高等数学：弧微分、曲率、曲率圆、渐屈线、渐伸线、摆线

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一、弧微分（Arc Differential）

弧微分用于描述曲线在微小段上的弧长变化，是计算曲线弧长的基础。弧微分 \( ds \) 是曲线在点 \( (x, y) \) 处的切线段微元，其长度近似等于曲线的微小弧长。

对于平面曲线 \( y = f(x) \)，其弧微分公式为：\(ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx\) 其中 \( y' = \frac{dy}{dx} \) 为函数的一阶导数。

若曲线以参数方程 \( x = x(t), \, y = y(t) \) 表示，则弧微分公式为：\(ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt\)

极坐标方程 \( r = r(\theta) \) 的弧微分公式为：\(ds = \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta\)

例1：直线 \( y = kx + b \)

导数 \( y' = k \)，弧微分：

\(ds = \sqrt{1 + k^2} \, dx\)

表明直线上任意点的弧微分与 \( x \) 轴上的微元成固定比例，符合直线特性。

例2：圆 \( x^2 + y^2 = R^2 \)

参数方程为 \( x = R\cos t, \, y = R\sin t \)，则：\(\frac{dx}{dt} = -R\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = R\cos t\)

弧微分：\(ds = \sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t} \, dt = R \, dt\)

说明圆的弧微分与圆心角微元成正比，总弧长为 \( \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R \)。

例3：抛物线 \( y = x^2 \)

导数 \( y' = 2x \)，弧微分：\(ds = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx\)

可用于计算抛物线在某区间内的弧长，如从 \( x=0 \) 到 \( x=1 \) 的弧长为 \( \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \)。

二、曲率（Curvature）

曲率表示曲线在某点处的弯曲程度，曲率越大，曲线弯曲越剧烈。曲率 \( k \) 是曲线在该点处切线方向对弧长的旋转率，即 \( k = \left|\frac{d\alpha}{ds}\right| \)，其中 \( \alpha \) 为切线倾角。

对于平面曲线 \( y = f(x) \)，曲率公式为：\(k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\)

其中 \( y'' = \frac{d^2y}{dx^2} \) 为二阶导数。

参数方程 \( x = x(t), \, y = y(t) \) 的曲率：

\(k = \frac{\left|x' y'' - x'' y'\right|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \quad (\text{其中 } x' = \frac{dx}{dt}, \, x'' = \frac{d^2x}{dt^2}, \text{ 同理 } y')\)

极坐标方程 \( r = r(\theta) \) 的曲率：

\(k = \frac{\left|r^2 + 2r'^2 - r r''\right|}{(r^2 + r'^2)^{3/2}} \quad (\text{其中 } r' = \frac{dr}{d\theta}, \, r'' = \frac{d^2r}{d\theta^2})\)

例1：直线 \( y = kx + b \)

一阶导数 \( y' = k \)，二阶导数 \( y'' = 0 \)，曲率：

\(k = \frac{0}{(1 + k^2)^{3/2}} = 0\)

说明直线无弯曲，曲率为0，符合直观认知。

例2：圆 \( x^2 + y^2 = R^2 \)

以参数方程 \( x = R\cos t, \, y = R\sin t \) 计算：

\(x' = -R\sin t, \, x'' = -R\cos t; \quad y' = R\cos t, \, y'' = -R\sin t\)

代入曲率公式：

\(k = \frac{\left|(-R\sin t)(-R\sin t) - (-R\cos t)(R\cos t)\right|}{(R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}\)

表明圆上各点曲率为常数 \( \frac{1}{R} \)，半径越小，曲率越大。

例3：抛物线 \( y = x^2 \)

一阶导数 \( y' = 2x \)，二阶导数 \( y'' = 2 \)，曲率：

\(k = \frac{2}{(1 + 4x^2)^{3/2}}\)

当 \( x=0 \)（顶点处）时，曲率 \( k = 2 \)，为最大值；当 \( |x| \to \infty \) 时，\( k \to 0 \)，说明抛物线在顶点处弯曲最剧烈，越远离顶点越趋近于直线。

三、曲率圆（Circle of Curvature）

曲率中心：过曲线某点作切线的垂线（法线），在法线上取一点 \( D \)，使得 \( D \) 到该点的距离为曲率半径 \( \rho = \frac{1}{k} \)，则 \( D \) 为曲率中心。

曲率圆：以曲率中心为圆心、曲率半径为半径的圆，与曲线在该点处有相同的切线和曲率，是曲线在该点附近的最佳圆近似。

对于曲线 \( y = f(x) \) 上的点 \( (x, y) \)，曲率中心 \( (ξ, η) \) 的坐标为：\(ξ = x - \frac{y'(1 + y'^2)}{y''}, \quad η = y + \frac{1 + y'^2}{y''}\)

曲率半径 \( \rho = \frac{1}{k} = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|} \)。

例1：圆 \( x^2 + y^2 = R^2 \)

任一点 \( (R\cos t, R\sin t) \) 处的曲率中心为圆心 \( (0, 0) \)，曲率半径为 \( R \)，即曲率圆就是其本身。

例2：抛物线 \( y = x^2 \) 在顶点 \( (0, 0) \) 处\( y'(0) = 0 \)，\( y''(0) = 2 \)，曲率中心：\(ξ = 0 - \frac{0 \cdot (1 + 0)}{2} = 0, \quad η = 0 + \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}\)

曲率半径 \( \rho = \frac{(1 + 0)^{3/2}}{2} = \frac{1}{2} \)，曲率圆方程为 \( x^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)，即 \( x^2 + y^2 = y \)，该圆在顶点处与抛物线相切且曲率相同。

例3：正弦曲线 \( y = \sin x \) 在点 \( (0, 0) \)\( y'(0) = 1 \)，\( y''(0) = 0 \)？不，\( y''(x) = -\sin x \)，故 \( y''(0) = 0 \)？不，等一下，\( y'(x) = \cos x \)，\( y''(x) = -\sin x \)，所以 \( y''(0) = 0 \)？这会导致曲率公式分母为0？不，实际计算：

曲率 \( k = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}} = \frac{0}{(1 + 1)^{3/2}} = 0 \)，但这是错误的，因为 \( y''(0) = -\sin 0 = 0 \)，说明在 \( x=0 \) 处，正弦曲线的曲率为0？其实不然，这里可能计算错误，正确做法：

实际 \( y''(0) = -\sin 0 = 0 \)，但此时需注意，当 \( y''=0 \) 时，曲率为0，说明该点附近曲线近似直线，但正弦曲线在 \( x=0 \) 处是拐点（二阶导数变号），此时曲率确实为0，曲率半径无穷大，曲率圆退化为直线（即切线 \( y = x \)），这符合拐点处曲率为0的特性。

四、渐屈线（Evolute）

渐屈线是曲线所有曲率中心的轨迹，即当点 \( P \) 在原曲线上移动时，其对应的曲率中心 \( D \) 的运动轨迹。

对于曲线 \( y = f(x) \)，渐屈线的参数方程为：\(ξ = x - \frac{y'(1 + y'^2)}{y''}, \quad η = y + \frac{1 + y'^2}{y''}\)

其中 \( x \) 为参数，消去参数后可得 \( ξ \) 与 \( η \) 的关系式。

例1：抛物线 \( y = ax^2 \)

以 \( y = x^2 \) 为例，计算渐屈线：

\( y' = 2x \)，\( y'' = 2 \)，曲率中心：

\(ξ = x - \frac{2x(1 + 4x^2)}{2} = x - 2x(1 + 4x^2) = -x - 8x^3\)

\(η = x^2 + \frac{1 + 4x^2}{2} = \frac{1}{2} + x^2 + 2x^2 = \frac{1}{2} + 3x^2\)

消去参数 \( x \)：由 \( η = \frac{1}{2} + 3x^2 \) 得 \( x^2 = \frac{η - 1/2}{3} \)，代入 \( ξ = -x - 8x^3 \)，可得渐屈线方程为：

\(ξ = -x - 8x \cdot \frac{η - 1/2}{3} = -x\left(1 + \frac{8(η - 1/2)}{3}\right)\)

但更简洁的方式是用参数方程表示，或进一步化简得：\(12(η - \frac{1}{2})^3 = 27ξ^2 + 1\)该曲线为半立方抛物线。

例2：圆 \( x^2 + y^2 = R^2 \)

任一点 \( (R\cos t, R\sin t) \) 的曲率中心为圆心 \( (0, 0) \)，故渐屈线为单点 \( (0, 0) \)，即圆的渐屈线退化为圆心。

例3：椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

参数方程为 \( x = a\cos t, \, y = b\sin t \)，计算曲率中心：

\(x' = -a\sin t, \, x'' = -a\cos t; \quad y' = b\cos t, \, y'' = -b\sin t\)

代入曲率中心公式：

\(ξ = a\cos t - \frac{(-a\sin t)(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)}{-ab\sin t\cos t} = a\cos t - \frac{a(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)}{b\cos t}\)

\(η = b\sin t + \frac{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}{ab\sin t\cos t} \cdot b\cos t = b\sin t + \frac{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}{a\sin t}\)

化简后渐屈线方程为：

\((aξ)^{2/3} + (bη)^{2/3} = (a^2 - b^2)^{2/3}\)

该曲线为星形线（当 \( a > b \) 时）。

五、渐伸线（Involute）

渐伸线是渐屈线的逆概念：若曲线 \( C \) 是曲线 \( Γ \) 的渐屈线，则 \( Γ \) 是 \( C \) 的渐伸线。几何上，渐伸线可看作将一条紧绷的绳子从曲线 \( C \) 上逐渐展开时，绳子端点的轨迹。

设曲线 \( C \) 的参数方程为 \( (ξ(t), η(t)) \)，其弧长为 \( s(t) = \int_0^t \sqrt{ξ'^2(u) + η'^2(u)} \, du \)，则其渐伸线方程为：

\(x(t) = ξ(t) - s(t) \cdot \frac{ξ'(t)}{\sqrt{ξ'^2(t) + η'^2(t)}}, \quad y(t) = η(t) - s(t) \cdot \frac{η'(t)}{\sqrt{ξ'^2(t) + η'^2(t)}}\)

本质是沿曲线 \( C \) 的法线方向移动弧长 \( s(t) \) 的距离。

例1：直线的渐伸线

直线的渐屈线是单点（曲率中心固定），其渐伸线为螺旋线。例如，以 \( x \) 轴为渐屈线（视为单点 \( (0, 0) \)），渐伸线为：

\(x = 0 - s \cdot \cosθ, \quad y = 0 - s \cdot \sinθ\)

其中 \( s \) 为弧长，\( θ \) 为切线倾角，实际为阿基米德螺线。

例2：圆的渐伸线

圆 \( x^2 + y^2 = R^2 \) 的渐屈线是圆心 \( (0, 0) \)，其渐伸线为：

设圆上一点 \( (R\cos t, R\sin t) \)，弧长 \( s = Rt \)，渐伸线方程为：

\(x = R\cos t - Rt \cdot (-\sin t) = R(\cos t + t\sin t)\)

\(y = R\sin t - Rt \cdot \cos t = R(\sin t - t\cos t)\)

该曲线为圆的渐开线，常用于齿轮齿廓设计。

例3：抛物线 \( y = x^2 \) 的渐伸线

先求其渐屈线（半立方抛物线），再通过弧长积分求渐伸线，过程较复杂，此处以参数形式表示：

设渐屈线参数方程为 \( (ξ(t), η(t)) \)，弧长 \( s(t) = \int_0^t \sqrt{ξ'^2(u) + η'^2(u)} \, du \)，代入渐伸线公式可得具体轨迹，本质是沿渐屈线法线方向展开的曲线。

六、摆线的渐屈线方程

摆线是圆沿直线滚动时，圆周上一点的轨迹，参数方程为：\(x = r(t - \sin t), \quad y = r(1 - \cos t)\)

其中 \( r \) 为圆半径，\( t \) 为滚动角度（弧度）。

计算摆线的渐屈线

第一步：求摆线的一阶和二阶导数

\(\frac{dx}{dt} = r(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = r\sin t\)

\(\frac{d^2x}{dt^2} = r\sin t, \quad \frac{d^2y}{dt^2} = r\cos t\)

第二步：代入曲率中心公式（参数方程形式的渐屈线公式）

曲率中心 \( (ξ, η) \) 的坐标为：

\(ξ = x - \frac{y'_t(x'^2_t + y'^2_t)}{x'_t y''_t - x''_t y'_t}, \quad η = y + \frac{x'_t(x'^2_t + y'^2_t)}{x'_t y''_t - x''_t y'_t}\)

计算分母 \( x'_t y''_t - x''_t y'_t = r(1 - \cos t) \cdot r\cos t - r\sin t \cdot r\sin t = r^2(\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t) = r^2(\cos t - 1) \)

分子 \( x'^2_t + y'^2_t = r^2(1 - \cos t)^2 + r^2\sin^2 t = r^2(2 - 2\cos t) = 2r^2(1 - \cos t) \)

代入 \( ξ \) 和 \( η \)：

\(ξ = r(t - \sin t) - \frac{r\sin t \cdot 2r^2(1 - \cos t)}{r^2(\cos t - 1)} = r(t - \sin t) + 2r\sin t = r(t + \sin t)\)

\(η = r(1 - \cos t) + \frac{r(1 - \cos t) \cdot 2r^2(1 - \cos t)}{r^2(\cos t - 1)} = r(1 - \cos t) - 2r(1 - \cos t) = -r(1 + \cos t)\)

第三步：得到渐屈线方程

令 \( t' = t + π \)，则 \( \cos t = \cos(t' - π) = -\cos t' \)，\( \sin t = \sin(t' - π) = -\sin t' \)，代入 \( ξ \) 和 \( η \)：

\(ξ = r(t' - π - \sin t') = r(t' - \sin t') - πr\)

\(η = -r(1 - \cos t')\)

可见，摆线的渐屈线仍是一条摆线，相当于原摆线沿 \( x \) 轴平移 \( πr \)、沿 \( y \) 轴翻转后的图形，参数方程为：

\(ξ = r(t' - \sin t') - πr, \quad η = r(\cos t' - 1)\)

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