高等数学：反常积分、无穷限、无界函数反常积分的审敛法、Γ函数

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一、反常积分的概念

无穷区间上的反常积分

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，定义 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ 。

如果极限 $\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛；否则，称它发散。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$

先计算 $\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1 - \frac{1}{b}$ ，然后求极限 $\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1$ ，所以该反常积分收敛。

类似地，

对于区间 $(-\infty,b]$ 上的函数 $f(x)$ ，定义 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ ；

对于区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ ，定义 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx$

（其中 $c$ 为任意实数），当且仅当 $\int_{-\infty}^{c}f(x)dx$ 和 $\int_{c}^{+\infty}f(x)dx$ 都收敛时， $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 才收敛。

无界函数的反常积分（瑕积分）

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，且 $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$ ，则称 $a$ 为瑕点。

定义 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。

如果极限 $\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx$ 存在，则称瑕积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；否则，称它发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

因为 $x = 0$ 是瑕点，计算 $\lim\limits_{t\to0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim\limits_{t\to0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim\limits_{t\to0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2$ ，所以该瑕积分收敛。

若 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，且 $\lim\limits_{x\to b^{-}}f(x)=\infty$ ，则 $b$ 为瑕点， $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx$ ；

若 $f(x)$ 在 $[a,c)\cup(c,b]$ 上连续，且 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty$ ，则 $c$ 为瑕点， $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ ，当且仅当 $\int_{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int_{c}^{b}f(x)dx$ 都收敛时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 才收敛。

二、反常积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：

对于无穷区间上的反常积分，如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ ，先求 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ ，然后计算 $\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$ 。

对于瑕积分，如 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ （ $a$ 为瑕点），先求 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ ，然后计算 $\lim\limits_{t\to a^{+}}[F(b)-F(t)]$ 。

例如，计算 $\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$ ，原函数为 $-e^{-x}$ ，则 $\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+e^{0}) = 1$ 。

换元法：在反常积分中也可以使用换元法。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx$

令 $x=\sec t$ ， $dx=\sec t\tan tdt$ ，当 $x = 1$ 时， $t = 0$ ；当 $x\to+\infty$ 时， $t\to\frac{\pi}{2}$ 。则原式变为

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec t\tan t}{\sec t\tan t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dt=\frac{\pi}{2}$ 。

分部积分法：对于某些反常积分，分部积分法也适用。

例如，计算 $\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx$

设 $u = x$ ， $v^\prime=e^{-x}$ ，则 $u^\prime = 1$ ， $v=-e^{-x}$ 。根据分部积分公式

$\int_{0}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx$ ，其中

$[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(0)v(0)]$ ，经过计算可得该反常积分收敛且值为 $1$ 。

三、反常积分的判别法

无穷区间上反常积分的判别法

比较判别法：

设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。

若 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛；

若 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 发散。

例如，要判断 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx$ 的敛散性

因为 $\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ，

而 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx$ 收敛，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx$ 收敛。

极限判别法：

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续且非负，

若 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l$ （ $0\leq l<+\infty$ ），当 $p > 1$ 时， $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛；

若 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l$ （ $0 < l\leq+\infty$ ），当 $p\leq1$ 时， $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx$ ，令 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ ， $\lim\limits_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty$ ，因为 $p = 1$ ，所以该反常积分发散。

无界函数反常积分（瑕积分）的判别法

比较判别法：

设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。

若 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；

若 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 发散。

例如，判断 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx$ 的敛散性

因为 $\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，而 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 收敛，所以 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx$ 收敛。

极限判别法：

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点且 $f(x)\geq0$

若 $\lim\limits_{x\to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l$ （ $0\leq l<+\infty$ ），当 $p < 1$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；

若 $\lim\limits_{x\to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l$ （ $0 < l\leq+\infty$ ），当 $p\geq1$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx$

令 $p = 0.9$ ， $\lim\limits_{x\to0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1$ ，因为 $p = 0.9 < 1$ ，所以该瑕积分收敛。

一、概念理解

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，我们把 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 定义为 $\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ 。如果这个极限存在，就说反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛；如果极限不存在，就说反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$ ，先求 $\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx$ ，根据定积分计算法则， $\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}$ ，然后求极限 $\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1$ ，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$ 收敛。

几何意义：可以看作是函数 $y = f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 与 $x$ 轴所围成的“无限延伸的面积”。如果这个面积是有限值，反常积分收敛；如果面积是无穷大，反常积分发散。

例如， $y=\frac{1}{x}$ （ $x\geq1$ ）与 $x$ 轴围成的面积随着 $x$ 趋于无穷而无限增大，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ 发散。

二、计算方法

牛顿 - 莱布尼茨公式的推广：先求出被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$ ，然后计算 $\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$ 。

例如，计算 $\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$ ，原函数是 $-e^{-x}$ ，则 $\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1$ 。

换元法：通过换元将复杂的积分转化为容易计算的形式。

例如，计算 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(x + 1)}dx$ ，令 $t=\sqrt{x}$ ，则 $x = t^{2}$ ， $dx = 2tdt$ ，当 $x = 1$ 时， $t = 1$ ；当 $x\to+\infty$ 时， $t\to+\infty$ 。原积分变为 $\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt$ ，而 $\int\frac{1}{t^{2}+1}dt=\arctan t + C$ ，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt=2\lim\limits_{b\to+\infty}(\arctan b-\arctan1)=2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$ 。

分部积分法：设 $u$ 和 $v^\prime$ 是被积函数的两个部分，利用分部积分公式 $\int_{a}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}-\int_{a}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx$ ，其中 $[u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(a)v(a)]$ 。

例如，计算 $\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx$ ，设 $u = x$ ， $v^\prime=e^{-x}$ ，则 $u^\prime = 1$ ， $v=-e^{-x}$ 。根据分部积分公式可得 $\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=[-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$ ，对于 $[-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}$ ， $\lim\limits_{x\to+\infty}-x e^{-x}=0$ （可通过洛必达法则证明），所以 $\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=1$ 。

三、敛散性判别法

比较判别法：设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。如果 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛，那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 也收敛；如果 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散，那么 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 也发散。

例如，要判断 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx$ 的敛散性，因为 $\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ，且 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx$ 收敛，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx$ 收敛。

极限判别法：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续且非负。如果 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l$ （ $0\leq l<+\infty$ ），当 $p > 1$ 时， $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛；如果 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l$ （ $0 < l\leq+\infty$ ），当 $p\leq1$ 时， $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

一、瑕积分的概念

瑕点的定义：如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任意邻域内无界，则称点 $a$ 是函数 $f(x)$ 的瑕点。

例如，函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处无界，所以 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的瑕点。

瑕积分的定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，且 $\lim_{x \to a^{+}}f(x)=\infty$ ，则瑕积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 定义为 $\lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。如果这个极限存在，就称瑕积分收敛；否则，称瑕积分发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ ，因为 $x = 0$ 是瑕点，计算 $\lim_{t \to 0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{t \to 0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim_{t \to 0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2$ ，所以该瑕积分收敛。

区间上存在多个瑕点的情况：若 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，且 $\lim_{x \to b^{-}}f(x)=\infty$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t \to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx$ ；若 $f(x)$ 在 $[a,c)\cup(c,b]$ 上连续，且 $\lim_{x \to c}f(x)=\infty$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ ，当且仅当 $\int_{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int_{c}^{b}f(x)dx$ 都收敛时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 才收敛。

二、瑕积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：先求 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ ，对于瑕积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ （ $a$ 为瑕点），计算 $\lim_{t \to a^{+}}[F(b)-F(t)]$ 。

例如，计算 $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx$ ，原函数为 $-\frac{1}{x}$ ， $\lim_{t \to 0^{+}}(-\frac{1}{1}+\frac{1}{t})$ 不存在，所以该瑕积分发散。

换元法：通过换元将瑕积分转化为普通积分或者更容易处理的瑕积分。

例如，计算 $\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1 - x}{x}}dx$ ，令 $t=\sqrt{\frac{1 - x}{x}}$ ，则 $x=\frac{1}{1 + t^{2}}$ ， $dx=-\frac{2t}{(1 + t^{2})^{2}}dt$ ，当 $x = 0$ 时， $t \to +\infty$ ；当 $x = 1$ 时， $t = 0$ 。原积分变为 $2\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}dt$ ，再通过其他积分方法（如分部积分法等）进行计算。

分部积分法：对于某些瑕积分，分部积分法也适用。设 $u$ 和 $v^\prime$ 是被积函数的两个部分，利用分部积分公式 $\int_{a}^{b}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^\prime(x)v(x)dx$ ，注意在计算过程中要正确处理瑕点处的极限。

例如，计算 $\int_{0}^{1}x\ln xdx$ ，设 $u=\ln x$ ， $v^\prime = x$ ，则 $u^\prime=\frac{1}{x}$ ， $v=\frac{1}{2}x^{2}$ 。根据分部积分公式可得 $\int_{0}^{1}x\ln xdx=\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}\times\frac{1}{x}dx$ ，对于 $\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}$ ， $\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{2}x^{2}\ln x = 0$ （通过洛必达法则等方法可证明），然后继续计算后面的积分得到结果。

三、瑕积分的判别法

比较判别法：设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。若 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；若 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 发散。

例如，判断 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx$ 的敛散性，因为 $\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，而 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 收敛，所以 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx$ 收敛。

极限判别法：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点且 $f(x)\geq0$ ，若 $\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l$ （ $0\leq l<+\infty$ ），当 $p < 1$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；若 $\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l$ （ $0 < l\leq+\infty$ ），当 $p\geq1$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx$ ，令 $p = 0.9$ ， $\lim_{x \to 0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1$ ，因为 $p = 0.9 < 1$ ，所以该瑕积分收敛。

一、比较审敛法

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。

如果 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛，那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 也收敛。这是因为 $f(x)$ 的图像始终在 $g(x)$ 图像的下方或者重合，当 $g(x)$ 与 $x$ 轴围成的“无穷面积”是有限值（即 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛）时， $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的“无穷面积”必然也是有限值。

反之，如果 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散，那么 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 也发散。

例如，已知 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$ 收敛，对于函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}+ 1}}$ ，当 $x\geq1$ 时， $\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx$ 收敛。

极限形式的比较审敛法：设 $f(x)$ 是在 $[a,+\infty)$ 上的非负连续函数。

若存在常数 $p > 1$ 和 $M>0$ ，使得 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=M$ （ $M$ 为有限值），则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{1.1}}dx$ ，令 $p = 1.1$ ， $f(x)=\frac{1}{x^{1.1}}$ ， $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1.1}\times\frac{1}{x^{1.1}} = 1$ ，因为 $p = 1.1>1$ ，所以该积分收敛。

若存在常数 $p\leq1$ 和 $N>0$ ，使得 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=N$ （ $N$ 为非零有限值或者 $+\infty$ ），则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx$ ，令 $p = 1$ ， $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ ， $\lim_{x\rightarrow+\infty}x\times\frac{1}{x\ln x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty$ ，因为 $p = 1$ ，所以该积分发散。

二、狄利克雷判别法

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：

$F(A)=\int_{a}^{A}f(x)dx$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界，即存在 $M > 0$ ，使得对于任意 $A\geq a$ ， $\vert F(A)\vert=\left|\int_{a}^{A}f(x)dx\right|\leq M$ 。

$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调且 $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$ 。

那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ 收敛。

例如，对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$ ，令 $f(x)=\sin x$ ， $g(x)=\frac{1}{x}$ 。 $\int_{1}^{A}\sin xdx$ 的值在 $[- 2,2]$ 之间（有界）， $g(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0$ ，所以 $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛。

三、阿贝尔判别法

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：

$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。

$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调有界。

那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ 收敛。

例如，已知 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$ 收敛，设 $g(x)=\frac{\sin x + 2}{3}$ （单调有界），对于 $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\times\frac{\sin x + 2}{3}dx$ ，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

一、比较审敛法

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$ 。

如果 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 收敛，那么 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 也收敛。这是因为 $f(x)$ 对应的积分面积小于等于 $g(x)$ 对应的积分面积，当 $g(x)$ 的积分收敛（即积分面积是有限值）时， $f(x)$ 的积分面积也为有限值。

反之，如果 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散，那么 $\int_{a}^{b}g(x)dx$ 也发散。

极限形式的比较审敛法：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点且 $f(x)\geq0$ 。

若存在常数 $0 < p < 1$ 和 $M\geq0$ ，使得 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=M$ （ $M$ 为有限值），则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx$ ，令 $p = 0.9$ ， $\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1$ ，因为 $p = 0.9 < 1$ ，所以该瑕积分收敛。

若存在常数 $p\geq1$ 和 $N > 0$ ，使得 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=N$ （ $N$ 为非零有限值或者 $+\infty$ ），则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx$ ，令 $p = 1$ ， $\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{x}=1$ ，因为 $p = 1$ ，所以该瑕积分发散。

二、柯西判别法（极限形式）

原理：设 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续， $a$ 为瑕点且 $f(x)\geq0$ 。

若 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)f(x)=l$ ，当 $l < +\infty$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛；当 $l>0$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{1 - x}dx$ ，令 $x - 0 = x$ ， $\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{1 - x}=0$ ，所以该积分收敛。

三、狄利克雷判别法（瑕积分形式）

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：

对于任意 $\eta\in(a,b)$ ， $\int_{a}^{\eta}f(x)dx$ 有界。

$g(x)$ 在 $(a,b]$ 上单调且 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x)=0$ 。

那么 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$ 收敛。

例如，对于 $\int_{0}^{1}\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^{p}}dx$ （ $0 < p < 1$ ），令 $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ ， $g(x)=\frac{1}{x^{p}}$ 。 $\int_{0}^{\eta}\sin\frac{1}{x}dx$ 是有界的， $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调且 $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x^{p}}=+\infty$ ，根据狄利克雷判别法可知该积分收敛。

四、阿贝尔判别法（瑕积分形式）

原理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛。

$g(x)$ 在 $(a,b]$ 上单调有界。

那么 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$ 收敛。

例如，已知 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 收敛，设 $g(x)=\cos x$ （在 $(0,1]$ 上单调有界），对于 $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\cos xdx$ ，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

一、Γ函数的定义

Γ函数的定义式为 $\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s - 1}e^{-x}dx$ ，其中 $s>0$ 。

这个积分是一个反常积分，它在 $x = 0$ （当 $s - 1<0$ 时）和 $x\to+\infty$ 处都需要考虑收敛性。

例如，当 $s = 1$ 时， $\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$ ，根据反常积分的计算方法

$\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}e^{-x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1$ 。

二、Γ函数的性质

递推性质： $\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)$ 。这个性质的证明可以通过分部积分法来完成。

设 $u = x^{s}$ ， $v^\prime=e^{-x}$ ，则 $u^\prime = s x^{s - 1}$ ， $v=-e^{-x}$ 。

根据分部积分公式 $\int_{0}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx$ ，可得 $\Gamma(s + 1)=\int_{0}^{+\infty}x^{s}e^{-x}dx=[-x^{s}e^{-x}]_{0}^{+\infty}+s\int_{0}^{+\infty}x^{s - 1}e^{-x}dx$ 。

对于 $[-x^{s}e^{-x}]_{0}^{+\infty}$ ， $\lim\limits_{x\to+\infty}-x^{s}e^{-x}=0$ （通过洛必达法则多次应用可以证明），且当 $x = 0$ 时， $-x^{s}e^{-x}=0$ ，所以 $\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)$ 。

特殊值： $\Gamma(1)=1$ ， $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ 。

对于 $\Gamma(\frac{1}{2})$ 的计算， $\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{+\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx$ ，令 $t=\sqrt{x}$ ，则 $x = t^{2}$ ， $dx = 2tdt$ 。

原式变为 $2\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt$ ，这个积分的值为 $\sqrt{\pi}$ （可以通过极坐标变换等方法证明）。

三、Γ函数与其他函数的关系及应用

与阶乘的关系：当 $n$ 为正整数时， $\Gamma(n)=(n - 1)!$ 。这是由递推性质 $\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)$ 得到的，因为 $\Gamma(1)=1$ ， $\Gamma(2)=1\times\Gamma(1)=1$ ， $\Gamma(3)=2\times\Gamma(2)=2$ ，以此类推。

在概率统计中的应用：在概率统计中，例如伽马分布的概率密度函数 $f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}$ （ $x>0$ ），其中 $\alpha>0$ ， $\beta>0$ ， $\Gamma(\alpha)$ 起到了归一化的作用，使得概率密度函数在整个定义域上的积分等于 $1$ 。

在积分计算中的应用：可以利用 $\Gamma$ 函数来计算一些复杂的积分。

例如，计算 $\int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^{2}}dx$ （ $a>0$ ， $n$ 为正整数），通过适当的变量代换可以将其转化为 $\Gamma$ 函数的形式进行计算。设 $t = ax^{2}$ ，则 $x=\sqrt{\frac{t}{a}}$ ， $dx=\frac{1}{2\sqrt{at}}dt$ ，原式可化为 $\frac{1}{2a^{\frac{n + 1}{2}}}\int_{0}^{+\infty}t^{\frac{n - 1}{2}}e^{-t}dt=\frac{1}{2a^{\frac{n + 1}{2}}}\Gamma(\frac{n + 1}{2})$ 。