高等数学：定积分的概念、性质、应用

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一、定积分的概念

设函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界；

在区间\([a,b]\)中任意插入\(n - 1\)个分点\(a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\)；

把区间\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_{i - 1},x_{i}]\)，\(i = 1,2,\cdots,n\)，小区间的长度为\(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i - 1}\)。

在每个小区间\([x_{i-1},x_{i}]\)上任取一点\(\xi_{i}\)，作和式\(\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)。

当\(n\to\infty\)且\(\lambda=\max\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\}\to0\)时，如果和式的极限\(\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)存在，则称函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，并称这个极限为函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记作\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，即

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)

二、定积分的几何意义：

当\(f(x)\geq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)以及\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积。

当\(f(x)\leq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示上述曲边梯形面积的负值。

当\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有负时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示在\(x\)轴上方部分的面积减去\(x\)轴下方部分的面积。

三、定积分的性质

性质1（线性性质）

\(\int_{a}^{b}[k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx = k_{1}\int_{a}^{b}f(x)dx + k_{2}\int_{a}^{b}g(x)dx\)，其中\(k_{1},k_{2}\)为常数。

例如，\(\int_{0}^{1}(2x + 3x^{2})dx=2\int_{0}^{1}xdx+3\int_{0}^{1}x^{2}dx\)。

计算\(\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^{2}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

所以\(\int_{0}^{1}(2x + 3x^{2})dx=2\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{3}=2\)。

性质2（区间可加性）

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，其中\(a < c < b\)。

例如，已知\(\int_{0}^{2}f(x)dx = 5\)，\(\int_{0}^{1}f(x)dx = 2\)，则\(\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx = 5 - 2 = 3\)。

性质3（积分的比较性质）

如果在区间\([a,b]\)上\(f(x)\geq g(x)\)，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx\)。

例如，在区间\([0,1]\)上，因为\(x^{2}\geq x^{3}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\geq\int_{0}^{1}x^{3}dx\)。计算可得\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}x^{3}dx=\frac{1}{4}\)，确实满足\(\frac{1}{3}\geq\frac{1}{4}\)。

性质4（积分的绝对值性质）

\(\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx\)。

例如，对于函数\(f(x)=\sin x\)在区间\([0,2\pi]\)上，\(\int_{0}^{2\pi}\sin xdx = 0\)，而\(\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx = 4\)（因为\(|\sin x|\)在\([0,2\pi]\)上的图象关于\(x\)轴上下对称，把\(x\)轴下方部分翻折上去，其面积为\(4\)个\(\int_{0}^{\pi/2}\sin xdx\)的值），满足\(\left|\int_{0}^{2\pi}\sin xdx\right|\leq\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx\)。

性质5（积分中值定理）

如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则在\([a,b]\)上至少存在一点\(\xi\)，使得\(\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a)\)。

例如，对于函数\(f(x)=x^{2}\)在区间\([0,2]\)上，\(\int_{0}^{2}x^{2}dx=\frac{8}{3}\)，根据积分中值定理，\(\frac{8}{3}=f(\xi)(2 - 0)=2\xi^{2}\)，解得\(\xi=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，其中\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\in[0,2]\)，符合定理。

一、几何应用-平面图形的面积

直角坐标系下：

若平面图形由曲线\(y = f(x)\)，\(y = g(x)\)（\(f(x)\geq g(x)\)）与直线\(x = a\)，\(x = b\)所围成，则其面积\(A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\)。

例如，求由\(y = x^{2}\)和\(y = x\)所围成的图形面积，先联立方程\(\left\{\begin{array}{l}y = x^{2}\\y = x\end{array}\right.\)，解得交点为\((0,0)\)和\((1,1)\)，则面积\(A=\int_{0}^{1}(x - x^{2})dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}\)。

当曲线是\(x = \varphi(y)\)，\(x = \psi(y)\)（\(\varphi(y)\geq\psi(y)\)）与直线\(y = c\)，\(y = d\)所围成的图形时，面积\(A=\int_{c}^{d}[\varphi(y)-\psi(y)]dy\)。

极坐标系下：

由曲线\(r = r(\theta)\)及射线\(\theta=\alpha\)，\(\theta=\beta\)（\(\alpha<\beta\)）围成的图形面积\(A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta)d\theta\)。

例如，求心形线\(r = a(1 + \cos\theta)\)（\(a>0\)）所围成的图形面积，根据公式可得\(A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^{2}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta\)，展开并积分可得\(A=\frac{3}{2}\pi a^{2}\)。

二、几何应用-旋转体的体积：

由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)（\(a < b\)）及\(x\)轴所围成的平面图形绕\(x\)轴旋转一周所得旋转体的体积\(V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\)。

例如，\(y=\sin x\)（\(0\leq x\leq\pi\)）绕\(x\)轴旋转一周所得体积\(V_{x}=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}xdx=\frac{\pi^{2}}{2}\)。

若绕\(y\)轴旋转，使用圆柱壳法，体积\(V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx\)。

例如，\(y = x^{2}\)（\(1\leq x\leq2\)）绕\(y\)轴旋转一周，\(V_{y}=2\pi\int_{1}^{2}x\cdot x^{2}dx=\frac{15\pi}{2}\)。

已知截面面积的立体体积：若一个立体位于\(x = a\)与\(x = b\)之间，且过点\(x\)且垂直于\(x\)轴的截面面积为\(A(x)\)，则该立体体积\(V=\int_{a}^{b}A(x)dx\)。

三、几何应用-平面曲线的弧长

直角坐标系下：

对于曲线\(y = f(x)\)（\(a\leq x\leq b\)），弧长\(s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f^\prime(x)]^{2}}dx\)。

例如，曲线\(y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)（\(0\leq x\leq1\)），\(y^\prime=x^{\frac{1}{2}}\)，弧长\(s=\int_{0}^{1}\sqrt{1 + x}dx=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\)。

参数方程下：

若曲线的参数方程为\(x = x(t)\)，\(y = y(t)\)（\(\alpha\leq t\leq\beta\)），弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x^\prime(t)]^{2}+[y^\prime(t)]^{2}}dt\)。

极坐标系下：

对于曲线\(r = r(\theta)\)（\(\alpha\leq\theta\leq\beta\)），弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}(\theta)+[r^\prime(\theta)]^{2}}d\theta\)。

四、物理应用-功：

变力沿直线做功，若力\(F(x)\)是位移\(x\)的函数，物体从\(x = a\)移动到\(x = b\)，则功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。

例如，一个弹簧的弹性力\(F(x)=kx\)（\(k\)为弹性系数），将弹簧从原长拉伸\(l\)长度，所做的功\(W=\int_{0}^{l}kx dx=\frac{1}{2}kl^{2}\)。

水压力：

设平板垂直放置在水中，平板形状由\(y = f(x)\)（\(a\leq x\leq b\)）与\(x\)轴围成，水深为\(h\)，水的密度为\(\rho\)，则平板一侧所受水压力\(P=\rho g\int_{a}^{b}h(x)f(x)dx\)，其中\(h(x)\)是深度函数。

五、物理应用-引力：

计算细棒对质点的引力等问题，需要将细棒分割成小段，利用万有引力定律\(F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\)（\(G\)为引力常数），通过积分求出总的引力。

例如，一根长为\(L\)的均匀细棒，质量为\(M\)，在棒的延长线上距离棒端点\(a\)处有一质量为\(m\)的质点，把细棒分成小段\(dx\)，其质量为\(\frac{M}{L}dx\)，对质点的引力\(dF = G\frac{m\frac{M}{L}dx}{(x + a)^{2}}\)，总引力\(F = G\frac{mM}{L}\int_{0}^{L}\frac{1}{(x + a)^{2}}dx\)。