高等数学：函数的单调性、奇偶性、周期性

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一、函数的单调性

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有定义。对于区间\(I\)内的任意两点\(x_{1}\)和\(x_{2}\)：

（1）当\(x_{1}<x_{2}\)时，恒有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是单调增加的；

（2）当\(x_{1}<x_{2}\)时，恒有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是单调减少的。

例如，函数\(y = x^{2}\)在区间\((0,+\infty)\)上是单调增加的。

因为对于任意的\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})=x_{1}^{2}\)，\(f(x_{2}) = x_{2}^{2}\)，那么

\(f(x_{2})-f(x_{1})=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=(x_{2} - x_{1})(x_{2}+x_{1})>0\)，所以\(f(x_{1})<f(x_{2})\)。

而在区间\((-\infty,0)\)上是单调减少的，\(f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2} + x_{1})<0\)，即\(f(x_{1})>f(x_{2})\)。

导数与单调性：

设函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导。

（1）如果在\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)>0\)，那么函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调增加；

（2）如果在\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)<0\)，那么函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调减少。

例如，函数\(y = e^{x}\)，它的导数\(y^{\prime}=e^{x}\)。

因为对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，\(e^{x}>0\)，所以函数\(y = e^{x}\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调增加。

例如，函数\(y=\cos x\)，其导数\(y^{\prime}=-\sin x\)。

在区间\((0,\pi)\)上，\(\sin x>0\)，则\(y^{\prime}=-\sin x < 0\)，所以\(y = \cos x\)在\((0,\pi)\)上单调减少。

函数的单调区间：

第一步，确定函数\(y = f(x)\)的定义域。

第二步，求出函数的导数\(f^{\prime}(x)\)。

第三步，令\(f^{\prime}(x)=0\)，求出函数的驻点（导数为\(0\)的点），以及导数不存在的点。这些点将定义域分成若干个子区间。

第四步，在每个子区间内判断\(f^{\prime}(x)\)的符号：如果\(f^{\prime}(x)>0\)，则函数在该子区间单调增加；如果\(f^{\prime}(x)<0\)，则函数在该子区间单调减少。

例1：求函数\(y = 2x^{3}- 3x^{2}-12x + 1\)的单调区间

第一步：函数的定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：对函数求导，\(y^{\prime}=6x^{2}-6x - 12 = 6(x^{2}-x - 2)=6(x - 2)(x + 1)\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，即\(6(x - 2)(x + 1)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x=-1\)。这两个点将定义域分成三个子区间\((-\infty,-1)\)，\((-1,2)\)，\((2,+\infty)\)。

第四步：在区间\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，则\(y^{\prime}=6\times(-2 - 2)\times(-2 + 1)=24>0\)，所以函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。

在区间\((-1,2)\)内，取\(x = 0\)，则\(y^{\prime}=6\times(0 - 2)\times(0 + 1)= - 12<0\)，所以函数在\((-1,2)\)上单调减少。

在区间\((2,+\infty)\)内，取\(x = 3\)，则\(y^{\prime}=6\times(3 - 2)\times(3 + 1)=24>0\)，所以函数在\((2,+\infty)\)上单调增加。

例2：求函数\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x\)的单调区间

第一步：定义域是\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：求导得\(y^{\prime}=x^{2}-1=(x - 1)(x + 1)\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-1\)，将定义域分成\((-\infty,-1)\)，\((-1,1)\)，\((1,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，\(y^{\prime}=(-2 - 1)(-2 + 1)=3>0\)，函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。

在\((-1,1)\)内，取\(x = 0\)，\(y^{\prime}=(0 - 1)(0 + 1)=-1<0\)，函数在\((-1,1)\)上单调减少。

在\((1,+\infty)\)内，取\(x = 2\)，\(y^{\prime}=(2 - 1)(2 + 1)=3>0\)，函数在\((1,+\infty)\)上单调增加。

例3：求函数\(y = x+\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）的单调区间

第一步：定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。

第二步：求导\(y^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^{2}}\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，得\(x = 1\)或\(x=-1\)，再加上\(x = 0\)这个导数不存在的点，将定义域分成\((-\infty,-1)\)，\((-1,0)\)，\((0,1)\)，\((1,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，\(y^{\prime}=\frac{(-2 - 1)(-2 + 1)}{(-2)^{2}}=\frac{3}{4}>0\)，函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。

在\((-1,0)\)内，取\(x = -\frac{1}{2}\)，\(y^{\prime}=\frac{(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}+1)}{(-\frac{1}{2})^{2}}=-3<0\)，函数在\((-1,0)\)上单调减少。

在\((0,1)\)内，取\(x=\frac{1}{2}\)，\(y^{\prime}=\frac{(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+1)}{(\frac{1}{2})^{2}}=-3<0\)，函数在\((0,1)\)上单调减少。

在\((1,+\infty)\)内，取\(x = 2\)，\(y^{\prime}=\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^{2}}=\frac{3}{4}>0\)，函数在\((1,+\infty)\)上单调增加。

例4：求函数\(y=\ln(x^{2}+1)\)的单调区间

第一步：定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：求导\(y^{\prime}=\frac{2x}{x^{2}+1}\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，则\(2x = 0\)，解得\(x = 0\)。将定义域分成\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,0)\)内，取\(x=-1\)，\(y^{\prime}=\frac{2\times(-1)}{(-1)^{2}+1}=-1<0\)，函数在\((-\infty,0)\)上单调减少。

在\((0,+\infty)\)内，取\(x = 1\)，\(y^{\prime}=\frac{2\times1}{1^{2}+1}=1>0\)，函数在\((0,+\infty)\)上单调增加。

例5：求函数\(y = \sqrt{x^{2}-1}\)（\(x\geqslant1\)或\(x\leqslant - 1\)）的单调区间

第一步：定义域为\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)。

第二步：对函数求导，根据复合函数求导法则，\(y^{\prime}=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，得\(x = 0\)，但\(x = 0\)不在定义域内。在定义域内，当\(x>1\)时，\(y^{\prime}>0\)；当\(x<-1\)时，\(y^{\prime}<0\)。

第四步：所以函数在\([1,+\infty)\)上单调增加，在\((-\infty,-1]\)上单调减少。

二、函数的奇偶性

奇函数：设函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称，如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(-x)= - f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)称为奇函数。

例如，\(y = x^{3}\)是奇函数，因为\(f(x)=x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)。

偶函数：设函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称，如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)称为偶函数。

例如，\(y = x^{2}\)是偶函数，因为\(f(x)=x^{2}\)，\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\)。

函数的奇偶性判定方法

（1）利用定义判定：

对于给定的函数\(y = f(x)\)，首先检查其定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

例如，\(y=\sqrt{x}\)，其定义域为\([0,+\infty)\)，不关于原点对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数。

若定义域关于原点对称，再计算\(f(-x)\)并与\(f(x)\)和\(-f(x)\)进行比较。

例如，对于函数\(y=\frac{1}{x^{2}}\)，定义域为\(x\neq0\)，关于原点对称，且\(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}}=\frac{1}{x^{2}}=f(x)\)，所以它是偶函数。

（2）利用函数的运算性质判定：

两个奇函数的和（差）仍为奇函数。

设\(f(x)\)和\(g(x)\)是奇函数，则\((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\)，\((f\pm g)(-x)=f(-x)\pm g(-x)= - f(x)\mp g(x)=-(f(x)\pm g(x))\)。

两个偶函数的和（差）仍为偶函数。

设\(f(x)\)和\(g(x)\)是偶函数，则\((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\)，\((f\pm g)(-x)=f(-x)\pm g(-x)=f(x)\pm g(x)=(f(x)\pm g(x))\)。

奇函数与偶函数的乘积是奇函数。

设\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，则\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\)，\((f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)= - f(x)\cdot g(x)=-(f(x)\cdot g(x))\)。

函数奇偶性的性质

1. 图像对称性：偶函数的图像关于\(y\)轴对称，即若\((x,y)\)在偶函数\(y = f(x)\)的图像上，则\((-x,y)\)也在其图像上；奇函数的图像关于原点对称，若\((x,y)\)在奇函数\(y = f(x)\)的图像上，则\((-x,-y)\)也在其图像上.

2. 函数运算性质：两个奇函数的和（差）仍为奇函数；两个偶函数的和（差）仍为偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数；两个偶函数之积仍为偶函数；两个奇函数之积则为偶函数.

3. 复合函数的奇偶性：若\(f(x)\)是偶函数，\(g(x)\)是偶函数，则\(f(g(x))\)是偶函数；若\(f(x)\)是偶函数，\(g(x)\)是奇函数，则\(f(g(x))\)是偶函数；若\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，则\(f(g(x))\)是偶函数；若\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是奇函数，则\(f(g(x))\)是奇函数，可总结为“内偶则偶，内奇外奇则奇”.

4. 导数与奇偶性：可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数.

5. 积分性质：若函数\(f(x)\)在关于原点对称的区间\([-a,a]\)上是奇函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0\)；若函数\(f(x)\)在关于原点对称的区间\([-a,a]\)上是偶函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\).

函数奇偶性的应用

1. 简化积分计算：利用函数的奇偶性以及上述积分性质，可以简化定积分的计算。

计算\(\int_{-2}^{2}(x^{3}+2x^{2})dx\)，其中\(y = x^{3}\)是奇函数，\(y = 2x^{2}\)是偶函数，所以\(\int_{-2}^{2}x^{3}dx = 0\)，\(\int_{-2}^{2}2x^{2}dx = 2\int_{0}^{2}2x^{2}dx\)，从而简化计算.

2. 求解函数解析式：已知函数的奇偶性以及在某一区间上的解析式，可以求出函数在整个定义域上的解析式。

例如，已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x(1 - x)\)，那么当\(x\lt0\)时，\(-x\gt0\)，则\(f(-x)=-x(1+x)\)，又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)= - f(-x)=x(1 + x)\)，从而得到\(f(x)\)在\(R\)上的解析式.

3. 判断函数单调性：根据奇函数、偶函数的单调性的对称规律来判断函数在不同区间的单调性。

例如，已知偶函数\(f(x)\)在区间\([0,+\infty)\)上单调递增，则根据偶函数的对称性可知\(f(x)\)在区间\((-\infty,0]\)上单调递减.

4. 比较函数值大小：对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，可利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，再根据单调性判断函数值大小；对于奇函数，若在关于原点对称的区间上单调性相同，则可直接根据自变量的大小关系比较函数值大小.

5. 解抽象不等式：利用函数的奇偶性和单调性来解抽象不等式。

例如，已知奇函数\(f(x)\)是定义在\([-1,1]\)上的增函数，且\(f(x - 1)+f(1 - 2x)\gt0\)，则可根据奇函数性质将不等式化为\(f(x - 1)\gt - f(1 - 2x)=f(2x - 1)\)，再根据单调性列出不等式组求解\(x\)的取值范围.

函数奇偶性与单调性结合的常见题型：

1、比较函数值大小

题目特点：给出函数的奇偶性以及在某区间上的单调性，要求比较不同自变量对应的函数值大小.

解题思路：根据函数的奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，再利用单调性比较函数值大小。

示例：已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递增，比较\(f(-2)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)的大小。因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(-2)=f(2)\)，又因为\(1\lt 2\lt 3\)且函数在\([0,+\infty)\)单调递增，所以\(f(1)\lt f(2)=f(-2)\lt f(3)\) 。

2、解不等式

题目特点：不等式中含有函数值，且已知函数的奇偶性和单调性.

解题思路：利用函数的奇偶性将不等式变形，使不等式两边的函数值对应的自变量在同一单调区间内，然后根据单调性去掉函数符号，解出不等式。

示例：已知奇函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，且\(f(x - 1)+f(1 - 2x)\gt0\)，由奇函数性质可得\(f(x - 1)\gt - f(1 - 2x)=f(2x - 1)\)，因为函数单调递增，所以\(x - 1\gt 2x - 1\)，解得\(x\lt0\) 。

3、确定函数参数取值范围

题目特点：已知函数的奇偶性、单调性以及一些关于函数值或自变量的不等式关系，要求确定函数中参数的取值范围.

解题思路：根据函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化和推导，从而得到关于参数的不等式，解出参数的取值范围。

示例：设函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)是定义在\([-1,1]\)上的奇函数，且在\([-1,1]\)上单调递增，若\(f(m - 1)+f(2m - 1)\lt0\)，求\(m\)的取值范围。因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(0)=0\)，即\(c = 0\)，又\(f(-x)=-f(x)\)，可得\(a = 0\)，\(b = 0\)，则\(f(x)=x^{3}\)。由\(f(m - 1)+f(2m - 1)\lt0\)得\(f(m - 1)\lt - f(2m - 1)=f(1 - 2m)\)，因为函数单调递增，所以\(\begin{cases}-1\leqslant m - 1\leqslant1\\-1\leqslant 2m - 1\leqslant1\\m - 1\lt 1 - 2m\end{cases}\)，解得\(0\leqslant m\lt\frac{2}{3}\) 。

4、证明函数的性质

题目特点：要求证明函数在某区间上的单调性或奇偶性，而函数本身可能是由已知奇偶性和单调性的函数复合或运算得到.

解题思路：利用已知函数的奇偶性和单调性，通过定义法或其他相关性质来证明目标函数的性质。

示例：设\(f(x)\)是奇函数，且在\((0,+\infty)\)上单调递增，证明函数\(g(x)=f(x)\cdot f(-x)\)是偶函数且在\((0,+\infty)\)上单调递减。首先证明\(g(x)\)是偶函数，因为\(g(-x)=f(-x)\cdot f(x)=g(x)\)，所以\(g(x)\)是偶函数。然后任取\(0\lt x_{1}\lt x_{2}\)，则\(f(x_{1})\lt f(x_{2})\)，\(f(-x_{1})=-f(x_{1})\)，\(f(-x_{2})=-f(x_{2})\)，所以\(g(x_{1})-g(x_{2})=f(x_{1})f(-x_{1})-f(x_{2})f(-x_{2})\)

\(=-f(x_{1})f(x_{2})+f(x_{2})f(x_{1})=f(x_{1})f(x_{2})[f(x_{2})-f(x_{1})]\gt0\)，即\(g(x_{1})\gt g(x_{2})\)，所以\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减 。

5、求函数解析式

题目特点：已知函数在某区间上的解析式以及函数的奇偶性，要求求出函数在整个定义域上的解析式.

解题思路：利用函数的奇偶性，将已知区间外的自变量通过变换转化到已知区间内，再根据奇偶性的定义求出相应的函数解析式。

示例：已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，求当\(x\lt0\)时\(f(x)\)的解析式。当\(x\lt0\)时，\(-x\gt0\)，则\(f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x\)，又因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(x)=f(-x)=x^{2}+2x\)，所以\(f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x, & x\geqslant0\\x^{2}+2x, & x\lt0\end{cases}\) 。

三、函数的周期性

设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得对于任意\(x\in D\)，都有\(x + T\in D\)且\(f(x)=f(x + T)\)恒成立，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)叫做这个函数的一个周期.

三角函数：如\(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的最小正周期是\(2\pi\)，\(y = \tan x\)的最小正周期是\(\pi\)。

狄利克雷函数：\(D(x)=\begin{cases}1, x\in Q\\0, x\in R\backslash Q\end{cases}\) ，任何有理数都是它的周期，且它没有最小正周期.

性质

若\(T\)是\(f(x)\)的周期，则\(-T\)也是\(f(x)\)的周期.

若\(T\)是\(f(x)\)的周期，则\(nT\)（\(n\)为任意非零整数）也是\(f(x)\)的周期.

若\(T_1\)与\(T_2\)都是\(f(x)\)的周期，则\(T_1\pm T_2\)也是\(f(x)\)的周期.

若\(f(x)\)有最小正周期\(T^*\)，那么\(f(x)\)的任何正周期\(T\)一定是\(T^*\)的正整数倍.

若\(T_1\)、\(T_2\)是\(f(x)\)的两个周期，且\(\frac{T_1}{T_2}\)是无理数，则\(f(x)\)不存在最小正周期.

周期函数\(f(x)\)的定义域必定是至少一方无界的集合.

判定定理

若\(f(x)\)是在集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(kf(x)+c\)（\(k\neq0\)）和\(\frac{1}{f(x)}\)分别是集\(M\)和集\(\{x|f(x)\neq0,x\in M\}\)上的以\(T^*\)为最小正周期的周期函数.

若\(f(x)\)是集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(f(ax+b)\)是集\(\{x|ax+b\in M\}\)上的以\(\frac{T^*}{|a|}\)为最小正周期的周期函数，（其中\(a\)、\(b\)为常数）.

设\(f(u)\)是定义在集\(M\)上的函数，\(u = g(x)\)是集\(M_1\)上的周期函数，且当\(x\in M_1\)时，\(g(x)\in M\)，则复合函数\(f(g(x))\)是\(M_1\)上的周期函数.

设\(f_1(x)\)、\(f_2(x)\)都是集合\(M\)上的周期函数，\(T_1\)、\(T_2\)分别是它们的周期，若\(\frac{T_1}{T_2}\in Q\)，则它们的和差与积也是\(M\)上的周期函数，\(T_1\)与\(T_2\)的最小公倍数为它们的周期.

判定方法

判断\(f(x)\)的定义域是否有界，若定义域有界则不是周期函数，如\(f(x)=\cos x\)（\(x\leq10\)）不是周期函数.

根据定义讨论函数的周期性，即解关于\(T\)的方程\(f(x+T)-f(x)=0\)，若能解出与\(x\)无关的非零常数\(T\)便可断定函数\(f(x)\)是周期函数，若这样的\(T\)不存在则\(f(x)\)为非周期函数，如\(f(x)=\cos x^2\)是非周期函数.

一般用反证法证明，假设\(f(x)\)是周期函数推出矛盾，从而得出\(f(x)\)是非周期函数，如证\(f(x)=ax+b\)（\(a\neq0\)）是非周期函数.

与函数其他性质的结合

与奇偶性结合：若函数\(f(x)\)是奇函数且周期为\(T\)，则\(f(-x)=-f(x)\)且\(f(x + T)=f(x)\)，由此可推出\(f(-\frac{T}{2})=-f(\frac{T}{2})\)，又因为\(f(-\frac{T}{2})=f(\frac{T}{2})\)，所以\(f(\frac{T}{2})=0\)，即奇函数在半周期处的函数值为\(0\)。类似地，若函数是偶函数且周期为\(T\)，则\(f(x)=f(-x)\)且\(f(x + T)=f(x)\)，可推出\(f(\frac{T}{2})=f(-\frac{T}{2})=f(\frac{T}{2}+T)\)等性质。

与单调性结合：已知函数的周期性和单调性可以确定函数在整个定义域上的单调区间。

例如，若函数\(f(x)\)的周期为\(2\pi\)，在\([0,\pi]\)上单调递增，在\([\pi,2\pi]\)上单调递减，则可根据周期性得到在\([2k\pi,(2k + 1)\pi]\)（\(k\in Z\)）上单调递增，在\([(2k + 1)\pi,(2k + 2)\pi]\)（\(k\in Z\)）上单调递减。

例1：已知函数\(f(x)\)是定义在\((-\infty,\infty)\)上的奇函数，若对于任意的实数\(x\geq0\)，都有\(f(x + 2)=f(x)\)，且当\(x\in[0,2)\)时\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，则\(f(2023)+f(2024)\)的值为多少 ？

分析：本题可先根据函数的周期性和奇偶性，将所求的函数值转化到已知解析式的区间内，再代入解析式求值。

解答：因为\(f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数，所以\(f(2023)=f(2\times1011 + 1)=f(1)\)，\(f(2024)=f(2\times1012)=f(0)\)。当\(x\in[0,2)\)时，\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，则\(f(1)=\log_{2}(1 + 1)=1\)，\(f(0)=\log_{2}(0 + 1)=0\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)=-f(x)\)，则\(f(-1)=-f(1)=-1\)。而\(f(2023)=f(1)=1\)，\(f(2024)=f(0)=0\)，所以\(f(2023)+f(2024)=1 + 0 = 1\)。

例2：设\(f(x)\)是定义在\(R\)上且周期为\(2\)的函数，在区间\([-1,1]\)上，\(f(x)=\begin{cases}ax + 1,-1\leq x\lt0\\bx + 2,0\leq x\leq1\end{cases}\)，其中\(a,b\in R\)。若\(f(\frac{1}{2})=f(\frac{3}{2})\)，则\(a + 3b\)的值为多少 ？

分析：本题先根据函数的周期性求出\(f(\frac{3}{2})\)，再由已知条件建立关于\(a\)、\(b\)的方程，进而求出\(a + 3b\)的值。

解答：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2}-2)=f(-\frac{1}{2})\)。又\(f(\frac{1}{2})=f(\frac{3}{2})\)，则\(f(\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2})\)。将\(x=\frac{1}{2}\)和\(x=-\frac{1}{2}\)分别代入函数解析式可得：\(\frac{1}{2}b + 2=-\frac{1}{2}a + 1\)，化简得\(a + b=-2\)。再将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，可得\(f(1)=b + 2\)，由周期性知\(f(-1)=f(1)\)，即\(-a + 1 = b + 2\)，化简得\(a + b=-1\)。联立方程组\(\begin{cases}a + b=-2\\a + b=-1\end{cases}\)，无解。经检查发现前面计算有误，重新计算\(f(\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2})\)，即\(\frac{1}{2}b + 2=-\frac{1}{2}a + 1\)，得\(a=-2b - 2\)，代入\(f(1)=f(-1)\)，即\(b + 2=-a + 1\)，可得\(b + 2=-(-2b - 2)+1\)，解得\(b=-3\)，则\(a = 4\)，所以\(a + 3b = 4 + 3\times(-3)=-5\)。

例3：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=-f(x)\)，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，则\(f(10)\)等于多少 ？

分析：本题可先根据已知条件推出函数的周期，再将\(f(10)\)转化到已知区间内的函数值进行计算。

解答：由\(f(x + 2)=-f(x)\)可得\(f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。则\(f(10)=f(4\times2 + 2)=f(2)\)，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，所以\(f(2)=2^{2}-2\times2 = 0\)，即\(f(10)=0\)。

例4：若函数\(f(x)\)是周期为\(4\)的偶函数，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x - 1\)，则不等式\(xf(x)\gt0\)在\([-1,3]\)上的解集为多少 ？

分析：本题可先根据函数的奇偶性和周期性画出函数图象，再结合图象求解不等式。

解答：因为\(f(x)\)是周期为\(4\)的偶函数，所以\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，且周期为\(4\)。当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x - 1\)，由此可画出\(f(x)\)在\([-1,3]\)上的图象。当\(x\in[-1,0)\)时，\(-x\in(0,1]\)，则\(f(x)=f(-x)=-x - 1\)。由\(xf(x)\gt0\)可得：\(\begin{cases}x\gt0\\f(x)\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x\lt0\\f(x)\lt0\end{cases}\)。当\(x\gt0\)时，\(f(x)\gt0\)即\(x - 1\gt0\)，解得\(x\gt1\)；当\(x\lt0\)时，\(f(x)\lt0\)即\(-x - 1\lt0\)，解得\(x\gt - 1\)，所以不等式\(xf(x)\gt0\)在\([-1,3]\)上的解集为\((-1,0)\cup(1,3)\)。

例5：设函数\(f(x)\)对于任意实数\(x\)满足条件\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)，若\(f(1)=-5\)，则\(f(f(5))\)等于多少 ？

分析：本题先根据已知条件求出函数的周期，再逐步计算\(f(f(5))\)的值。

解答：由\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)可得\(f(x + 4)=\frac{1}{f(x + 2)}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。则\(f(5)=f(4 + 1)=f(1)=-5\)，所以\(f(f(5))=f(-5)=f(-5 + 4)=f(-1)\)。又因为\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)，令\(x=-1\)，可得\(f(1)=\frac{1}{f(-1)}\)，即\(f(-1)=-\frac{1}{5}\)，所以\(f(f(5))=-\frac{1}{5}\) 。

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