高等数学：反常积分、无穷限、无界函数反常积分的审敛法、Γ函数

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一、反常积分的概念

无穷区间上的反常积分

设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，定义\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)。

如果极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)存在，则称反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；否则，称它发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)

先计算\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1 - \frac{1}{b}\)，然后求极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1\)，所以该反常积分收敛。

类似地，

对于区间\((-\infty,b]\)上的函数\(f(x)\)，定义\(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)；

对于区间\((-\infty,+\infty)\)上的函数\(f(x)\)，定义\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\)

（其中\(c\)为任意实数），当且仅当\(\int_{-\infty}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\)才收敛。

无界函数的反常积分（瑕积分）

设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty\)，则称\(a\)为瑕点。

定义\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)。

如果极限\(\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)存在，则称瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；否则，称它发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

因为\(x = 0\)是瑕点，计算\(\lim\limits_{t\to0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim\limits_{t\to0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim\limits_{t\to0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2\)，所以该瑕积分收敛。

若\(f(x)\)在\([a,b)\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to b^{-}}f(x)=\infty\)，则\(b\)为瑕点，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx\)；

若\(f(x)\)在\([a,c)\cup(c,b]\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty\)，则\(c\)为瑕点，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，当且仅当\(\int_{a}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{b}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)才收敛。

二、反常积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：

对于无穷区间上的反常积分，如\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)，先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\)。

对于瑕积分，如\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(a\)为瑕点），先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{t\to a^{+}}[F(b)-F(t)]\)。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，原函数为\(-e^{-x}\)，则\(\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+e^{0}) = 1\)。

换元法：在反常积分中也可以使用换元法。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\)

令\(x=\sec t\)，\(dx=\sec t\tan tdt\)，当\(x = 1\)时，\(t = 0\)；当\(x\to+\infty\)时，\(t\to\frac{\pi}{2}\)。则原式变为

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec t\tan t}{\sec t\tan t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dt=\frac{\pi}{2}\)。

分部积分法：对于某些反常积分，分部积分法也适用。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx\)

设\(u = x\)，\(v^\prime=e^{-x}\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v=-e^{-x}\)。根据分部积分公式

\(\int_{0}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx\)，其中

\([u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(0)v(0)]\)，经过计算可得该反常积分收敛且值为\(1\)。

三、反常积分的判别法

无穷区间上反常积分的判别法

比较判别法：

设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

若\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；

若\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，则\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)发散。

例如，要判断\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)的敛散性

因为\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，

而\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx\)收敛，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限判别法：

设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续且非负，

若\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p > 1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；

若\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\leq1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx\)，令\(f(x)=\frac{1}{x\ln x}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty\)，因为\(p = 1\)，所以该反常积分发散。

无界函数反常积分（瑕积分）的判别法

比较判别法：

设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

若\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)收敛，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；

若\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散，则\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)发散。

例如，判断\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)的敛散性

因为\(\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\)，而\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，所以\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)收敛。

极限判别法：

设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)

若\(\lim\limits_{x\to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p < 1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；

若\(\lim\limits_{x\to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\geq1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx\)

令\(p = 0.9\)，\(\lim\limits_{x\to0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1\)，因为\(p = 0.9 < 1\)，所以该瑕积分收敛。

一、概念理解

定义：设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，我们把\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)定义为\(\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)。如果这个极限存在，就说反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；如果极限不存在，就说反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)，先求\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx\)，根据定积分计算法则，\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}\)，然后求极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛。

几何意义：可以看作是函数\(y = f(x)\)在无穷区间\([a,+\infty)\)与\(x\)轴所围成的“无限延伸的面积”。如果这个面积是有限值，反常积分收敛；如果面积是无穷大，反常积分发散。

例如，\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\geq1\)）与\(x\)轴围成的面积随着\(x\)趋于无穷而无限增大，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)发散。

二、计算方法

牛顿 - 莱布尼茨公式的推广：先求出被积函数\(f(x)\)的一个原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\)。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，原函数是\(-e^{-x}\)，则\(\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1\)。

换元法：通过换元将复杂的积分转化为容易计算的形式。

例如，计算\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(x + 1)}dx\)，令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)，当\(x = 1\)时，\(t = 1\)；当\(x\to+\infty\)时，\(t\to+\infty\)。原积分变为\(\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt\)，而\(\int\frac{1}{t^{2}+1}dt=\arctan t + C\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt=2\lim\limits_{b\to+\infty}(\arctan b-\arctan1)=2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}\)。

分部积分法：设\(u\)和\(v^\prime\)是被积函数的两个部分，利用分部积分公式\(\int_{a}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}-\int_{a}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx\)，其中\([u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(a)v(a)]\)。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx\)，设\(u = x\)，\(v^\prime=e^{-x}\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v=-e^{-x}\)。根据分部积分公式可得\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=[-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，对于\([-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}-x e^{-x}=0\)（可通过洛必达法则证明），所以\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=1\)。

三、敛散性判别法

比较判别法：设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。如果\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛；如果\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)也发散。

例如，要判断\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)的敛散性，因为\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，且\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx\)收敛，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限判别法：设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续且非负。如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p > 1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\leq1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。

一、瑕积分的概念

瑕点的定义：如果函数\(f(x)\)在点\(a\)的任意邻域内无界，则称点\(a\)是函数\(f(x)\)的瑕点。

例如，函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x = 0\)处无界，所以\(x = 0\)是\(f(x)\)的瑕点。

瑕积分的定义：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(\lim_{x \to a^{+}}f(x)=\infty\)，则瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)定义为\(\lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)。如果这个极限存在，就称瑕积分收敛；否则，称瑕积分发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)，因为\(x = 0\)是瑕点，计算\(\lim_{t \to 0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{t \to 0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim_{t \to 0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2\)，所以该瑕积分收敛。

区间上存在多个瑕点的情况：若\(f(x)\)在\([a,b)\)上连续，且\(\lim_{x \to b^{-}}f(x)=\infty\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t \to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx\)；若\(f(x)\)在\([a,c)\cup(c,b]\)上连续，且\(\lim_{x \to c}f(x)=\infty\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，当且仅当\(\int_{a}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{b}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)才收敛。

二、瑕积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，对于瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(a\)为瑕点），计算\(\lim_{t \to a^{+}}[F(b)-F(t)]\)。

例如，计算\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx\)，原函数为\(-\frac{1}{x}\)，\(\lim_{t \to 0^{+}}(-\frac{1}{1}+\frac{1}{t})\)不存在，所以该瑕积分发散。

换元法：通过换元将瑕积分转化为普通积分或者更容易处理的瑕积分。

例如，计算\(\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1 - x}{x}}dx\)，令\(t=\sqrt{\frac{1 - x}{x}}\)，则\(x=\frac{1}{1 + t^{2}}\)，\(dx=-\frac{2t}{(1 + t^{2})^{2}}dt\)，当\(x = 0\)时，\(t \to +\infty\)；当\(x = 1\)时，\(t = 0\)。原积分变为\(2\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}dt\)，再通过其他积分方法（如分部积分法等）进行计算。

分部积分法：对于某些瑕积分，分部积分法也适用。设\(u\)和\(v^\prime\)是被积函数的两个部分，利用分部积分公式\(\int_{a}^{b}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^\prime(x)v(x)dx\)，注意在计算过程中要正确处理瑕点处的极限。

例如，计算\(\int_{0}^{1}x\ln xdx\)，设\(u=\ln x\)，\(v^\prime = x\)，则\(u^\prime=\frac{1}{x}\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。根据分部积分公式可得\(\int_{0}^{1}x\ln xdx=\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}\times\frac{1}{x}dx\)，对于\(\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}\)，\(\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{2}x^{2}\ln x = 0\)（通过洛必达法则等方法可证明），然后继续计算后面的积分得到结果。

三、瑕积分的判别法

比较判别法：设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。若\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)收敛，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；若\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散，则\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)发散。

例如，判断\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)的敛散性，因为\(\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\)，而\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，所以\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)收敛。

极限判别法：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)，若\(\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p < 1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；若\(\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\geq1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx\)，令\(p = 0.9\)，\(\lim_{x \to 0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1\)，因为\(p = 0.9 < 1\)，所以该瑕积分收敛。

一、比较审敛法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

如果\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛。这是因为\(f(x)\)的图像始终在\(g(x)\)图像的下方或者重合，当\(g(x)\)与\(x\)轴围成的“无穷面积”是有限值（即\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛）时，\(f(x)\)与\(x\)轴围成的“无穷面积”必然也是有限值。

反之，如果\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)也发散。

例如，已知\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛，对于函数\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}+ 1}}\)，当\(x\geq1\)时，\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限形式的比较审敛法：设\(f(x)\)是在\([a,+\infty)\)上的非负连续函数。

若存在常数\(p > 1\)和\(M>0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=M\)（\(M\)为有限值），则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{1.1}}dx\)，令\(p = 1.1\)，\(f(x)=\frac{1}{x^{1.1}}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1.1}\times\frac{1}{x^{1.1}} = 1\)，因为\(p = 1.1>1\)，所以该积分收敛。

若存在常数\(p\leq1\)和\(N>0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=N\)（\(N\)为非零有限值或者\(+\infty\)），则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx\)，令\(p = 1\)，\(f(x)=\frac{1}{x\ln x}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x\times\frac{1}{x\ln x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty\)，因为\(p = 1\)，所以该积分发散。

二、狄利克雷判别法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(F(A)=\int_{a}^{A}f(x)dx\)在\([a,+\infty)\)上有界，即存在\(M > 0\)，使得对于任意\(A\geq a\)，\(\vert F(A)\vert=\left|\int_{a}^{A}f(x)dx\right|\leq M\)。

\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\)。

那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)，令\(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)。\(\int_{1}^{A}\sin xdx\)的值在\([- 2,2]\)之间（有界），\(g(x)=\frac{1}{x}\)在\([1,+\infty)\)上单调递减且\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)收敛。

三、阿贝尔判别法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。

\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上单调有界。

那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。

例如，已知\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛，设\(g(x)=\frac{\sin x + 2}{3}\)（单调有界），对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\times\frac{\sin x + 2}{3}dx\)，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

一、比较审敛法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

如果\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)也收敛。这是因为\(f(x)\)对应的积分面积小于等于\(g(x)\)对应的积分面积，当\(g(x)\)的积分收敛（即积分面积是有限值）时，\(f(x)\)的积分面积也为有限值。

反之，如果\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)也发散。

极限形式的比较审敛法：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)。

若存在常数\(0 < p < 1\)和\(M\geq0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=M\)（\(M\)为有限值），则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx\)，令\(p = 0.9\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1\)，因为\(p = 0.9 < 1\)，所以该瑕积分收敛。

若存在常数\(p\geq1\)和\(N > 0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=N\)（\(N\)为非零有限值或者\(+\infty\)），则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)，令\(p = 1\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{x}=1\)，因为\(p = 1\)，所以该瑕积分发散。

二、柯西判别法（极限形式）

原理：设\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)。

若\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)f(x)=l\)，当\(l < +\infty\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；当\(l>0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{1 - x}dx\)，令\(x - 0 = x\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{1 - x}=0\)，所以该积分收敛。

三、狄利克雷判别法（瑕积分形式）

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

对于任意\(\eta\in(a,b)\)，\(\int_{a}^{\eta}f(x)dx\)有界。

\(g(x)\)在\((a,b]\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x)=0\)。

那么\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\)收敛。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^{p}}dx\)（\(0 < p < 1\)），令\(f(x)=\sin\frac{1}{x}\)，\(g(x)=\frac{1}{x^{p}}\)。\(\int_{0}^{\eta}\sin\frac{1}{x}dx\)是有界的，\(g(x)\)在\((0,1]\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x^{p}}=+\infty\)，根据狄利克雷判别法可知该积分收敛。

四、阿贝尔判别法（瑕积分形式）

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。

\(g(x)\)在\((a,b]\)上单调有界。

那么\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\)收敛。

例如，已知\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，设\(g(x)=\cos x\)（在\((0,1]\)上单调有界），对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\cos xdx\)，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

一、Γ函数的定义

Γ函数的定义式为\(\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s - 1}e^{-x}dx\)，其中\(s>0\)。

这个积分是一个反常积分，它在\(x = 0\)（当\(s - 1<0\)时）和\(x\to+\infty\)处都需要考虑收敛性。

例如，当\(s = 1\)时，\(\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，根据反常积分的计算方法

\(\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}e^{-x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1\)。

二、Γ函数的性质

递推性质：\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)。这个性质的证明可以通过分部积分法来完成。

设\(u = x^{s}\)，\(v^\prime=e^{-x}\)，则\(u^\prime = s x^{s - 1}\)，\(v=-e^{-x}\)。

根据分部积分公式\(\int_{0}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx\)，可得\(\Gamma(s + 1)=\int_{0}^{+\infty}x^{s}e^{-x}dx=[-x^{s}e^{-x}]_{0}^{+\infty}+s\int_{0}^{+\infty}x^{s - 1}e^{-x}dx\)。

对于\([-x^{s}e^{-x}]_{0}^{+\infty}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}-x^{s}e^{-x}=0\)（通过洛必达法则多次应用可以证明），且当\(x = 0\)时，\(-x^{s}e^{-x}=0\)，所以\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)。

特殊值：\(\Gamma(1)=1\)，\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)。

对于\(\Gamma(\frac{1}{2})\)的计算，\(\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{+\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx\)，令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)。

原式变为\(2\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\)，这个积分的值为\(\sqrt{\pi}\)（可以通过极坐标变换等方法证明）。

三、Γ函数与其他函数的关系及应用

与阶乘的关系：当\(n\)为正整数时，\(\Gamma(n)=(n - 1)!\)。这是由递推性质\(\Gamma(s + 1)=s\Gamma(s)\)得到的，因为\(\Gamma(1)=1\)，\(\Gamma(2)=1\times\Gamma(1)=1\)，\(\Gamma(3)=2\times\Gamma(2)=2\)，以此类推。

在概率统计中的应用：在概率统计中，例如伽马分布的概率密度函数\(f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}\)（\(x>0\)），其中\(\alpha>0\)，\(\beta>0\)，\(\Gamma(\alpha)\)起到了归一化的作用，使得概率密度函数在整个定义域上的积分等于\(1\)。

在积分计算中的应用：可以利用\(\Gamma\)函数来计算一些复杂的积分。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^{2}}dx\)（\(a>0\)，\(n\)为正整数），通过适当的变量代换可以将其转化为\(\Gamma\)函数的形式进行计算。设\(t = ax^{2}\)，则\(x=\sqrt{\frac{t}{a}}\)，\(dx=\frac{1}{2\sqrt{at}}dt\)，原式可化为\(\frac{1}{2a^{\frac{n + 1}{2}}}\int_{0}^{+\infty}t^{\frac{n - 1}{2}}e^{-t}dt=\frac{1}{2a^{\frac{n + 1}{2}}}\Gamma(\frac{n + 1}{2})\)。