高等数学：极限存在准则、极限运算法则

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一、夹逼准则

数列情形

准则内容：设数列\(\{x_{n}\}\)，\(\{y_{n}\}\)，\(\{z_{n}\}\)满足：

从某项起，即\(\exists n_{0}\in N\)，当\(n > n_{0}\)时，有\(y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}\)。

\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=a\)。

那么数列\(\{x_{n}\}\)的极限存在，且\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)。

证明思路：对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\)，所以\(\exists N_{1}\)，当\(n > N_{1}\)时，\(\vert y_{n}-a\vert<\varepsilon\)，即\(a - \varepsilon<y_{n}<a + \varepsilon\)；同理，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=a\)，\(\exists N_{2}\)，当\(n > N_{2}\)时，\(\vert z_{n}-a\vert<\varepsilon\)，即\(a - \varepsilon<z_{n}<a + \varepsilon\)。

取\(N=\max\{n_{0},N_{1},N_{2}\}\)，当\(n > N\)时，有\(a - \varepsilon<y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}<a + \varepsilon\)，即\(\vert x_{n}-a\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)。

例子：求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\)。

因为\(\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\leqslant\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\leqslant\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)。

而\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=1\)。

由夹逼准则可知，原式极限为\(1\)。

函数情形（\(x\rightarrow x_{0}\)）

准则内容：设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\)在点\(x_{0}\)的某去心邻域内满足：

\(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\)。

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=A\)。

那么\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A\)。

例子：证明\(\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)。

因为\(-\vert x\vert\leqslant x\sin\frac{1}{x}\leqslant\vert x\vert\)。

且\(\lim_{x\rightarrow0}(-\vert x\vert)=0\)，\(\lim_{x\rightarrow0}\vert x\vert = 0\)。

由夹逼准则可得\(\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)。

二、单调有界准则

准则内容：单调有界数列必有极限。

单调递增有上界情形的证明思路（简略）：设数列\(\{x_{n}\}\)单调递增且有上界\(M\)。根据确界原理，\(\{x_{n}\}\)有上确界，记为\(\alpha=\sup\{x_{n}\}\)。对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，\(\alpha-\varepsilon\)不是\(\{x_{n}\}\)的上界，所以\(\exists N\)，当\(n > N\)时，\(x_{n}>\alpha - \varepsilon\)。又因为\(x_{n}\leqslant\alpha\)，所以\(\vert x_{n}-\alpha\vert<\varepsilon\)，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\alpha\)。

例子（单调递增有上界）：设\(x_{1}=\sqrt{2}\)，\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}\)，\(n = 1,2,\cdots\)。

首先证明数列单调递增：\(x_{n + 1}-x_{n}=\sqrt{2 + x_{n}}-x_{n}=\frac{2 + x_{n}-x_{n}^{2}}{\sqrt{2 + x_{n}}+x_{n}}=\frac{(2 - x_{n})(1 + x_{n})}{\sqrt{2 + x_{n}}+x_{n}}\)。

通过数学归纳法可以证明\(x_{n}<2\)，所以\(x_{n + 1}-x_{n}>0\)，即数列单调递增。

再证明数列有上界：显然\(x_{1}=\sqrt{2}<2\)，假设\(x_{n}<2\)，则\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}<\sqrt{2 + 2}=2\)。

由单调有界准则可知，该数列极限存在。设\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)，对\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}\)两边取极限得\(a=\sqrt{2 + a}\)，解得\(a = 2\)（舍去负根）。

单调递减有下界情形类似：设数列\(\{y_{n}\}\)单调递减且有下界\(m\)，则数列\(\{y_{n}\}\)有下确界，记为\(\beta=\inf\{y_{n}\}\)，同样可以证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\beta\)。

一、极限的四则运算法则

加法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)+g(x)] = A + B\)。

证明：对于任意\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

同理，因\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，

\(\vert[f(x)+g(x)]-(A + B)\vert=\vert[f(x)-A]+[g(x)-B]\vert\leqslant\vert f(x)-A\vert+\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}(3x + \frac{1}{x})=\lim_{x \to 2}3x+\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=6+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}\)。

减法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)-g(x)] = A - B\)。

证明类似加法法则。

例如，\(\lim_{x \to 1}(2x - x^{2})=\lim_{x \to 1}2x-\lim_{x \to 1}x^{2}=2 - 1 = 1\)。

乘法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)\cdot g(x)] = A\cdot B\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)\vert\leqslant M\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)g(x)-AB\vert\)

\(=\vert f(x)g(x)-Ag(x)+Ag(x)-AB\vert\)

\(=\vert g(x)[f(x)-A]+A[g(x)-B]\vert\leqslant\vert g(x)\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 3}(x^{2}\cdot\sin x)=\lim_{x \to 3}x^{2}\cdot\lim_{x \to 3}\sin x = 9\cdot\sin 3\)。这里\(\sin x\)是有界函数，\(\lim_{x \to 3}x^{2}=9\)，利用乘法法则计算。

除法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\)，此时\(\vert g(x)\vert>\frac{\vert B\vert}{2}\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\cdot\varepsilon\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|=\left|\frac{Bf(x)-Ag(x)}{Bg(x)}\right|=\left|\frac{B[f(x)-A]-A[g(x)-B]}{Bg(x)}\right|\leqslant\frac{\vert B\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert}{\vert B\vert\vert g(x)\vert}<\varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2}+2x + 4)}{x - 2}=\lim_{x \to 2}(x^{2}+2x + 4)=12\)。

二、复合函数的极限运算法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，若\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=u_{0}\)，\(\lim_{u \to u_{0}}f(u)=A\)，且在\(x_{0}\)的某去心邻域内\(g(x)\neq u_{0}\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}f[g(x)] = A\)。

例如，设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(g(x)=x^{2}+1\)，求\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]\)。

首先\(\lim_{x \to 1}g(x)=\lim_{x \to 1}(x^{2}+1)=2\)，然后\(\lim_{u \to 2}f(u)=\lim_{u \to 2}\sqrt{u}=\sqrt{2}\)，所以\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]=\sqrt{2}\)。

三、无穷小的运算法则与极限计算结合

有限个无穷小的和是无穷小：

设\(\alpha(x)\)，\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x \to x_{0}}\beta(x)=0\)。

令\(\gamma(x)=\alpha(x)+\beta(x)\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)+\beta(x)\vert\leqslant\vert\alpha(x)\vert+\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小：

设函数\(u(x)\)在\(x \to x_{0}\)的某邻域内有界，即存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert u(x)\vert\leqslant M\)。

设\(\alpha(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)。对于任意\(\varepsilon>0\)，

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert u(x)\alpha(x)\vert=\vert u(x)\vert\vert\alpha(x)\vert\leqslant M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}u(x)\alpha(x)=0\)。

例如，\(\lim_{x \to 0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，因为\(\sin\frac{1}{x}\)是有界函数，\(x\)是当\(x \to 0\)时的无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小：

设\(\alpha(x)\)、\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，令\(\gamma(x)=\alpha(x)\beta(x)\)。

对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)\beta(x)\vert=\vert\alpha(x)\vert\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。