高等数学：双曲函数与反双曲函数

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一、双曲正弦函数的定义

双曲正弦函数记作 $sinh(x)$ ，它的定义式为 $sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ，其中 $e$ 是自然常数（约为 $2.71828$ ）。

例如，当 $x = 1$ 时， $sinh(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}=\frac{e - \frac{1}{e}}{2}$ 。

二、双曲正弦函数的性质

奇偶性：双曲正弦函数是奇函数，即 $sinh(-x)=-sinh(x)$ 。证明如下： $sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-sinh(x)$ 。

单调性：双曲正弦函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上是单调递增的。对 $sinh(x)$ 求导， $(sinh(x))^\prime=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，因为 $e^{x}\gt0$ ， $e^{-x}\gt0$ ，所以 $(sinh(x))^\prime\gt0$ 恒成立，这表明函数在整个定义域内单调递增。

值域：双曲正弦函数的值域是 $(-\infty,+\infty)$ 。当 $x\to-\infty$ 时， $e^{x}\to0$ ， $e^{-x}\to+\infty$ ，所以 $sinh(x)\to-\infty$ ；当 $x\to+\infty$ 时， $e^{x}\to+\infty$ ， $e^{-x}\to0$ ，所以 $sinh(x)\to+\infty$ 。

三、双曲正弦函数的图像

双曲正弦函数的图像是关于原点对称的，形状类似于一个悬链线。它经过原点 $(0,0)$ ，在 $x$ 轴正半轴，函数值随着 $x$ 的增大而迅速增大；在 $x$ 轴负半轴，函数值随着 $x$ 的减小而迅速减小。

四、与其他函数的关系

双曲正弦函数与指数函数密切相关，它是由指数函数 $e^{x}$ 和 $e^{-x}$ 组合而成的。并且它和双曲余弦函数 $cosh(x)$ 满足 $cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1$ ，这个关系式类似于三角函数中的 $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$ 。

例如，已知 $sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ， $cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，则 $cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=\frac{e^{2x}+2 + e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2 + e^{-2x}}{4}=1$ 。

例1：求函数的导数

已知 $y = sinh(x^{2})$ ，求 $y^\prime$ 。

根据复合函数求导法则，令 $u = x^{2}$ ，则 $y = sinh(u)$ 。

先对 $y = sinh(u)$ 求导，可得 $y^\prime_{u}=\cosh(u)$ ；再对 $u = x^{2}$ 求导，可得 $u^\prime_{x}=2x$ 。

根据复合函数求导公式 $y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，则 $y^\prime = \cosh(x^{2})\cdot2x = 2x\cosh(x^{2})$ 。

例2：计算定积分

计算 $\int_{0}^{1}sinh(x)dx$ 。

由双曲正弦函数的积分公式 $\int sinh(x)dx=\cosh(x)+C$ ，可得：

$\int_{0}^{1}sinh(x)dx=[\cosh(x)]_{0}^{1}=\cosh(1)-\cosh(0)$

又因为 $\cosh(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1$ ， $\cosh(1)=\frac{e^{1}+e^{-1}}{2}$ ，所以 $\int_{0}^{1}sinh(x)dx=\frac{e + \frac{1}{e}}{2}-1$ 。

例3：求解方程

已知 $sinh(x)=\frac{3}{4}$ ，求 $x$ 的值。

由双曲正弦函数的定义 $sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{3}{4}$ ，设 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则方程可化为：

$\frac{t-\frac{1}{t}}{2}=\frac{3}{4}$

化简得 $4t^{2}-6t - 4 = 0$ ，即 $2t^{2}-3t - 2 = 0$

分解因式得 $(2t + 1)(t - 2)=0$

解得 $t = 2$ 或 $t=-\frac{1}{2}$ （舍去）

当 $t = 2$ 时，即 $e^{x}=2$ ，所以 $x=\ln2$ 。

例4：研究函数的性质

已知函数 $y = 2sinh(x)+3$ ，分析其单调性、奇偶性等性质。

单调性：因为双曲正弦函数 $sinh(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，而 $y = 2sinh(x)+3$ 中 $2>0$ ，所以函数 $y = 2sinh(x)+3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也是单调递增的。

奇偶性：由于 $sinh(x)$ 是奇函数，即 $sinh(-x)=-sinh(x)$ 。那么 $y(-x)=2sinh(-x)+3=-2sinh(x)+3$ ，而 $-y(x)=-2sinh(x)-3$ ，所以 $y(-x)\neq -y(x)$ ，函数 $y = 2sinh(x)+3$ 不是奇函数；又因为 $y(-x)\neq y(x)$ ，所以函数 $y = 2sinh(x)+3$ 也不是偶函数，即该函数是非奇非偶函数。

例5：物理中的应用

在研究悬链线问题时，假设一根均匀柔软的绳索两端固定在两点 $A$ 、 $B$ 之间，在重力作用下自然下垂，其形状可以用双曲余弦函数来描述，而双曲正弦函数与双曲余弦函数有密切关系。设绳索的最低点为 $C$ ，以 $C$ 为原点建立直角坐标系， $x$ 轴水平向右， $y$ 轴竖直向上。则绳索的曲线方程为 $y = a\cosh(\frac{x}{a})$ ，其中 $a$ 为常数。对 $y = a\cosh(\frac{x}{a})$ 求导可得 $y^\prime=\sinh(\frac{x}{a})$ ，再求导得 $y^{\prime\prime}=\frac{1}{a}\cosh(\frac{x}{a})$ 。在物理中， $y^{\prime\prime}$ 与绳索所受的张力等物理量有关，通过对双曲正弦函数和双曲余弦函数的分析，可以进一步研究悬链线的物理性质，如绳索上任意一点的张力大小和方向等。

一、双曲余弦函数的定义

双曲余弦函数记为 $\cosh(x)$ ，其定义为 $\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，其中 $e$ 是自然常数，约等于 $2.71828$ 。

例如，当 $x = 0$ 时， $\cosh(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=\frac{1 + 1}{2}=1$ 。

二、双曲余弦函数的性质

奇偶性：双曲余弦函数是偶函数，即 $\cosh(-x)=\cosh(x)$ 。证明如下： $\cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\cosh(x)$ 。

单调性：在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在区间 $(-\infty,0)$ 上单调递减。对 $\cosh(x)$ 求导， $(\cosh(x))^\prime=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$ 。当 $x>0$ 时， $\sinh(x)>0$ ，函数单调递增；当 $x < 0$ 时， $\sinh(x)<0$ ，函数单调递减。

值域：因为 $e^{x}>0$ ， $e^{-x}>0$ ，所以 $\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\geq\frac{2\sqrt{e^{x}\times e^{-x}}}{2}=1$ ，当且仅当 $x = 0$ 时取等号，所以其值域是 $[1,+\infty)$ 。

三、双曲余弦函数的图像

双曲余弦函数的图像关于 $y$ 轴对称，形状类似一个开口向上的抛物线，但增长速度比抛物线快。它的最低点是 $(0,1)$ ，当 $x\to\pm\infty$ 时， $\cosh(x)\to+\infty$ 。

四、双曲余弦函数与其他函数的关系

与双曲正弦函数的关系： $\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1$ 。这一关系类似于三角函数中的 $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$ 。

例如，已知 $\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ， $\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，则 $\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=\frac{e^{2x}+2 + e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2 + e^{-2x}}{4}=1$ 。

与指数函数的关系：双曲余弦函数是由指数函数 $e^{x}$ 和 $e^{-x}$ 组合而成的，它在很多数学物理问题中出现，如在研究悬链线问题时，悬链线的方程 $y = a\cosh(\frac{x}{a})$ （ $a$ 为常数）就用到了双曲余弦函数。

例1：求函数的导数

已知 $y = \cosh(x^{2})$ ，求 $y^\prime$ 。

令 $u = x^{2}$ ，则 $y = \cosh(u)$ 。

先对 $y = \cosh(u)$ 求导，可得 $y^\prime_{u}=\sinh(u)$ ；再对 $u = x^{2}$ 求导，可得 $u^\prime_{x}=2x$ 。

根据复合函数求导公式 $y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，则 $y^\prime = \sinh(x^{2})\cdot2x = 2x\sinh(x^{2})$ 。

例2：计算定积分

计算 $\int_{0}^{1}\cosh(x)dx$ 。

由双曲余弦函数的积分公式 $\int \cosh(x)dx=\sinh(x)+C$ ，可得：

$\int_{0}^{1}\cosh(x)dx=[\sinh(x)]_{0}^{1}=\sinh(1)-\sinh(0)$

又因为 $\sinh(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=0$ ， $\sinh(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}$ ，所以 $\int_{0}^{1}\cosh(x)dx=\frac{e - \frac{1}{e}}{2}$ 。

例3：求解方程

已知 $\cosh(x)=2$ ，求 $x$ 的值。

由双曲余弦函数的定义 $\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=2$ ，设 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则方程可化为：

$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}=2$

化简得 $t^{2}-4t + 1 = 0$

由求根公式可得 $t = 2\pm\sqrt{3}$

当 $t = 2+\sqrt{3}$ 时，即 $e^{x}=2+\sqrt{3}$ ，所以 $x=\ln(2+\sqrt{3})$ ；当 $t = 2-\sqrt{3}$ 时， $e^{x}=2-\sqrt{3}$ ，所以 $x=\ln(2-\sqrt{3})$ ，但因为 $2-\sqrt{3}<1$ ，而 $e^{x}>0$ ，所以 $x=\ln(2-\sqrt{3})$ 舍去，故 $x=\ln(2+\sqrt{3})$ 。

例4：研究函数的性质

已知函数 $y = 3\cosh(x)-2$ ，分析其单调性、奇偶性等性质。

单调性：因为双曲余弦函数 $\cosh(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，而 $y = 3\cosh(x)-2$ 中 $3>0$ ，所以函数 $y = 3\cosh(x)-2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也是单调递增的。

奇偶性：由于 $\cosh(x)$ 是偶函数，即 $\cosh(-x)=\cosh(x)$ 。那么 $y(-x)=3\cosh(-x)-2=3\cosh(x)-2=y(x)$ ，所以函数 $y = 3\cosh(x)-2$ 是偶函数。

例5：物理中的应用——悬链线问题

在研究悬链线问题时，假设一根均匀柔软的绳索两端固定在两点 $A$ 、 $B$ 之间，在重力作用下自然下垂，其形状可以用双曲余弦函数来描述，设绳索的最低点为 $C$ ，以 $C$ 为原点建立直角坐标系， $x$ 轴水平向右， $y$ 轴竖直向上，则绳索的曲线方程为 $y = a\cosh(\frac{x}{a})$ ，其中 $a$ 为常数。

已知一悬链线方程为 $y = 5\cosh(\frac{x}{5})$ ，求绳索在 $x = 3$ 处的斜率。

对 $y = 5\cosh(\frac{x}{5})$ 求导可得 $y^\prime=\sinh(\frac{x}{5})$ ，当 $x = 3$ 时，斜率 $k = \sinh(\frac{3}{5})$ ，即绳索在 $x = 3$ 处的斜率为 $\sinh(\frac{3}{5})$ ，它的值为 $\frac{e^{\frac{3}{5}}-e^{-\frac{3}{5}}}{2}$ 。通过对双曲余弦函数等双曲函数的分析，可以进一步研究悬链线的物理性质，如绳索上任意一点的张力大小和方向等。

一、双曲正切函数的定义

双曲正切函数记为 $\tanh(x)$ ，它的定义是 $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ 。

例如，当 $x = 0$ 时， $\tanh(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{e^{0}+e^{-0}}=\frac{0}{2}=0$ 。

二、双曲正切函数的性质

奇偶性：双曲正切函数是奇函数，即 $\tanh(-x)=-\tanh(x)$ 。证明如下：

$\tanh(-x)=\frac{\sinh(-x)}{\cosh(-x)}=\frac{- \sinh(x)}{\cosh(x)}=-\tanh(x)$ 。

单调性：在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。对 $\tanh(x)$ 求导，根据除法求导法则 $(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$ ，这里 $u = \sinh(x)$ ， $v=\cosh(x)$ 。

$u^\prime=\cosh(x)$ ， $v^\prime=\sinh(x)$ ，则 $(\tanh(x))^\prime=\frac{\cosh(x)\cdot\cosh(x)-\sinh(x)\cdot\sinh(x)}{\cosh^{2}(x)}=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}>0$ （因为 $\cosh^{2}(x)>0$ ），所以函数在整个定义域内单调递增。

值域：因为 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\tanh(x)=1$ ， $\lim_{x\rightarrow-\infty}\tanh(x)= - 1$ ，所以其值域是 $( - 1,1)$ 。

三、双曲正切函数的图像

双曲正切函数的图像关于原点对称，它在 $x$ 轴方向上无限延伸，并且当 $x$ 趋近于正无穷时，函数值趋近于 $1$ ；当 $x$ 趋近于负无穷时，函数值趋近于 $-1$ 。函数在原点处的值为 $0$ ，图像形状类似于“S”形，在 $(-\infty,+\infty)$ 上是连续的。

四、双曲正切函数与其他函数的关系

与双曲正弦和双曲余弦函数的关系： $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ ，并且 $1 - \tanh^{2}(x)=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}$ 。

在反双曲函数关系中，若 $y = \tanh(x)$ ，则其反函数 $x = \text{arctanh}(y)$ ，并且 $\text{arctanh}(y)=\frac{1}{2}\ln(\frac{1 + y}{1 - y})$ ，这在一些涉及到反函数的计算和推导中非常有用。

例1：求函数的导数

已知 $y=\tanh(3x)$ ，求 $y^\prime$ 。

根据复合函数求导法则，令 $u = 3x$ ，则 $y=\tanh(u)$ 。

首先求 $y$ 关于 $u$ 的导数， $(\tanh(u))^\prime=\frac{1}{\cosh^{2}(u)}$ 。

然后求 $u$ 关于 $x$ 的导数， $u^\prime=(3x)^\prime = 3$ 。

根据复合函数求导公式 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，可得 $y^\prime=\frac{3}{\cosh^{2}(3x)}$ 。

例2：计算定积分

计算 $\int_{0}^{1}\tanh(x)dx$ 。

因为 $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ ，设 $u = \cosh(x)$ ，则 $du=\sinh(x)dx$ 。

当 $x = 0$ 时， $u=\cosh(0)=1$ ；当 $x = 1$ 时， $u=\cosh(1)$ 。

那么 $\int_{0}^{1}\tanh(x)dx=\int_{1}^{\cosh(1)}\frac{1}{u}du=[\ln|u|]_{1}^{\cosh(1)}=\ln(\cosh(1))-\ln(1)=\ln(\cosh(1))$ 。

例3：求解方程

已知 $\tanh(x)=\frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的值。

由 $\tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{2}$ 。

设 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则 $\frac{t - \frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}}=\frac{1}{2}$ 。

化简得 $\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}=\frac{1}{2}$ ，即 $2t^{2}-2=t^{2}+1$ 。

解得 $t^{2}=3$ ，所以 $t=\sqrt{3}$ （ $t>0$ ）。

当 $t=\sqrt{3}$ 时， $e^{x}=\sqrt{3}$ ，则 $x=\ln(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\ln(3)$ 。

例4：研究函数的渐近线

对于函数 $y = \tanh(x)$ ，求其渐近线。

因为 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\tanh(x)=1$ ， $\lim_{x\rightarrow-\infty}\tanh(x)= - 1$ ，所以 $y = 1$ 和 $y=-1$ 是函数 $y=\tanh(x)$ 的水平渐近线。

例5：在神经网络中的应用（简化示例）

在神经网络的激活函数中，双曲正切函数是一种常用的激活函数。假设一个简单的神经网络层输出为 $z$ ，经过双曲正切激活函数后得到 $a=\tanh(z)$ 。

例如， $z = 2$ 时， $a=\tanh(2)=\frac{e^{2}-e^{-2}}{e^{2}+e^{-2}}\approx0.964$ 。激活函数可以为神经网络引入非线性因素，使得神经网络能够更好地拟合复杂的数据模式。双曲正切函数的输出范围 $( - 1,1)$ 也有助于将神经元的输出归一化到一定的区间内，便于后续的计算和处理。

一、反双曲正弦函数的定义

反双曲正弦函数是双曲正弦函数的反函数。如果 $y = \sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ，那么反双曲正弦函数 $x = \text{arsinh}(y)$ 。

它可以通过解方程 $y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ 得到显式表达式。令 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则方程变为 $y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}$ ，整理得 $2yt=t^{2}-1$ ，即 $t^{2}-2yt - 1 = 0$ 。

利用一元二次方程求根公式 $t=y\pm\sqrt{y^{2}+1}$ ，因为 $t = e^{x}>0$ ，所以 $t=y+\sqrt{y^{2}+1}$ ，则 $x=\ln(y + \sqrt{y^{2}+1})$ ，所以 $\text{arsinh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})$ 。

二、反双曲正弦函数的性质

定义域和值域：定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，值域也是 $(-\infty,+\infty)$ 。这是因为双曲正弦函数 $y = \sinh(x)$ 的值域是 $(-\infty,+\infty)$ ，所以其反函数的定义域是 $(-\infty,+\infty)$ ，并且反双曲正弦函数的取值可以是任意实数。

单调性：反双曲正弦函数在其定义域内是单调递增的。因为双曲正弦函数 $y = \sinh(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，根据反函数的性质，反双曲正弦函数也单调递增。

奇偶性：反双曲正弦函数是奇函数，即 $\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)$ 。证明如下：

$\text{arsinh}(-y)=\ln(-y+\sqrt{y^{2}+1})$ ，而 $-\text{arsinh}(y)=-\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})=\ln\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}$ 。

对 $\ln(-y+\sqrt{y^{2}+1})$ 进行分子有理化，可得 $\ln\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}$ ，所以 $\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)$ 。

三、反双曲正弦函数的导数

根据反函数求导法则，若 $y = f(x)$ 的反函数是 $x = g(y)$ ，则 $g^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime(x)}$ ，其中 $y = f(x)$ 。

对于 $y = \sinh(x)$ ， $y^\prime=\cosh(x)$ ，所以 $(\text{arsinh}(y))^\prime=\frac{1}{\cosh(\text{arsinh}(y))}$ 。

又因为 $\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1$ ，对于 $x = \text{arsinh}(y)$ ， $\cosh(\text{arsinh}(y))=\sqrt{1 + y^{2}}$ ，所以 $(\text{arsinh}(y))^\prime=\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}}$ 。

例1：求导计算

已知函数 $y = \text{arsinh}(x^{2})$ ，求 $y^\prime$ 。

根据复合函数求导法则，令 $u = x^{2}$ ，则 $y=\text{arsinh}(u)$ 。

先对 $y = \text{arsinh}(u)$ 求导， $(\text{arsinh}(u))^\prime=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}$ 。

再对 $u = x^{2}$ 求导， $u^\prime = 2x$ 。

由复合函数求导公式 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，可得 $y^\prime=\frac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}+1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}+1}}$ 。

例2：积分计算

计算 $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx$ 。

注意到 $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\text{arsinh}(x)+C$ 。

例如，计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx$ ，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为 $[\text{arsinh}(x)]_{0}^{1}=\text{arsinh}(1)-\text{arsinh}(0)$ 。

因为 $\text{arsinh}(0)=\ln(0+\sqrt{0^{2}+1}) = 0$ ， $\text{arsinh}(1)=\ln(1+\sqrt{1^{2}+1})=\ln(1 + \sqrt{2})$ ，所以定积分的值为 $\ln(1+\sqrt{2})$ 。

例3：解方程

求解方程 $\text{arsinh}(x)=2$ 。

由反双曲正弦函数的定义 $\text{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ ，则 $\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) = 2$ 。

两边同时取指数，可得 $x+\sqrt{x^{2}+1}=e^{2}$ 。

移项得 $\sqrt{x^{2}+1}=e^{2}-x$ ，两边平方得 $x^{2}+1=(e^{2}-x)^{2}=e^{4}-2e^{2}x+x^{2}$ 。

化简可得 $2e^{2}x=e^{4}-1$ ，解得 $x=\frac{e^{4}-1}{2e^{2}}$ 。

例4：证明等式

证明 $\text{arsinh}(x)+\text{arsinh}(-x)=0$ 。

由反双曲正弦函数的性质 $\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)$ ，令 $y = x$ ，则 $\text{arsinh}(x)+\text{arsinh}(-x)=\text{arsinh}(x)-\text{arsinh}(x)=0$ 。

例5：在物理中的应用（简化模型）

假设在一个电场中，电子的运动轨迹在某种近似下可以用一个含有反双曲正弦函数的方程来描述。设电子的位置 $y$ 与时间 $t$ 的关系为 $y = a\cdot\text{arsinh}(bt)$ （ $a$ 和 $b$ 为常数）。

求电子在某一时刻 $t = t_{0}$ 的速度。对 $y$ 关于 $t$ 求导， $y^\prime=a\cdot\frac{b}{\sqrt{(bt)^{2}+1}}$ 。

当 $t = t_{0}$ 时，速度 $v=a\cdot\frac{b}{\sqrt{(bt_{0})^{2}+1}}$ ，这个速度表达式可以帮助我们研究电子在该电场中的运动状态等物理性质。

一、反双曲余弦函数的定义

反双曲余弦函数是双曲余弦函数 $y = \cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ 的反函数。记为 $x = \text{arcosh}(y)$ 。

对于 $y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，令 $t = e^{x}(t>0)$ ，则方程变为 $y=\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$ ，整理得 $t^{2}-2yt + 1 = 0$ 。

解这个一元二次方程， $t=y\pm\sqrt{y^{2}-1}$ ，因为 $t = e^{x}>0$ ，所以 $t=y + \sqrt{y^{2}-1}$ （这里要求 $y\geqslant1$ ），则 $x=\ln(y+\sqrt{y^{2}-1})$ ，所以 $\text{arcosh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^{2}-1})$ ，其定义域为 $[1,+\infty)$ 。

二、反双曲余弦函数的性质

单调性：在定义域 $[1,+\infty)$ 上单调递增。因为双曲余弦函数 $y = \cosh(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，根据反函数的性质，反双曲余弦函数在其定义域上也单调递增。

值域：反双曲余弦函数的值域是 $[0,+\infty)$ 。这是因为原双曲余弦函数 $\cosh(x)$ 当 $x = 0$ 时取最小值 $1$ ，并且 $x$ 从 $0$ 开始增大时， $\cosh(x)$ 的值也增大，其反函数的值域与之对应。

奇偶性：它不是奇函数也不是偶函数。因为双曲余弦函数 $\cosh(x)$ 是偶函数，其反函数不具备奇偶性。

三、反双曲余弦函数的导数

根据反函数求导法则，对于 $y = \cosh(x)$ ， $y^\prime=\sinh(x)$ ，所以 $(\text{arcosh}(y))^\prime=\frac{1}{\sinh(\text{arcosh}(y))}$ 。

由 $\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1$ ，对于 $x = \text{arcosh}(y)$ ， $\sinh(\text{arcosh}(y))=\sqrt{y^{2}-1}$ （因为 $y\geqslant1$ ），所以 $(\text{arcosh}(y))^\prime=\frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}$ ， $y>1$ 。

例1：求导问题

已知函数 $y = \text{arcosh}(x^{2})$ ，求 $y^\prime$ 。

令 $u = x^{2}$ ，则 $y=\text{arcosh}(u)$ 。

首先求 $y$ 关于 $u$ 的导数，根据 $(\text{arcosh}(u))^\prime=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}$ （ $u > 1$ ）。

然后求 $u$ 关于 $x$ 的导数， $u^\prime = 2x$ 。

由复合函数求导公式 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，可得 $y^\prime=\frac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}-1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}-1}}$ （ $x^{2}>1$ ，即 $x > 1$ 或 $x < - 1$ ）。

例2：积分计算

计算 $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx$ （ $x > 1$ ）。

我们知道 $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C$ 。

例如，计算定积分 $\int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx$ ，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为 $[\text{arcosh}(x)]_{2}^{3}=\text{arcosh}(3)-\text{arcosh}(2)$ 。

因为 $\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$ ，所以 $\text{arcosh}(3)-\text{arcosh}(2)=\ln(3 + \sqrt{9 - 1})-\ln(2+\sqrt{4 - 1})=\ln\frac{3+\sqrt{8}}{2+\sqrt{3}}$ 。

例3：解方程

求解方程 $\text{arcosh}(x)=2$ 。

由 $\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$ ，则 $\ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) = 2$ 。

两边同时取指数，可得 $x+\sqrt{x^{2}-1}=e^{2}$ 。

移项得 $\sqrt{x^{2}-1}=e^{2}-x$ ，两边平方得 $x^{2}-1=(e^{2}-x)^{2}=e^{4}-2e^{2}x+x^{2}$ 。

化简可得 $2e^{2}x=e^{4}+1$ ，解得 $x=\frac{e^{4}+1}{2e^{2}}$ 。

例4：证明等式（涉及反函数性质）

证明 $\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$ 满足 $\cosh(\text{arcosh}(x))=x$ （ $x\geqslant1$ ）。

设 $y = \text{arcosh}(x)$ ，则 $x=\cosh(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$ 。

又因为 $y=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$ ，代入 $\cosh(y)$ 可得：

$\cosh(y)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})+(x-\sqrt{x^{2}-1})}{2}=x$ ，证明完毕。

例5：在几何中的应用（圆锥曲线）

在双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ （ $x\geqslant1$ ）中，设 $x = \cosh(t)$ ， $y = \sinh(t)$ 。

若已知点 $(x,y)$ 在双曲线上，且 $x$ 的值已知，要求 $t$ ，则可以使用反双曲余弦函数。

例如，若 $x = 2$ ，则 $t=\text{arcosh}(2)=\ln(2+\sqrt{4 - 1})=\ln(2+\sqrt{3})$ ，这样可以通过反双曲函数来确定参数 $t$ 的值，进而研究双曲线的参数方程等相关性质。

一、反双曲正切函数的定义

反双曲正切函数是双曲正切函数 $y = \tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ 的反函数，记为 $x=\text{artanh}(y)$ 。

通过解方程 $y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ 来求其表达式。令 $e^{x}=t$ （ $t>0$ ），则 $y=\frac{t - \frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}$ 。

整理得 $t^{2}=\frac{1 + y}{1 - y}$ ，所以 $t=\sqrt{\frac{1 + y}{1 - y}}$ （因为 $t>0$ ），则 $x = \ln\sqrt{\frac{1 + y}{1 - y}}=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}$ ，其定义域为 $(-1,1)$ 。

二、反双曲正切函数的性质

单调性：在定义域 $(-1,1)$ 内单调递增。因为双曲正切函数 $y = \tanh(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，根据反函数的性质，反双曲正切函数在其定义域上也单调递增。

值域：反双曲正切函数的值域是 $(-\infty,+\infty)$ 。这是因为双曲正切函数的值域是 $(-1,1)$ ，所以其反函数的定义域是 $(-1,1)$ ，值域是 $(-\infty,+\infty)$ 。

奇偶性：反双曲正切函数是奇函数，即 $\text{artanh}(-y)=-\text{artanh}(y)$ 。证明如下：

$\text{artanh}(-y)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 - y}{1 + y}=-\frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}=-\text{artanh}(y)$ 。

三、反双曲正切函数的导数

根据反函数求导法则，对于 $y = \tanh(x)$ ， $y^\prime=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}$ ，所以 $(\text{artanh}(y))^\prime=\frac{1}{(\frac{1}{\cosh^{2}(\text{artanh}(y))})}=\cosh^{2}(\text{artanh}(y))$ 。

又因为 $1 - \tanh^{2}(x)=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}$ ，对于 $x = \text{artanh}(y)$ ， $\cosh^{2}(\text{artanh}(y))=\frac{1}{1 - y^{2}}$ ，所以 $(\text{artanh}(y))^\prime=\frac{1}{1 - y^{2}}$ ， $y\in(-1,1)$ 。

例1：求导运算

已知函数 $y = \text{artanh}(x^{2})$ ，求 $y^\prime$ 。

令 $u = x^{2}$ ，则 $y=\text{artanh}(u)$ 。

先对 $y = \text{artanh}(u)$ 求导，根据 $(\text{artanh}(u))^\prime=\frac{1}{1 - u^{2}}$ 。

再对 $u = x^{2}$ 求导， $u^\prime = 2x$ 。

由复合函数求导公式 $y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$ ，可得 $y^\prime=\frac{2x}{1 - (x^{2})^{2}}=\frac{2x}{1 - x^{4}}$ ， $x^{2}\in(-1,1)$ ，即 $x\in(-1,1)$ 。

例2：积分计算

计算 $\int\frac{1}{1 - x^{2}}dx$ （ $|x|<1$ ）。

因为 $\int\frac{1}{1 - x^{2}}dx=\text{artanh}(x)+C$ 。

例如，计算定积分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1 - x^{2}}dx$ ，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为 $[\text{artanh}(x)]_{0}^{\frac{1}{2}}=\text{artanh}(\frac{1}{2})-\text{artanh}(0)$ 。

又因为 $\text{artanh}(0)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + 0}{1 - 0}=0$ ， $\text{artanh}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln3$ ，所以定积分的值为 $\frac{1}{2}\ln3$ 。

例3：解方程

求解方程 $\text{artanh}(x)=1$ 。

由 $\text{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}$ ，则 $\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}=1$ 。

两边同时乘以 $2$ 得 $\ln\frac{1 + x}{1 - x}=2$ 。

两边同时取指数得 $\frac{1 + x}{1 - x}=e^{2}$ 。

交叉相乘得 $1 + x=e^{2}(1 - x)$ 。

展开得 $1 + x=e^{2}-e^{2}x$ 。

移项得 $(1 + e^{2})x=e^{2}-1$ ，解得 $x=\frac{e^{2}-1}{e^{2}+1}$ 。

例4：证明等式（反函数性质）

证明 $\tanh(\text{artanh}(x))=x$ ， $x\in(-1,1)$ 。

设 $y = \text{artanh}(x)$ ，则 $x=\tanh(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}$ 。

又因为 $y=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}$ ，代入 $\tanh(y)$ 的表达式进行化简，最终可以得到 $\tanh(\text{artanh}(x))=x$ 。

例5：在统计学中的应用（简化示例）

在逻辑回归模型中，假设概率 $p$ 与变量 $x$ 之间的关系可以用 $p=\frac{e^{z}}{1 + e^{z}}$ 来表示，其中 $z = a + bx$ （ $a,b$ 为常数）。

我们可以通过令 $y=\frac{p}{1 - p}$ ，则 $z = \ln y$ ，进一步变形为 $x=\frac{1}{b}(\text{artanh}(p)-a)$ 。

例如，当 $p = 0.6$ ， $a = 1$ ， $b = 2$ 时， $x=\frac{1}{2}(\text{artanh}(0.6)-1)$ ，通过计算 $\text{artanh}(0.6)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + 0.6}{1 - 0.6}=\frac{1}{2}\ln4$ ，进而求出 $x$ 的值，这样可以用于分析变量 $x$ 与概率 $p$ 之间的关系。