高等数学：反函数：定义、性质、存在条件

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一、反函数的定义

设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，值域为\(R\)。如果对于值域\(R\)中的每一个\(y\)，在定义域\(D\)中都有唯一的\(x\)使得\(f(x)=y\)，那么就把\(y\)作为自变量，\(x\)作为因变量，得到一个新的函数\(x = \varphi(y)\)，称这个函数\(x=\varphi(y)\)为函数\(y = f(x)\)的反函数，记作\(x = f^{-1}(y)\)。

例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，由\(y = 2x+1\)可得\(x=\frac{y - 1}{2}\)，那么\(x=\frac{y - 1}{2}\)就是\(y = 2x + 1\)的反函数。

二、反函数存在的条件

函数\(y = f(x)\)在定义域\(D\)上是一一映射（单射）时，它存在反函数。也就是说，对于定义域\(D\)内任意两个不同的自变量\(x_1\)和\(x_2\)，都有\(f(x_1)\neq f(x_2)\)。

例如，函数\(y = x^2\)在\((-\infty,+\infty)\)上不存在反函数，因为当\(y = 4\)时，\(x = 2\)或\(x=-2\)，不满足一一映射；但如果把定义域限制在\([0,+\infty)\)上，它就是一一映射，此时存在反函数\(y=\sqrt{x}\)。

三、反函数的性质

单调性相同：如果函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上单调递增（或递减），那么它的反函数\(y = f^{-1}(x)\)在其定义域上也单调递增（或递减）。

例如，函数\(y = e^x\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，它的反函数\(y=\ln x\)在\((0,+\infty)\)上也单调递增。

关于直线\(y = x\)对称：函数\(y = f(x)\)与其反函数\(y = f^{-1}(x)\)的图像关于直线\(y = x\)对称。

例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)，它自身关于直线\(y = x\)对称，因为它的反函数就是它本身。

复合关系：如果\(y = f(x)\)的反函数是\(x = f^{-1}(y)\)，那么有\(f(f^{-1}(y))=y\)（\(y\)在反函数定义域内）和\(f^{-1}(f(x))=x\)（\(x\)在原函数定义域内）。

例如，对于函数\(y = 3x - 2\)及其反函数\(x=\frac{y + 2}{3}\)，有\(3\times(\frac{y + 2}{3})-2=y\)和\(\frac{(3x - 2)+2}{3}=x\)。

四、求反函数的步骤

步骤一：判断反函数是否存在：检查原函数是否是一一映射。

步骤二：求解反函数表达式：由\(y = f(x)\)解出\(x\)关于\(y\)的表达式。

例如，对于函数\(y=\frac{2x + 1}{3x - 1}\)，先将其变形为\(y(3x - 1)=2x + 1\)，即\(3xy - y = 2x + 1\)，进一步整理得\(3xy - 2x = y + 1\)，所以\(x=\frac{y + 1}{3y - 2}\)，这就是原函数的反函数表达式。

步骤三：确定反函数的定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

例如，对于函数\(y=\sqrt{x - 1}\)，原函数定义域为\([1,+\infty)\)，值域为\([0,+\infty)\)，其反函数为\(x = y^2+1\)，反函数的定义域为\([0,+\infty)\)，值域为\([1,+\infty)\)。

五、反函数在考研数学中的应用

在积分中的应用：有时候通过变量替换，将原函数的积分转化为其反函数的积分，可能会使积分更容易计算。

例如，对于一些复杂的积分\(\int f(x)dx\)，如果令\(x = f^{-1}(u)\)，那么\(dx=(f^{-1})^\prime(u)du\)，积分就变为\(\int f(f^{-1}(u))(f^{-1})^\prime(u)du=\int u(f^{-1})^\prime(u)du\)。

在方程求解中的应用：当方程中涉及函数及其反函数时，利用它们的性质（如复合关系和对称性）来求解方程。

例如，已知\(f(x)+f^{-1}(x)=2x\)，如果知道\(f(x)\)的一些性质（如单调性、奇偶性等），就可以结合反函数的性质来求解\(f(x)\)的表达式。

例1：求反函数并验证性质

题目：已知函数\(y = 3x - 2\)，\(x\in R\)，求它的反函数，并验证反函数与原函数的单调性和关于直线\(y = x\)对称的性质。

解答：

首先求反函数，由\(y = 3x - 2\)，解出\(x\)得\(x=\frac{y + 2}{3}\)，所以反函数为\(y=\frac{x + 2}{3}\)，\(x\in R\)。

对于原函数\(y = 3x - 2\)，因为\(3>0\)，所以在\(R\)上单调递增。对于反函数\(y=\frac{x + 2}{3}\)，其斜率为\(\frac{1}{3}>0\)，也在\(R\)上单调递增，单调性相同。

验证关于直线\(y = x\)对称，设点\((a,b)\)在原函数\(y = 3x - 2\)上，则\(b = 3a - 2\)，解出\(a=\frac{b + 2}{3}\)，所以点\((b,a)\)在反函数\(y=\frac{x + 2}{3}\)上，两点关于直线\(y = x\)对称。

例2：判断反函数是否存在及求解

题目：判断函数\(y = x^2 - 2x\)，\(x\in R\)是否存在反函数，若不存在，说明理由；若存在，求出反函数。

解答：

对于\(y = x^2 - 2x=(x - 1)^2 - 1\)，当\(y = -1\)时，\(x = 0\)或\(x = 2\)，不是一一映射，所以在\(R\)上不存在反函数。

若将定义域限制在\([1,+\infty)\)，此时函数单调递增，存在反函数。由\(y=(x - 1)^2 - 1\)，\(x\geq1\)，解出\(x\)得\(x = 1+\sqrt{y + 1}\)，所以反函数为\(y = 1+\sqrt{x + 1}\)，\(x\geq - 1\)。

例3：利用反函数性质解方程

题目：已知函数\(y = f(x)\)的反函数是\(y = f^{-1}(x)\)，且\(f(x)+f^{-1}(x)=2x\)，\(f(1)=2\)，求\(f^{-1}(2)\)的值。

解答：

因为\(f(1)=2\)，根据反函数的性质\(f^{-1}(f(x))=x\)，所以\(f^{-1}(2)=1\)。

例4：反函数与积分

题目：计算\(\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx\)，提示：考虑\(y=\sqrt{1 - x^2}\)（\(x\in[0,1]\)）的反函数并利用定积分的换元法。

解答：

令\(y=\sqrt{1 - x^2}\)，\(x\in[0,1]\)，则\(y^2 = 1 - x^2\)，即\(x=\sqrt{1 - y^2}\)，这就是\(y=\sqrt{1 - x^2}\)的反函数（\(y\in[0,1]\)）。

设\(x=\sin t\)，\(t\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，则\(dx=\cos tdt\)。

原积分\(\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - \sin^2t}\cos tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2tdt\)

根据\(\cos^2t=\frac{1 + \cos2t}{2}\)，可得\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos2t}{2}dt=\frac{1}{2}\left(t+\frac{\sin2t}{2}\right)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}\)。