不定积分：换元积分法、分部积分法

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一、第一类换元积分法（凑微分法）定义

设\(f(u)\)具有原函数\(F(u)\)，\(u = \varphi(x)\)可导，则有\(\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)dx = F[\varphi(x)]+C\)。

基本思想：通过将被积表达式凑成\(f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)dx\)的形式，令\(u = \varphi(x)\)，把关于\(x\)的积分转化为关于\(u\)的积分\(\int f(u)du\)，积分后再把\(u=\varphi(x)\)代回。

二、常见的凑微分形式

\(dx=\frac{1}{a}d(ax + b)\)（\(a\neq0\)）。

例如，当\(a = 2\)，\(b = 3\)时，\(dx=\frac{1}{2}d(2x + 3)\)。

\(x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}dx^{n}\)（\(n\neq0\)）。比如\(x^{2}dx=\frac{1}{3}dx^{3}\)。

\(\sin xdx=-d(\cos x)\)，\(\cos xdx = d(\sin x)\)。

\(e^{x}dx = d(e^{x})\)，\(\frac{1}{x}dx=d(\ln|x|)\)（\(x\neq0\)）。

例1：\(\int(2x + 1)^{3}dx\)

令\(u = 2x+1\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int(2x + 1)^{3}dx=\frac{1}{2}\int u^{3}du\)。

根据基本积分公式\(\int u^{n}du=\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），这里\(n = 3\)。

所以\(\frac{1}{2}\int u^{3}du=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}u^{4}+C=\frac{1}{8}(2x + 1)^{4}+C\)。

例2：\(\int x\sqrt{x^{2}+1}dx\)

令\(u=x^{2}+1\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int x\sqrt{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du\)。

因为\(\int\sqrt{u}du=\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\)。

所以\(\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du=\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}+C\)。

例3：\(\int\frac{1}{3x + 2}dx\)

令\(u = 3x+2\)，则\(du=3dx\)，\(dx=\frac{1}{3}du\)。

原积分\(\int\frac{1}{3x + 2}dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}\ln|3x + 2|+C\)。

例4：\(\int e^{2x}dx\)

令\(u = 2x\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du\)。

因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。

所以\(\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)。

例5：\(\int\sin(3x)dx\)

令\(u = 3x\)，则\(du = 3dx\)，\(dx=\frac{1}{3}du\)。

原积分\(\int\sin(3x)dx=\frac{1}{3}\int\sin udu\)。

因为\(\int\sin udu=-\cos u + C\)。

所以\(\frac{1}{3}\int\sin udu=-\frac{1}{3}\cos(3x)+C\)。

例6：\(\int\frac{x}{x^{2}+1}dx\)

令\(u=x^{2}+1\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln|x^{2}+1|+C\)。

例7：\(\int\cos^{2}x\sin xdx\)

令\(u=\cos x\)，则\(du=-\sin xdx\)，\(\sin xdx=-du\)。

原积分\(\int\cos^{2}x\sin xdx=-\int u^{2}du\)。

根据基本积分公式\(\int u^{n}du=\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），这里\(n = 2\)。

所以\(-\int u^{2}du=-\frac{1}{3}u^{3}+C=-\frac{1}{3}\cos^{3}x + C\)。

例8：\(\int\frac{\ln x}{x}dx\)

令\(u = \ln x\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)。

原积分\(\int\frac{\ln x}{x}dx=\int udu\)。

根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。

所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}+C\)。

例9：\(\int x^{2}e^{x^{3}}dx\)

令\(u = x^{3}\)，则\(du = 3x^{2}dx\)，\(x^{2}dx=\frac{1}{3}du\)。

原积分\(\int x^{2}e^{x^{3}}dx=\frac{1}{3}\int e^{u}du\)。

因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。

所以\(\frac{1}{3}\int e^{u}du=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C\)。

例10：\(\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx\)

令\(u=\sqrt{x}\)，则\(du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)，\(\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2du\)。

原积分\(\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\int e^{u}du\)。

因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。

所以\(2\int e^{u}du=2e^{\sqrt{x}}+C\)。

例11：\(\int\tan xdx\)

因为\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，令\(u=\cos x\)，则\(du =-\sin xdx\)，\(\sin xdx=-du\)。

原积分\(\int\tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(-\int\frac{1}{u}du=-\ln|\cos x|+C=\ln|\sec x|+C\)。

例12：\(\int\cot xdx\)

因为\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，令\(u=\sin x\)，则\(du=\cos xdx\)。

原积分\(\int\cot xdx=\int\frac{\cos x}{\sin x}dx=\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|\sin x|+C\)。

例13：\(\int\frac{1}{x\ln x}dx\)

令\(u = \ln x\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)。

原积分\(\int\frac{1}{x\ln x}dx=\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|\ln x|+C\)。

例14：\(\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\sin^{- 1}x dx\)

令\(u=\sin^{-1}x\)，则\(du=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

原积分\(\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\sin^{-1}x dx=\int udu\)。

根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。

所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)^{2}+C\)。

例15：\(\int\frac{1}{1 + x^{2}}\arctan xdx\)

令\(u = \arctan x\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

原积分\(\int\frac{1}{1 + x^{2}}\arctan xdx=\int udu\)。

根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。

所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\arctan x)^{2}+C\)。

例16：\(\int x\sin(x^{2})dx\)

令\(u = x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int x\sin(x^{2})dx=\frac{1}{2}\int\sin udu\)。

因为\(\int\sin udu=-\cos u + C\)。

所以\(\frac{1}{2}\int\sin udu=-\frac{1}{2}\cos(x^{2})+C\)。

例17：\(\int\frac{2x - 1}{x^{2}-x + 1}dx\)

令\(u=x^{2}-x + 1\)，则\(du=(2x - 1)dx\)。

原积分\(\int\frac{2x - 1}{x^{2}-x + 1}dx=\int\frac{1}{u}du\)。

因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。

所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|x^{2}-x + 1|+C\)。

例18：\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx\)

令\(u = e^{x}\)，则\(du=e^{x}dx\)。

原积分\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx=\int\frac{1}{1 + u^{2}}du\)。

因为\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan u + C\)。

所以\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan(e^{x})+C\)。

例19：\(\int\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)

令\(u=\sqrt{x}\)，则\(du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)，\(\frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4du\)。

原积分\(\int\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx=2\int\frac{1}{1 + u^{2}}du\)。

因为\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan u + C\)。

所以\(2\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=2\arctan(\sqrt{x})+C\)。

例20：\(\int\frac{x^{3}}{(1 + x^{2})^{2}}dx\)

令\(u = 1 + x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，\(x^{2}=u - 1\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。

原积分\(\int\frac{x^{3}}{(1 + x^{2})^{2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(u - 1)}{u^{2}}du\)。

展开\(\frac{(u - 1)}{u^{2}}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\)。

所以\(\frac{1}{2}\int(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}})du=\frac{1}{2}(\ln|u|+\frac{1}{u})+C=\frac{1}{2}(\ln|1 + x^{2}|+\frac{1}{1 + x^{2}})+C\)。

一、第二类换元积分法的定义和原理

设函数\(x = \varphi(t)\)是单调的、可导的函数，并且\(\varphi^{\prime}(t)\neq0\)。

若\(\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt = F(t)+C\)，则\(\int f(x)dx=F[\varphi^{-1}(x)] + C\)，其中\(\varphi^{-1}(x)\)是\(x=\varphi(t)\)的反函数。

其基本思想是通过适当的变量代换\(x = \varphi(t)\)，将较复杂的积分\(\int f(x)dx\)转化为较简单的积分\(\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt\)形式来求解。

例1：计算\(\int\frac{1}{1 + \sqrt{x}}dx\)。

令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{1 + t}\cdot2tdt=2\int\frac{t}{1 + t}dt=2\int(1-\frac{1}{1 + t})dt\)。

进一步计算得\(2\int(1-\frac{1}{1 + t})dt=2(t-\ln|1 + t|)+C\)。

再将\(t=\sqrt{x}\)代回，得到\(2(\sqrt{x}-\ln(1+\sqrt{x}))+C\)。

例2：计算\(\int\frac{\sqrt{x - 1}}{x}dx\)。

令\(t=\sqrt{x - 1}\)，则\(x=t^{2}+1\)，\(dx = 2tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{t}{t^{2}+1}\cdot2tdt = 2\int\frac{t^{2}}{t^{2}+1}dt\)。

变形为\(2\int(1-\frac{1}{t^{2}+1})dt=2(t - \arctan t)+C\)。

代回\(t=\sqrt{x - 1}\)，结果是\(2(\sqrt{x - 1}-\arctan\sqrt{x - 1})+C\)。

例3：计算\(\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\sin t\)，\(-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)，则\(dx=a\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=a^{2}\int\cos^{2}tdt\)。

利用\(\cos^{2}t=\frac{1 + \cos2t}{2}\)，得到\(a^{2}\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{a^{2}}{2}(t+\frac{\sin2t}{2})+C\)。

由\(x = a\sin t\)，可得\(t=\arcsin\frac{x}{a}\)，\(\sin2t = 2\sin t\cos t=\frac{2x}{a}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\)。

最终结果为\(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C\)。

例4：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\tan t\)，\(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\)，则\(dx=a\sec^{2}tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\tan^{2}t+a^{2}}}\cdot a\sec^{2}tdt=\int\sec tdt\)。

而\(\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)。

由\(x = a\tan t\)，可得\(\tan t=\frac{x}{a}\)，\(\sec t=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\)。

所以结果是\(\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C\)。

例5：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\sec t\)，\(0\leq t<\frac{\pi}{2}\)或\(\pi\leq t<\frac{3\pi}{2}\)，则\(dx=a\sec t\tan tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\sec^{2}t - a^{2}}}\cdot a\sec t\tan tdt=\int\sec tdt\)。

同样\(\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)。

由\(x = a\sec t\)，可得\(\sec t=\frac{x}{a}\)，\(\tan t=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\)。

结果是\(\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C\)。

例6：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\)。

令\(t=\frac{1}{x}\)，则\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^{2}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{1}{t^{2}}-1}}\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt=-\int\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt\)。

而\(-\int\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt=-\arcsin t + C\)。

代回\(t=\frac{1}{x}\)，得到\(-\arcsin\frac{1}{x}+C\)。

例7：计算\(\int\frac{1}{x^{2}\sqrt{1 + x^{2}}}dx\)。

令\(t = \frac{1}{x}\)，则\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^{2}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\frac{1}{t^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{t^{2}}}}\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt=-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt\)。

再令\(u=t^{2}+1\)，\(du = 2tdt\)，积分变为\(-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du\)。

计算得\(-\sqrt{u}+C=-\sqrt{t^{2}+1}+C\)。

代回\(t=\frac{1}{x}\)，结果是\(-\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}+C\)。

例8：计算\(\int\frac{1}{1 + e^{x}}dx\)。

令\(t = e^{x}\)，则\(x=\ln t\)，\(dx=\frac{1}{t}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{1 + t}\cdot\frac{1}{t}dt=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t + 1})dt\)。

计算得\(\ln|t|-\ln|t + 1|+C\)。

代回\(t = e^{x}\)，得到\(x-\ln(1 + e^{x})+C\)。

例9：计算\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx\)。

令\(t = e^{x}\)，则\(dx=\frac{1}{t}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{t}{1 + t^{2}}\cdot\frac{1}{t}dt=\int\frac{1}{1 + t^{2}}dt\)。

结果是\(\arctan t + C=\arctan e^{x}+C\)。

例10：计算\(\int\sqrt{x^{2}+1}dx\)。

令\(x=\sinh t\)，则\(dx=\cosh tdt\)。

原积分变为\(\int\sqrt{\sinh^{2}t + 1}\cdot\cosh tdt=\int\cosh^{2}tdt\)。

利用\(\cosh^{2}t=\frac{1+\cosh2t}{2}\)，可得\(\int\frac{1+\cosh2t}{2}dt=\frac{1}{2}(t+\frac{\sinh2t}{2})+C\)。

由\(x = \sinh t\)，可得\(t=\sinh^{-1}x\)，\(\sinh2t = 2\sinh t\cosh t = 2x\sqrt{x^{2}+1}\)。

最终结果是\(\frac{1}{2}\sinh^{-1}x+\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1}+C\)。

例11：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(x - 2)}}dx\)。

先对\((x - 1)(x - 2)=x^{2}-3x + 2\)进行配方，令\(t=\sqrt{x^{2}-3x + 2}\)，\(x=\frac{3 + \sqrt{1 + 4t^{2}}}{2}\)（这里只考虑一种情况，根据定义域选取合适的分支），\(dx=\frac{2t}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt=\int\frac{2}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt\)。

再令\(u = 2t\)，\(du=2dt\)，积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}du\)。

根据前面三角代换的结果，它等于\(\ln|u+\sqrt{u^{2}+1}|+C\)。

代回\(u = 2t\)，\(t=\sqrt{x^{2}-3x + 2}\)，得到\(\ln|2\sqrt{(x - 1)(x - 2)}+\sqrt{4(x - 1)(x - 2)+1}|+C\)。

例12：计算\(\int\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2}+2x - 3}}dx\)。

先对\(x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4\)。令\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-4}\)，\(x=-1+\sqrt{t^{2}+4}\)，\(dx=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{-1+\sqrt{t^{2}+4}+1}{\sqrt{t^{2}+4}}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}dt=\int\frac{t^{2}}{t^{2}+4}dt\)。

变形为\(\int(1-\frac{4}{t^{2}+4})dt=t - 2\arctan\frac{t}{2}+C\)。

代回\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-4}\)，结果是\(\sqrt{x^{2}+2x - 3}-2\arctan\frac{\sqrt{x^{2}+2x - 3}}{2}+C\)。

例13：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{1 - x^{4}}}dx\)。

令\(t = x^{2}\)，则\(dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt\)。

原积分变为\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{t\sqrt{1 - t^{2}}}dt\)。

再令\(u=\sqrt{1 - t^{2}}\)，\(t^{2}=1 - u^{2}\)，\(dt=-\frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\)。

积分变为\(-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(1 - u^{2})}du\)。

利用部分分式分解\(-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{2(1 - u)}+\frac{1}{2(1 + u)})du\)。

计算得\(-\frac{1}{4}\ln|\frac{1 - u}{1 + u}|+C\)。

代回\(u=\sqrt{1 - t^{2}}\)，\(t = x^{2}\)，得到\(-\frac{1}{4}\ln|\frac{1-\sqrt{1 - x^{4}}}{1+\sqrt{1 - x^{4}}}|+C\)。

例14：计算\(\int\frac{1}{(x + 1)\sqrt{x^{2}+2x}}dx\)。

先对\(x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1\)。令\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-1}\)，\(x=-1+\sqrt{t^{2}+1}\)，\(dx=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(-1+\sqrt{t^{2}+1}+1)\sqrt{t^{2}+1}}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt=\int\frac{1}{t^{2}+1}dt\)。

结果是\(\arctan t + C=\arctan\sqrt{x^{2}+2x}+C\)。

例15：计算\(\int\frac{1}{x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}}dx\)。

令\(x = 2\sin t\)，\(dx = 2\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{4\sin^{2}t\cdot2\cos t}\cdot2\cos tdt=\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin^{2}t}dt\)。

而\(\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin^{2}t}dt=-\frac{1}{4}\cot t + C\)。

由\(x = 2\sin t\)，可得\(\cot t=\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}\)。

所以结果是\(-\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{4x}+C\)。

例16：计算\(\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx\)。

令\(x = 3\sec t\)，\(dx = 3\sec t\tan tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{\sqrt{9\sec^{2}t - 9}}{3\sec t}\cdot3\sec t\tan tdt=3\int\tan^{2}tdt\)。

利用\(\tan^{2}t=\sec^{2}t - 1\)，得到\(3\int(\sec^{2}t - 1)dt=3(\tan t - t)+C\)。

由\(x = 3\sec t\)，可得\(\tan t=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}\)，\(t=\sec^{-1}\frac{x}{3}\)。

最终结果是\(\sqrt{x^{2}-9}-3\sec^{-1}\frac{x}{3}+C\)。

例17：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+4x + 3}}dx\)

先对\(x^{2}+4x + 3=(x + 2)^{2}-1\)进行配方处理。

令\(t = x + 2\)，则\(x=t - 2\)，\(dx = dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(t - 2)\sqrt{t^{2}-1}}dt\)。

再令\(u=\sqrt{t^{2}-1}\)，则\(t^{2}=u^{2}+ 1\)，\(dt=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

此时积分变为\(\int\frac{1}{( \sqrt{u^{2}+1}-2)u}\cdot\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}du=\int\frac{1}{(\sqrt{u^{2}+1}-2)\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

然后通过有理化等进一步变形处理（设\(\sqrt{u^{2}+1}=z\)等再进行换元）继续计算，经过一系列计算后可得：

\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+4x + 3}}dx\)

\(=\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4x + 3}-2}{x}\right| + C\)

例18：计算\(\int\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}dx\)

令\(x = 3\sin t\)，\(-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)，则\(dx = 3\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{9\sin^{2}t}{\sqrt{9 - 9\sin^{2}t}}\cdot3\cos tdt = 9\int\sin^{2}t dt\)。

利用\(\sin^{2}t=\frac{1 - \cos2t}{2}\)可得：

\(9\int\sin^{2}t dt&=9\int\frac{1 - \cos2t}{2}dt=\frac{9}{2}\left(t-\frac{\sin2t}{2}\right)+C\)

由\(x = 3\sin t\)，可得\(t=\arcsin\frac{x}{3}\)，\(\sin2t = 2\sin t\cos t=\frac{2x}{3}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3^{2}}}\)。

最终结果为\(\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}-\frac{x}{2}\sqrt{9 - x^{2}}+C\)。

例19：计算\(\int\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+2}}dx\)

令\(x=\tan t\)，则\(dx=\sec^{2}t dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(\tan^{2}t + 1)\sqrt{\tan^{2}t + 2}}\cdot\sec^{2}t dt=\int\frac{1}{\sec t\sqrt{\sec^{2}t + 1}}dt\)（利用\(\tan^{2}t + 1=\sec^{2}t\)）。

进一步化简为\(\int\frac{\cos t}{\sqrt{1 + \sec^{2}t}}dt\)。

再令\(u=\sec t\)，\(du=\sec t\tan t dt\)，则积分变为\(\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

又通过倒代换（令\(v=\frac{1}{u}\)等）继续计算，最后可得：

\(\int\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+2}}dx\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\right)+C\)

例20：计算\(\int\frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}dx\)

令\(2x=\sec t\)，则\(x=\frac{1}{2}\sec t\)，\(dx=\frac{1}{2}\sec t\tan t dt\)。

原积分变为\(\int\frac{\sqrt{\sec^{2}t - 1}}{\frac{1}{2}\sec t}\cdot\frac{1}{2}\sec t\tan t dt = 2\int\tan^{2}t dt\)。

利用\(\tan^{2}t=\sec^{2}t - 1\)可得：

\(2\int\tan^{2}t dt=2\int(\sec^{2}t - 1)dt=2(\tan t - t)+C\)

由\(2x=\sec t\)，可得\(\tan t=\sqrt{4x^{2}-1}\)，\(t=\text{arcsec}(2x)\)。

最终结果是\(2\left(\sqrt{4x^{2}-1}-\text{arcsec}(2x)\right)+C\)。

分部积分法的定义和原理

分部积分公式为\(\int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx\)，通常简记为\(\int udv = uv-\int vdu\)。

其原理是由乘积的求导法则\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)移项得到\(uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v\)，然后两边积分就得到分部积分公式。它主要用于解决被积函数是两种不同类型函数乘积（如\(x\sin x\)、\(x e^{x}\)等）的积分问题。

例1：计算\(\int x\cos xdx\)。

令\(u = x\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(du = dx\)，\(v=\sin x\)。

根据分部积分公式\(\int udv = uv-\int vdu\)，可得\(\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x + C\)。

例2：计算\(\int x^{2}\sin xdx\)。

令\(u = x^{2}\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = 2xdx\)，\(v = -\cos x\)。

原积分\(=\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos xdx\)。

对于\(\int 2x\cos xdx\)，再用一次分部积分法，令\(u = 2x\)，\(dv=\cos xdx\)，\(du = 2dx\)，\(v=\sin x\)，则\(\int 2x\cos xdx = 2x\sin x-\int 2\sin xdx=2x\sin x + 2\cos x\)。

所以\(\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x+C\)。

例3：计算\(\int x e^{x}dx\)。

令\(u = x\)，\(dv=e^{x}dx\)，则\(du = dx\)，\(v = e^{x}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x e^{x}dx=x e^{x}-\int e^{x}dx=x e^{x}-e^{x}+C=(x - 1)e^{x}+C\)。

例4：计算\(\int x^{2}e^{x}dx\)。

令\(u = x^{2}\)，\(dv = e^{x}dx\)，则\(du = 2xdx\)，\(v = e^{x}\)。

原积分\(=\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx\)。

对于\(\int 2xe^{x}dx\)，令\(u = 2x\)，\(dv = e^{x}dx\)，\(du = 2dx\)，\(v = e^{x}\)，则\(\int 2xe^{x}dx=2xe^{x}-\int 2e^{x}dx=2xe^{x}-2e^{x}\)。

所以\(\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C=(x^{2}-2x + 2)e^{x}+C\)。

例5：计算\(\int x\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = xdx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\ln xdx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\int\frac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4}x^{2}+C\)。

例6：计算\(\int x^{2}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

原积分\(=\int x^{2}\ln xdx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\int\frac{1}{3}x^{3}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{6}x^{3}+C\)。

例7：计算\(\int e^{x}\sin xdx\)。

令\(u = e^{x}\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = e^{x}dx\)，\(v = -\cos x\)。

根据分部积分公式可得\(\int e^{x}\sin xdx=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos xdx\)。

对于\(\int e^{x}\cos xdx\)，令\(u = e^{x}\)，\(dv=\cos xdx\)，\(du = e^{x}dx\)，\(v=\sin x\)，则\(\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin xdx\)。

设\(I=\int e^{x}\sin xdx\)，则\(I=-e^{x}\cos x + e^{x}\sin x-I\)，解得\(I=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\)。

例8：计算\(\int e^{2x}\cos3xdx\)。

令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\cos3xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v=\frac{1}{3}\sin3x\)。

原积分\(=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx\)。

对于\(\int e^{2x}\sin3xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\sin3xdx\)，\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v = -\frac{1}{3}\cos3x\)，则\(\int e^{2x}\sin3xdx=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx\)。

设\(J=\int e^{2x}\cos3xdx\)，则\(J=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x+\frac{2}{9}e^{2x}\cos3x-\frac{4}{9}J\)，解得\(J=\frac{e^{2x}}{13}(3\sin3x + 2\cos3x)+C\)。

例9：计算\(\int x\arctan xdx\)。

令\(u=\arctan x\)，\(dv = xdx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\arctan xdx=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx\)，变形为\(\int(1-\frac{1}{1 + x^{2}})dx=x-\arctan x + C\)。

所以\(\int x\arctan xdx=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}(x-\arctan x)+C=\frac{1}{2}(x^{2}+ 1)\arctan x-\frac{1}{2}x+C\)。

例10：计算\(\int x^{2}\arctan xdx\)。

令\(u=\arctan x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

原积分\(=\frac{1}{3}x^{3}\arctan x-\frac{1}{3}\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)，通过长除法或其他变形可得\(\int(x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}})dx=\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x + C\)。

所以\(\int x^{2}\arctan xdx=\frac{1}{3}x^{3}\arctan x-(\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x)+C=\frac{1}{3}(x^{3}+3x)\arctan x-\frac{1}{3}x^{3}+C\)。

例11：计算\(\int e^{x}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = e^{x}dx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v = e^{x}\)。

根据分部积分公式可得\(\int e^{x}\ln xdx=e^{x}\ln x-\int\frac{e^{x}}{x}dx\)。这里\(\int\frac{e^{x}}{x}dx\)不能用初等函数表示，所以\(\int e^{x}\ln xdx=e^{x}\ln x - Ei(x)+C\)，其中\(Ei(x)\)是指数积分函数。

例12：计算\(\int\sin^{2}xdx\)。

令\(u=\sin x\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du=\cos xdx\)，\(v = -\cos x\)。

根据分部积分公式可得\(\int\sin^{2}xdx=-\sin x\cos x+\int\cos^{2}xdx\)。

又因为\(\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x\)，所以\(\int\sin^{2}xdx=-\sin x\cos x+\int(1 - \sin^{2}x)dx\)。

设\(I=\int\sin^{2}xdx\)，则\(I=-\sin x\cos x + x-I\)，解得\(I=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C\)。

例13：计算\(\int\sin^{3}xdx\)。

令\(u=\sin^{2}x\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = 2\sin x\cos xdx\)，\(v = -\cos x\)。

原积分\(=\int\sin^{3}xdx=-\sin^{2}x\cos x + 2\int\sin x\cos^{2}xdx\)。

对于\(\int\sin x\cos^{2}xdx\)，令\(t=\cos x\)，\(dt = -\sin xdx\)，则\(\int\sin x\cos^{2}xdx=-\int t^{2}dt=-\frac{1}{3}t^{3}+C=-\frac{1}{3}\cos^{3}x + C\)。

所以\(\int\sin^{3}xdx=-\sin^{2}x\cos x-\frac{2}{3}\cos^{3}x + C\)。

例14：计算\(\int x^{3}e^{-x^{2}}dx\)。

令\(t = x^{2}\)，则\(dt = 2xdx\)，\(x^{3}dx=\frac{1}{2}t dt\)。

原积分变为\(\frac{1}{2}\int t e^{-t}dt\)。

令\(u = t\)，\(dv = e^{-t}dt\)，则\(du = dt\)，\(v=-e^{-t}\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int t e^{-t}dt=-\frac{1}{2}te^{-t}+\frac{1}{2}\int e^{-t}dt=-\frac{1}{2}te^{-t}-\frac{1}{2}e^{-t}+C=-\frac{1}{2}(x^{2}+1)e^{-x^{2}}+C\)。

例15：计算\(\int x\sqrt{1 + x^{2}}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = x\sqrt{1 + x^{2}}dx\)。

先求\(v\)，令\(t = 1 + x^{2}\)，\(dt = 2xdx\)，则\(v=\frac{1}{3}(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\sqrt{1 + x^{2}}\ln xdx=\frac{1}{3}(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}\ln x-\frac{1}{3}\int\frac{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}{x}dx\)。

对于\(\int\frac{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}{x}dx\)，可通过三角代换等方法进一步求解（令\(x=\tan\theta\)）。

例16：计算\(\int\arcsin x\cdot x^{2}dx\)。

令\(u=\arcsin x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

根据分部积分公式可得\(\int\arcsin x\cdot x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\arcsin x-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)，令\(t = 1 - x^{2}\)，\(dt=-2xdx\)，\(x^{2}=1 - t\)，则\(x^{3}=x\cdot x^{2}=x(1 - t)\)，积分可进一步转化为\(-\frac{1}{2}\int\frac{(1 - t)}{\sqrt{t}}dt\)，再进行计算。

例17：计算\(\int x^{2}e^{x}\cos xdx\)

令\(u = x^{2}e^{x}\)，\(dv = \cos xdx\)，则\(du=(x^{2}e^{x}+2xe^{x})dx\)，\(v=\sin x\)。

根据分部积分公式可得\(\int x^{2}e^{x}\cos xdx=x^{2}e^{x}\sin x-\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx\)

对于\(\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx\)，令\(u_1=(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\)，\(dv_1=\sin xdx\)，则\(du_1=(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})dx\)，\(v_1 = -\cos x\)。

那么\(\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx=-(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\cos x+\int(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})\cos xdx\)

设\(I = \int x^{2}e^{x}\cos xdx\)，则\(I=x^{2}e^{x}\sin x+(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\cos x - \int(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})\cos xdx\)

经过移项和整理（过程较复杂，需要仔细运算），最终可得\(I=\frac{1}{2}e^{x}(x^{2}\sin x + x^{2}\cos x + 2x\sin x - 2x\cos x + 2\sin x)+C\)

例18：计算\(\int e^{2x}\sin^{2}xdx\)

先利用三角函数公式\(\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，原积分变为\(\int e^{2x}\left(\frac{1 - \cos2x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}\int e^{2x}dx-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{1}{4}e^{2x}+C_1\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\cos2xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v=\frac{1}{2}\sin2x\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx=\frac{1}{4}e^{2x}\sin2x - \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\sin2xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v = -\frac{1}{2}\cos2x\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx=-\frac{1}{4}e^{2x}\cos2x+\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)

设\(J=\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)，则\(J=\frac{1}{4}e^{2x}\sin2x+\frac{1}{4}e^{2x}\cos2x - J\)，解得\(J=\frac{1}{8}e^{2x}(\sin2x+\cos2x)+C_2\)

所以原积分\(\int e^{2x}\sin^{2}xdx=\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{8}e^{2x}(\sin2x+\cos2x)+C\)

例19：计算\(\int x^{3}\arctan xdx\)

令\(u=\arctan x\)，\(dv = x^{3}dx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{4}x^{4}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x^{3}\arctan xdx=\frac{1}{4}x^{4}\arctan x-\frac{1}{4}\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)

对于\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)，进行多项式除法\(x^{4}\div(1 + x^{2})=x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}}\)

所以\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx=\int(x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}})dx=\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x + C\)

则\(\int x^{3}\arctan xdx=\frac{1}{4}x^{4}\arctan x - \frac{1}{4}(\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x)+C=\frac{1}{4}(x^{4}+ 1)\arctan x-\frac{1}{12}x^{3}+\frac{1}{4}x+C\)