高等数学：数列极限的定义、收敛数列的性质

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一、数列极限的定义

设\(\{a_{n}\}\)为一数列，\(a\)为一常数。如果对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，不等式\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{a_{n}\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)。

例1：常数列的极限

设数列\(a_{n}=3\)（\(n = 1,2,\cdots\)），要证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，取\(N = 1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-3\vert=\vert3 - 3\vert = 0<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

例2：\(a_{n}=\frac{1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N=[\frac{1}{\varepsilon}]+1\)（\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数），当\(n > N\)时，\(\vert\frac{1}{n}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

例3：\(a_{n}=\frac{n + 1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=1\)。

首先化简\(a_{n}=\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert(1+\frac{1}{n})-1\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=1\)。

例4：\(a_{n}=\frac{2n - 1}{3n}\)的极限

化简\(a_{n}=\frac{2n - 1}{3n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3n}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{2}{3}\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-\frac{2}{3}\vert=\vert(\frac{2}{3}-\frac{1}{3n})-\frac{2}{3}\vert=\frac{1}{3n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{3\varepsilon}\)。取\(N=[\frac{1}{3\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-\frac{2}{3}\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{2}{3}\)。

例5：\(a_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{1}{n^{2}}-0\vert=\frac{1}{n^{2}}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\)。取\(N = [\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert\frac{1}{n^{2}}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}=0\)。

例6：\(a_{n}=1 + (-1)^{n}\frac{1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert1 + (-1)^{n}\frac{1}{n}-1\vert=\vert(-1)^{n}\frac{1}{n}\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

例7：\(a_{n}=\sqrt{\frac{n + 1}{n}}\)的极限

化简\(a_{n}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert<\varepsilon\)，对\(\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert\)进行分子有理化得\(\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert=\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon(\sqrt{2}+1)}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon(\sqrt{2}+1)}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

例8：\(a_{n}=\frac{3n^{2}+n - 1}{n^{2}+1}\)的极限

化简\(a_{n}=\frac{3n^{2}+n - 1}{n^{2}+1}=3+\frac{n - 4}{n^{2}+1}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-3\vert=\vert\frac{n - 4}{n^{2}+1}\vert\leqslant\frac{n + 4}{n^{2}+1}<\frac{n + 4n}{n^{2}}=\frac{5}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{5}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{5}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-3\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

例9：\(a_{n}=\frac{\sin n}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{n}=0\)。

因为\(\vert\sin n\vert\leqslant1\)，所以对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{\sin n}{n}-0\vert=\frac{\vert\sin n\vert}{n}\leqslant\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert\frac{\sin n}{n}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{n}=0\)。

例10：\(a_{n}=\frac{1 + 2+\cdots + n}{n^{2}}\)的极限

首先计算\(1 + 2+\cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}\)，则\(a_{n}=\frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n^{2}}=\frac{n + 1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\)。

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{1}{2}\)。对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-\frac{1}{2}\vert=\vert(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n})-\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{2\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{2\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-\frac{1}{2}\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{1}{2}\)。

二、直观理解

数列极限描述的是当数列的项数\(n\)无限增大时，数列的项\(a_{n}\)趋近于一个确定的值\(a\)的过程。比如数列\(\frac{1}{n}\)，当\(n\)越来越大（\(n = 1,2,3,\cdots\)），\(\frac{1}{n}\)的值就越来越接近\(0\)，可以说数列\(\left\{\frac{1}{n}\right\}\)的极限是\(0\)。

三、\(\varepsilon - N\)定义

设\(\{a_{n}\}\)为一数列，如果存在常数\(a\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，不等式\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{a_{n}\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)。

这里的\(\varepsilon\)是用来衡量\(a_{n}\)与\(a\)接近程度的一个任意小的正数。

例如，对于前面提到的数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，要证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

给定\(\varepsilon>0\)，我们要找到一个\(N\)，使得当\(n > N\)时，\(\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\)成立。通过求解\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)，所以我们可以取\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1\)（\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数）。这样当\(n > N\)时，就有\(\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon\)，从而按照定义证明了\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

四、定义的几何意义

数列\(\{a_{n}\}\)以\(a\)为极限的几何解释是：对于任意给定的以\(a\)为中心，长度为\(2\varepsilon\)的开区间\((a - \varepsilon,a+\varepsilon)\)，在数列中总存在一项\(a_{N}\)，从该项以后的所有项\(a_{n}(n > N)\)都落在这个开区间内。

例如，对于极限为\(0\)的数列\(\frac{1}{n}\)，给定\(\varepsilon = 0.1\)，可以找到一个\(N\)（比如\(N = 11\)），当\(n > 11\)时，\(\frac{1}{n}\)的值都在区间\((-0.1,0.1)\)内。

五、否定形式（极限不存在的情况）

数列\(\{a_{n}\}\)不以\(a\)为极限的定义是：存在某个\(\varepsilon_{0}>0\)，对于任意的正整数\(N\)，总存在\(n_{0}>N\)，使得\(\vert a_{n_{0}}-a\vert\geqslant\varepsilon_{0}\)。

例如，数列\(\{(-1)^{n}\}\)不存在极限。假设它的极限是\(a\)，取\(\varepsilon_{0}=1\)，对于任意的正整数\(N\)，当\(n_{0}=2N + 1\)时，\(\vert(-1)^{2N + 1}-a\vert=\vert - 1 - a\vert\geqslant1\)（当\(a\geqslant0\)）或者\(\vert(-1)^{2N + 1}-a\vert=\vert - 1 - a\vert=\vert1 + a\vert\geqslant1\)（当\(a<0\)），所以数列\(\{(-1)^{n}\}\)不存在极限。

一、极限的唯一性

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛，那么它的极限是唯一的。

证明思路（反证法）：假设数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)和\(b\)（\(a\neq b\)），不妨设\(\varepsilon=\frac{\vert a - b\vert}{2}\)。因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，根据数列极限的定义，存在正整数\(N_{1}\)，当\(n > N_{1}\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)；又因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b\)，存在正整数\(N_{2}\)，当\(n > N_{2}\)时，\(\vert a_{n}-b\vert<\varepsilon\)。

举例说明：设\(N=\max\{N_{1},N_{2}\}\)，当\(n > N\)时，\(\vert a - b\vert=\vert a - a_{n}+a_{n}-b\vert\leqslant\vert a - a_{n}\vert+\vert a_{n}-b\vert<2\varepsilon=\vert a - b\vert\)，这就产生了矛盾，所以假设不成立，即收敛数列的极限是唯一的。

二、收敛数列的有界性

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛，那么数列\(\{a_{n}\}\)一定有界。即存在正数\(M\)，使得对于一切\(n\)，有\(\vert a_{n}\vert\leqslant M\)。

证明思路：设\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，对于\(\varepsilon = 1\)，根据数列极限的定义，存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<1\)，即\(\vert a_{n}\vert=\vert a_{n}-a + a\vert\leqslant\vert a_{n}-a\vert+\vert a\vert<1+\vert a\vert\)。

举例说明：取\(M=\max\{\vert a_{1}\vert,\vert a_{2}\vert,\cdots,\vert a_{N}\vert,1+\vert a\vert\}\)，那么对于一切\(n\)，都有\(\vert a_{n}\vert\leqslant M\)。例如数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，它收敛于\(0\)，并且对于所有的\(n\)，\(0\leqslant a_{n}\leqslant1\)，这里可以取\(M = 1\)，满足有界性。

三、收敛数列的保号性

性质描述：若\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，且\(a > 0\)（或\(a < 0\)），则存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(a_{n}>0\)（或\(a_{n}<0\)）。

证明思路：当\(a > 0\)时，取\(\varepsilon=\frac{a}{2}\)，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，所以存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon=\frac{a}{2}\)，即\(a_{n}>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0\)。

举例说明：例如数列\(a_{n}=1+\frac{1}{n}\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1>0\)，当\(n = 1\)时，\(a_{1}=2>0\)，当\(n\)足够大（比如\(n > 1\)）时，\(a_{n}\)也都大于\(0\)。

四、收敛数列与其子数列的关系

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是\(a\)。

证明思路：设数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)。设\(\{a_{n_{k}}\}\)是\(\{a_{n}\}\)的一个子数列，因为\(n_{k}\geqslant k\)，当\(k > N\)时，\(n_{k}>N\)，所以\(\vert a_{n_{k}}-a\vert<\varepsilon\)，即子数列\(\{a_{n_{k}}\}\)也收敛于\(a\)。

举例说明：对于数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，它收敛于\(0\)，取其子数列\(a_{n_{k}}=\frac{1}{2k}\)，这个子数列也收敛于\(0\)。