高等数学：求方程的近似解：二分法、切线法、割线法

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一、二分法（Bisection Method）

1. 基本原理

适用条件：函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)（即区间两端点函数值异号，说明区间内至少有一个根）。

核心思想：通过不断将区间二等分，逐步缩小区间范围，直到区间长度小于预设精度，此时区间中点即为近似解。

2. 算法步骤

1. 确定初始区间 \([a, b]\)，满足 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)；

2. 计算中点 \( c = \frac{a + b}{2} \)；

3. 若 \( f(c) = 0 \)，则 \( c \) 为根，结束；

4. 若 \( f(a) \cdot f(c) < 0 \)，则根在 \([a, c]\)，令 \( b = c \)；

5. 否则根在 \([c, b]\)，令 \( a = c \)；

6. 重复步骤2-5，直到 \( |b - a| < \varepsilon \)（\(\varepsilon\) 为精度要求）。

3. 优缺点分析

优点：算法简单、稳定，理论上一定收敛。

缺点：收敛速度较慢（线性收敛），无法处理重根或导数为零的情况。

4. 实例：求解 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \) 在 \([1, 2]\) 内的根

初始区间：\( a=1, b=2 \)，\( f(1)=-1 \), \( f(2)=5 \)，满足 \( f(1) \cdot f(2) < 0 \)。

迭代过程：

第1次：\( c=1.5 \)，\( f(1.5)=0.875 > 0 \)，新区间 \([1, 1.5]\)；

第2次：\( c=1.25 \)，\( f(1.25)=-0.296875 < 0 \)，新区间 \([1.25, 1.5]\)；

第3次：\( c=1.375 \)，\( f(1.375)=0.224609 > 0 \)，新区间 \([1.25, 1.375]\)；

继续迭代至区间长度小于 \( 10^{-3} \)，最终近似解为 \( x \approx 1.3247 \)。

二、切线法（牛顿迭代法，Newton-Raphson Method）

1. 基本原理

适用条件：函数 \( f(x) \) 在根附近具有一阶连续导数，且 \( f'(x) \neq 0 \)。

核心思想：以当前近似解为切点作切线，切线与 \( x \) 轴的交点作为新的近似解，迭代逼近真实根。

2. 迭代公式

设 \( x_n \) 为第 \( n \) 次近似解，则第 \( n+1 \) 次解为：

\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)

3. 优缺点分析

优点：收敛速度快（二阶收敛，误差平方递减），适用于单根和重根（需调整公式）。

缺点：对初始值 \( x_0 \) 敏感，若选取不当可能发散或收敛到其他根。

4. 实例：求解 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，取 \( x_0 = 1.5 \)

导数：\( f'(x) = 3x^2 - 1 \)。

迭代过程：

\( x_0 = 1.5 \)，\( f(1.5)=0.875 \)，\( f'(1.5)=5.75 \)，

\( x_1 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.3478 \)；

\( x_1 \approx 1.3478 \)，\( f(x_1) \approx 0.1003 \)，\( f'(x_1) \approx 4.4499 \)，

\( x_2 = 1.3478 - \frac{0.1003}{4.4499} \approx 1.3252 \)；

\( x_2 \approx 1.3252 \)，\( f(x_2) \approx 0.0020 \)，\( f'(x_2) \approx 4.2684 \)，

\( x_3 = 1.3252 - \frac{0.0020}{4.2684} \approx 1.3247 \)（已收敛）。

三、割线法（Secant Method）

1. 基本原理

适用条件：函数 \( f(x) \) 连续，无需计算导数（用差商近似导数）。

核心思想：用两点处的割线代替切线，割线与 \( x \) 轴的交点作为新的近似解，避免求导运算。

2. 迭代公式

设前两次近似解为 \( x_{n-1} \) 和 \( x_n \)，则：

\(x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}\)

3. 优缺点分析

优点：无需计算导数，计算量小；收敛速度快于二分法（超线性收敛，阶数约1.618）。

缺点：可能发散，对初始值敏感，需保证两点函数值接近根。

4. 实例：求解 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，取 \( x_0=1, x_1=2 \)

迭代过程：

\( x_0=1, f(1)=-1 \); \( x_1=2, f(2)=5 \)，

\( x_2 = 2 - 5 \cdot \frac{2-1}{5-(-1)} \approx 2 - 0.8333 = 1.1667 \)；

\( x_1=2, x_2=1.1667 \), \( f(1.1667) \approx -0.5787 \)，

\( x_3 = 1.1667 - (-0.5787) \cdot \frac{1.1667-2}{-0.5787-5} \approx 1.3634 \)；

继续迭代至 \( x_5 \approx 1.3248 \)，接近真实根。

四、三种方法对比

方法	收敛速度	初始值要求	计算复杂度	适用场景
二分法	线性收敛	只需端点异号	低（仅函数值）	稳健但需慢收敛的场景
切线法（牛顿）	二阶收敛	需接近根且导数非零	中（需导数）	高精度、收敛快的单根问题
割线法	超线性收敛	需两点接近根	低（无需导数）	避免求导且收敛速度要求适中的场景