高等数学：连续函数的和、差、积、商的连续性

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、和差的连续性

定理：若函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处连续，则它们的和\(f(x)+g(x)\)与差\(f(x)-g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处也连续。

证明：因为\(f(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续，所以\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)；同理，因为\(g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续，所以\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=g(x_{0})\)。

对于\(F(x)=f(x)+g(x)\)，根据极限的运算法则，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}F(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)+\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=f(x_{0}) + g(x_{0})\)，这就证明了\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续。

对于\(G(x)=f(x)-g(x)\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}G(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)-\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=f(x_{0})-g(x_{0})\)，所以\(G(x)=f(x)-g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续。

例如，\(f(x)=x^{2}\)和\(g(x)=\sin x\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续，那么\(f(x)+g(x)=x^{2}+\sin x\)和\(f(x)-g(x)=x^{2}-\sin x\)在\((-\infty,+\infty)\)上也连续。

二、积的连续性

定理：若函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处连续，则它们的积\(f(x)\cdot g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处也连续。

证明：因为\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=g(x_{0})\)。

对于\(H(x)=f(x)g(x)\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}H(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=f(x_{0})\cdot g(x_{0})\)，所以\(H(x)=f(x)g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续。

例如，\(f(x)=e^{x}\)和\(g(x)=\ln(x + 1)\)（\(x\gt - 1\)）是连续函数，那么\(f(x)g(x)=e^{x}\ln(x + 1)\)（\(x\gt - 1\)）也是连续函数。

三、商的连续性

定理：若函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处连续，且\(g(x_{0})\neq0\)，则它们的商\(\frac{f(x)}{g(x)}\)在点\(x = x_{0}\)处也连续。

证明：因为\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=g(x_{0})\)且\(g(x_{0})\neq0\)。

对于\(Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}Q(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}=\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}\)，所以\(Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)在\(x = x_{0}\)处连续。

例如，\(f(x)=x + 1\)和\(g(x)=x^{2}+1\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续，因为\(g(x)=x^{2}+1\)恒大于\(0\)，那么\(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x + 1}{x^{2}+1}\)在\((-\infty,+\infty)\)上也连续。

例题1：和差连续性例题

已知函数\(f(x)=3x + 2\)，\(g(x)=2x-1\)，讨论\(h(x)=f(x)+g(x)\)和\(k(x)=f(x)-g(x)\)的连续性。

首先，\(f(x)=3x + 2\)和\(g(x)=2x-1\)都是一次函数，一次函数在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。

对于\(h(x)=f(x)+g(x)=(3x + 2)+(2x-1)=5x+1\)，因为\(f(x)\)和\(g(x)\)在任意点\(x\)处连续，根据和的连续性定理，\(h(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

对于\(k(x)=f(x)-g(x)=(3x + 2)-(2x-1)=x + 3\)，同理，根据差的连续性定理，\(k(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

例题2：积的连续性例题

设\(f(x)=\sqrt{x}\)（\(x\geqslant0\)），\(g(x)=x + 1\)（\(x\in R\)），研究\(p(x)=f(x)g(x)\)的连续性。

\(f(x)=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上连续，\(g(x)=x + 1\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

对于\(p(x)=f(x)g(x)=\sqrt{x}(x + 1)=x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{1}{2}}\)，其定义域为\([0,+\infty)\)。根据积的连续性定理，\(p(x)\)在\([0,+\infty)\)上连续。

例题3：商的连续性例题

已知\(f(x)=x^{2}-1\)，\(g(x)=x - 1\)，讨论\(q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)的连续性。

\(f(x)=x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)\)和\(g(x)=x - 1\)都是多项式函数，多项式函数在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

对于\(q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{2}-1}{x - 1}\)，化简得\(q(x)=x + 1\)（\(x\neq1\)）。

因为\(g(1)=0\)，在\(x = 1\)处不满足商的连续性定理的条件，所以\(q(x)\)在\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)上连续。

例题4：综合例题（包含和差积商）

设\(y = \frac{(x + 2)(x-1)}{x^{2}+1}+3x - 2\)，讨论函数\(y\)的连续性。

令\(f(x)=(x + 2)(x - 1)=x^{2}+x - 2\)，\(g(x)=x^{2}+1\)，\(h(x)=3x-2\)。

\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\)都是多项式函数，在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

对于\(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x + 2)(x - 1)}{x^{2}+1}\)，因为\(g(x)=x^{2}+1\)恒大于\(0\)，所以\(\frac{f(x)}{g(x)}\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

再根据和的连续性，\(y=\frac{(x + 2)(x - 1)}{x^{2}+1}+3x - 2\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。

例题5：复杂函数连续性例题（商的连续性深入）

设\(f(x)=\frac{\sin x}{x}\)（\(x\neq0\)），定义\(f(0)=1\)，讨论函数\(f(x)\)在\(x = 0\)处的连续性。

首先求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\)，根据重要极限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\)。

已知\(f(0)=1\)，因为\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)=f(0)\)，所以函数\(f(x)\)在\(x = 0\)处连续。在\(x\neq0\)时，\(\sin x\)和\(x\)都是连续函数，根据商的连续性，\(f(x)=\frac{\sin x}{x}\)在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上连续，综上\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续。