高等数学：初等函数、反函数、复合函数的连续性

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一、初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数包括幂函数\(y = x^{\alpha}\)（\(\alpha\)为常数）、指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）、对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）、三角函数（如\(y = \sin x\)、\(y=\cos x\)等）和反三角函数（如\(y=\arcsin x\)、\(y = \arccos x\)等）。

例如，\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)是初等函数，它是由幂函数\(y = u^{\frac{1}{2}}\)（这里\(u=x^{2}+1\)）复合而成；\(y = 3x^{2}+\log_{2}x - \sin x\)也是初等函数，它是由幂函数、对数函数、三角函数通过四则运算得到的。

二、初等函数的连续性定理

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。这里需要注意“定义区间”和“定义域”的区别。定义域可能包含孤立点，而定义区间是指定义域内的区间。

例如，函数\(y=\sqrt{x}\)的定义域是\([0,+\infty)\)，其定义区间也是\([0,+\infty)\)，它在这个区间内是连续的。再如，函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)的定义域是\(x>1\)或\(x < - 1\)，其定义区间是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)，在这些定义区间内函数是连续的。

三、利用初等函数连续性求极限

由于初等函数在其定义区间内连续，所以\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，只要\(x_{0}\)在函数\(f(x)\)的定义区间内。

例如，求\(\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}\)，我们可以先化简函数\(f(x)=\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\frac{(x - 2)(x^{2}+2x + 4)}{x - 2}=x^{2}+2x + 4\)（\(x\neq2\)），\(f(x)\)是初等函数，其定义区间为\((-\infty,+\infty)\)，所以\(\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\lim_{x\rightarrow2}(x^{2}+2x + 4)=2^{2}+2\times2 + 4 = 12\)。

又如，求\(\lim_{x\rightarrow0}\ln(\cos x + 1)\)，因为\(y=\ln(\cos x + 1)\)是初等函数，且\(x = 0\)在其定义区间内，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\ln(\cos x + 1)=\ln(\cos0 + 1)=\ln2\)。

反函数的连续性

若函数\(y = f(x)\)在区间\(I_{x}\)上单调且连续，那么它的反函数\(x = f^{-1}(y)\)在对应的区间\(I_{y}=\left\{y|y = f(x),x\in I_{x}\right\}\)上也单调且连续。

例如，函数\(y = \sin x\)在区间\(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)上单调递增且连续。它的反函数\(y=\arcsin x\)在区间\([- 1,1]\)上也是单调递增且连续的。

证明思路（以单调递增函数为例）

设\(y = f(x)\)在区间\(I_{x}\)上单调递增且连续。

首先证明单调性：对于任意的\(y_{1},y_{2}\in I_{y}\)，且\(y_{1}<y_{2}\)，因为\(y = f(x)\)是单调递增的，所以存在唯一的\(x_{1},x_{2}\in I_{x}\)，使得\(y_{1}=f(x_{1})\)，\(y_{2}=f(x_{2})\)，且\(x_{1}<x_{2}\)。即\(f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})\)，所以反函数\(x = f^{-1}(y)\)也是单调递增的。

然后证明连续性：设\(y_{0}\in I_{y}\)，令\(x_{0}=f^{-1}(y_{0})\)。对于任意给定的\(\epsilon>0\)，因为\(y = f(x)\)在\(x_{0}\)处连续，所以存在\(\delta>0\)，使得当\(\vert x - x_{0}\vert<\delta\)且\(x\in I_{x}\)时，有\(\vert f(x)-f(x_{0})\vert=\vert y - y_{0}\vert<\epsilon\)。

由于反函数是单调的，当\(\vert y - y_{0}\vert<\epsilon\)时，有\(\vert f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})\vert=\vert x - x_{0}\vert<\delta\)，这就证明了反函数\(x = f^{-1}(y)\)在\(y_{0}\)处连续。由于\(y_{0}\)是\(I_{y}\)中的任意一点，所以反函数在\(I_{y}\)上连续。

在计算极限、求解积分等问题中，反函数的连续性可以帮助我们进行变量替换等操作。

例如，在计算\(\lim_{x\rightarrow a}g(f^{-1}(x))\)时，如果我们知道\(f^{-1}(x)\)的连续性，就可以根据复合函数的极限法则进行计算。

同时，在研究一些函数的性质，如函数的凹凸性、渐近线等方面，反函数的连续性也有一定的作用。

例如，当我们研究反函数的图像与原函数图像的关系时，连续性是一个重要的考虑因素，它可以帮助我们准确地描绘函数图像及其反函数图像的特征。

1、幂函数的反函数的连续性

对于幂函数\(y = x^n\)（\(n\)为正整数），当\(n\)为奇数时，函数\(y = x^n\)在\(R\)上单调递增且连续。其反函数\(y = x^{\frac{1}{n}}\)（即\(n\)次方根函数）在\(R\)上也单调递增且连续。

当\(n\)为偶数时，\(y = x^n\)在\([0,+\infty)\)上单调递增且连续，其反函数\(y=\pm x^{\frac{1}{n}}\)，我们通常考虑主值分支\(y = x^{\frac{1}{n}}\)在\([0,+\infty)\)上也是单调递增且连续的。例如\(y = x^2\)（\(x\geq0\)），反函数\(y=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上单调递增且连续。

2、指数函数与对数函数

指数函数\(y = a^x\)（\(a>0,a\neq1\)）在\(R\)上单调递增（当\(a > 1\)）或单调递减（当\(a<1\)）且连续。其反函数\(y=\log_a x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增（当\(a > 1\)）或单调递减（当\(a<1\)）且连续。例如\(y = e^x\)，其反函数\(y=\ln x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增且连续。

3、三角函数与反三角函数

三角函数在其单调区间上的反函数是连续的。

例如，\(y=\sin x\)在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上单调递增且连续，其反函数\(y = \arcsin x\)在\([-1,1]\)上单调递增且连续。\(y=\cos x\)在\([0,\pi]\)上单调递减且连续，反函数\(y=\arccos x\)在\([-1,1]\)上单调递减且连续。\(y=\tan x\)在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上单调递增且连续，反函数\(y=\arctan x\)在\(R\)上单调递增且连续。

4、双曲函数与反双曲函数

双曲正弦函数\(y = \sinh x=\frac{e^x - e^{-x}}{2}\)在\(R\)上单调递增且连续，其反函数\(y=\text{arsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2 + 1})\)在\(R\)上单调递增且连续。

双曲余弦函数\(y=\cosh x=\frac{e^x + e^{-x}}{2}\)在\([0,+\infty)\)上单调递增且连续，其反函数\(y=\text{arcosh} x=\ln(x+\sqrt{x^2 - 1})\)在\([1,+\infty)\)上单调递增且连续。

双曲正切函数\(y=\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\)在\(R\)上单调递增且连续，其反函数\(y=\text{artanh} x=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}\)在\((-1,1)\)上单调递增且连续。

对于在区间\(I\)上单调且连续的函数，其反函数在相应的值域区间上也是单调且连续的。但如果函数不是单调的，就不存在反函数或者不能简单地讨论反函数的连续性。例如\(y = x^2\)在\(R\)上不是单调的，它没有在\(R\)上的反函数，但在\([0,+\infty)\)或\((-\infty,0]\)上可以定义反函数且反函数在相应区间连续。

复合函数的连续性

设函数\(y = f(u)\)在点\(u = u_{0}\)处连续，函数\(u = g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处连续，且\(u_{0}=g(x_{0})\)，则复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x = x_{0}\)处连续。

用极限形式来表示就是：\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(g(x)) = f(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x))=f(g(x_{0}))\)。

证明过程

因为\(y = f(u)\)在\(u = u_{0}\)处连续，所以对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在\(\eta>0\)，使得当\(\vert u - u_{0}\vert<\eta\)时，\(\vert f(u)-f(u_{0})\vert<\varepsilon\)。

又因为\(u = g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续，所以对于上述的\(\eta>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(\vert x - x_{0}\vert<\delta\)时，\(\vert g(x)-g(x_{0})\vert=\vert g(x)-u_{0}\vert<\eta\)。

那么当\(\vert x - x_{0}\vert<\delta\)时，令\(u = g(x)\)，有\(\vert u - u_{0}\vert<\eta\)，从而\(\vert f(g(x))-f(g(x_{0}))\vert<\varepsilon\)，这就证明了复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x = x_{0}\)处连续。

设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(u = g(x)=x^{2}+1\)。

首先，\(f(u)=\sqrt{u}\)在其定义域\(u\geqslant0\)上是连续的，\(g(x)=x^{2}+1\)在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。

对于复合函数\(y = f(g(x))=\sqrt{x^{2}+1}\)，由于\(g(x)=x^{2}+1\geqslant1>0\)，根据复合函数连续性定理，\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。

当内层函数\(g(x)\)的极限值存在，但不等于\(g(x_{0})\)时，不能直接使用复合函数连续性定理。

例如，设\(f(u)=\frac{1}{u - 1}\)，\(u = g(x)=x\)，当\(x\rightarrow1\)时，\(u = g(x)\rightarrow1\)，但\(f(u)\)在\(u = 1\)处不连续，此时需要单独分析极限情况，不能简单套用定理。

在多元函数中也有类似的复合函数连续性的概念和定理，不过其条件和证明会更加复杂，涉及到多元函数的极限、偏导数等知识。

例如，对于二元复合函数\(z = f(u,v)\)，\(u = g(x,y)\)，\(v = h(x,y)\)，其连续性的判断需要考虑更多的变量和条件。