) = L - 4x \)，极值点 \( x = \frac{L}{4} \)，二阶导数 \( S''(x) = -4 < 0 \)，故最大值 \( S\left(\frac{L}{4}\right) = \frac{L^2}{8} \)。

容积最大化：从正方形铁皮四角各剪去边长为 \( x \) 的小正方形，折成无盖盒子，原铁皮边长为 \( a \)，求最大容积。

容积 \( V(x) = x(a - 2x)^2 \)，\( x \in (0, \frac{a}{2}) \)；

导数 \( V'(x) = (a - 2x)(a - 6x) \)，极值点 \( x = \frac{a}{6} \)（舍去 \( x = \frac{a}{2} \)），此时最大容积 \( V\left(\frac{a}{6}\right) = \frac{2a^3}{27} \)。

光线折射问题：光从点 \( A \) 到点 \( B \) 经过两种介质交界面，求耗时最短路径（折射定律）。

设界面为 \( x \) 轴，\( A(0, h_1) \)，\( B(d, -h_2) \)，光在两介质中速度为 \( v_1, v_2 \)，路径与法线夹角为 \( \theta_1, \theta_2 \)；

耗时 \( t(x) = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(d - x)^2 + h_2^2}}{v_2} \)，求导得极值条件 \( \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \)（折射定律）。

六、极值点偏移

极值偏移问题是指在函数中，当函数存在极值点 \( x_0 \) 时，若存在两个点 \( x_1, x_2 \) 满足 \( f(x_1) = f(x_2) \)，理论上若函数关于 \( x = x_0 \) 对称，则 \( x_1 + x_2 = 2x_0 \)，但实际情况中，由于函数不对称，导致 \( x_1 + x_2 \neq 2x_0 \)，这种现象称为极值偏移，本质是函数图像在极值点两侧的“增速”或“减速度”不同。

（一）常见类型

1. 证明型：证明 \( x_1 + x_2 > 2x_0 \) 或 \( x_1 + x_2 < 2x_0 \)。

2. 范围型：已知 \( x_1 + x_2 \) 的范围，求参数范围。

3. 不等式型：结合极值偏移证明其他不等式（如 \( x_1x_2 > x_0^2 \) 等）。

（二）核心解题方法

1. 对称化构造法

构造辅助函数 \( F(x) = f(x) - f(2x_0 - x) \)，通过研究 \( F(x) \) 在区间内的单调性，比较 \( f(x) \) 与 \( f(2x_0 - x) \) 的大小，进而推导 \( x_1 + x_2 \) 的关系。

2. 比值代换法

设 \( \frac{x_1}{x_2} = t \)（或 \( x_1 = tx_2 \)），将双变量问题转化为单变量函数问题，利用导数求最值。

3. 对数均值不等式法

利用不等式 \( \sqrt{ab} < \frac{a - b}{\ln a - \ln b} < \frac{a + b}{2} \)（\( a \neq b \)），结合 \( f(x_1) = f(x_2) \) 化简推导。

例题1：证明型（对称化构造法）

题目：已知函数 \( f(x) = x e^{-x} \)，若 \( x_1 \neq x_2 \) 且 \( f(x_1) = f(x_2) \)，证明：\( x_1 + x_2 > 2 \)。

解析：

1. 求极值点：\( f'(x) = (1 - x)e^{-x} \)，极值点 \( x_0 = 1 \)。

2. 构造函数 \( F(x) = f(x) - f(2 - x) = x e^{-x} - (2 - x)e^{x - 2} \)，定义域 \( x < 1 \)。

3. 求导：\( F'(x) = (1 - x)(e^{-x} - e^{x - 2}) \)，当 \( x < 1 \) 时，\( 1 - x > 0 \)，\( e^{-x} > e^{x - 2} \)，故 \( F'(x) > 0 \)，\( F(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上递增。

4. 由 \( F(x) < F(1) = 0 \)，得 \( f(x) < f(2 - x) \)。设 \( x_1 < 1 < x_2 \)，则 \( f(x_1) = f(x_2) < f(2 - x_1) \)，因 \( 2 - x_1 > 1 \)，且 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 递减，故 \( x_2 > 2 - x_1 \)，即 \( x_1 + x_2 > 2 \)。

例题2：证明型（对数均值不等式法）

题目：已知函数 \( f(x) = \ln x - ax \)，若 \( x_1 \neq x_2 \) 且 \( f(x_1) = f(x_2) = 0 \)，证明：\( x_1x_2 > e^2 \)。

解析：

1. 由 \( \ln x_1 = ax_1 \)，\( \ln x_2 = ax_2 \)，两式相减得：\( \ln \frac{x_1}{x_2} = a(x_1 - x_2) \)，即 \( a = \frac{\ln x_1 - \ln x_2}{x_1 - x_2} \)。

2. 要证 \( x_1x_2 > e^2 \)，即证 \( \ln x_1 + \ln x_2 > 2 \)，即 \( a(x_1 + x_2) > 2 \)。

3. 代入 \( a \) 得：\( \frac{\ln x_1 - \ln x_2}{x_1 - x_2} \cdot (x_1 + x_2) > 2 \)，由对数均值不等式 \( \frac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} < \frac{x_1 + x_2}{2} \)，得 \( \frac{\ln x_1 - \ln x_2}{x_1 - x_2} > \frac{2}{x_1 + x_2} \)，故原不等式成立。

例题3：范围型（比值代换法）

题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + a \ln x \)，若存在 \( x_1, x_2 \in (1, +\infty) \) 且 \( x_1 \neq x_2 \)，满足 \( f(x_1) = f(x_2) \)，求实数 \( a \) 的取值范围。

解析：

1. 求导 \( f'(x) = 2x - 2 + \frac{a}{x} = \frac{2x^2 - 2x + a}{x} \)，令 \( g(x) = 2x^2 - 2x + a \)。

2. 因 \( x > 1 \)，若 \( f(x) \) 存在两个等值点，则 \( g(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 有变号零点，即 \( \Delta = 4 - 8a > 0 \) 且 \( g(1) = a < 0 \)，得 \( a < 0 \)。

3. 设 \( x_1 < x_2 \)，由 \( f(x_1) = f(x_2) \)，得 \( x_1^2 - 2x_1 + a \ln x_1 = x_2^2 - 2x_2 + a \ln x_2 \)，化简：\( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) + a \ln \frac{x_1}{x_2} = 0 \)。

4. 令 \( t = \frac{x_1}{x_2} \in (0, 1) \)，则 \( x_1 = tx_2 \)，代入得：\( (tx_2 - x_2)(tx_2 + x_2 - 2) + a \ln t = 0 \)，即 \( x_2 = \frac{a \ln t}{(1 - t)(t + 1 - 2/t)} \)（过程略），因 \( x_2 > 1 \)，结合 \( a < 0 \)，验证得 \( a < 0 \) 时存在解，故 \( a \in (-\infty, 0) \)。

例题4：不等式型（对称化构造+放缩）

题目：已知函数 \( f(x) = e^x - x \)，若 \( x_1 \neq x_2 \) 且 \( f(x_1) = f(x_2) = m \)，证明：\( x_1x_2 < 0 \)。

解析：

1. 求极值点：\( f'(x) = e^x - 1 \)，极值点 \( x_0 = 0 \)，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 递减，\( (0, +\infty) \) 递增，且 \( f(x)_{\min} = 1 \)，故 \( m > 1 \)，设 \( x_1 < 0 < x_2 \)。

2. 要证 \( x_1x_2 < 0 \)，只需证 \( x_1 < 0 < x_2 \)（已成立），但需进一步说明 \( |x_1| \neq |x_2| \)。

3. 构造 \( F(x) = f(x) - f(-x) = e^x - e^{-x} - 2x \)（\( x < 0 \)），求导 \( F'(x) = e^x + e^{-x} - 2 > 0 \)，故 \( F(x) < F(0) = 0 \)，即 \( f(x) < f(-x) \)。

4. 由 \( f(x_1) = f(x_2) < f(-x_1) \)，因 \( -x_1 > 0 \)，\( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 递增，故 \( x_2 < -x_1 \)，即 \( x_1 + x_2 < 0 \)，又 \( x_1 < 0 < x_2 \)，故 \( x_1x_2 < 0 \)。

例题5：综合型（多方法结合）

题目：已知函数 \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)，若 \( x_1 \neq x_2 \) 且 \( f(x_1) = f(x_2) = k \)，证明：\( x_1 + x_2 > 2e \)。

解析：

1. 求极值点：\( f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} \)，极值点 \( x_0 = e \)，\( f(x) \) 在 \( (0, e) \) 递增，\( (e, +\infty) \) 递减，\( k \in (0, \frac{1}{e}) \)，设 \( 0 < x_1 < e < x_2 \)。

方法一：对称化构造

构造 \( F(x) = f(x) - f(2e - x) \)，定义域 \( x < e \)，求导后分析单调性（过程略），得 \( F(x) < 0 \)，即 \( f(x) < f(2e - x) \)，故 \( f(x_1) = f(x_2) < f(2e - x_1) \)，因 \( 2e - x_1 > e \)，\( f(x) \) 在 \( (e, +\infty) \) 递减，故 \( x_2 > 2e - x_1 \)，即 \( x_1 + x_2 > 2e \)。

方法二：比值代换

设 \( \frac{x_2}{x_1} = t > 1 \)，由 \( \frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2} \)，得 \( \frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln (tx_1)}{tx_1} \)，化简 \( \ln x_1 = \frac{\ln t}{t - 1} \)，\( \ln x_2 = \frac{t \ln t}{t - 1} \)，需证 \( x_1 + x_2 > 2e \)，即证 \( \ln (x_1x_2) > 2 \)，即 \( \ln x_1 + \ln x_2 = \frac{(t + 1)\ln t}{t - 1} > 2 \)，令 \( h(t) = \frac{(t + 1)\ln t}{t - 1} - 2 \)，求导证 \( h(t) > 0 \)（\( t > 1 \)）即可。