极限 15 函数极限的定义、性质、极限运算法则

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一、函数极限的定义（当\(x\to x_0\)时）

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，不等式\(|f(x)-A| < \varepsilon\)都成立，那么就称常数\(A\)是函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时的极限，记作\(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\)。

例1：证明\(\lim_{x\to2}(3x - 1)=5\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(|(3x - 1)-5| = |3x - 6| = 3|x - 2| < \varepsilon\)，只要\(|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}\)。取\(\delta=\frac{\varepsilon}{3}\)，当\(0 < |x - 2| < \delta\)时，\(|(3x - 1)-5| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to2}(3x - 1)=5\)。

例2：证明\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=2\)。

函数\(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=x + 1\)（\(x\neq1\)），对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(|(x + 1)-2| = |x - 1| < \varepsilon\)，取\(\delta=\varepsilon\)，当\(0 < |x - 1| < \delta\)时，\(\left|\frac{x^{2}-1}{x - 1}-2\right| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=2\)。

例3：证明\(\lim_{x\to3}\sqrt{x + 1}=2\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(|\sqrt{x + 1}-2|=\left|\frac{(\sqrt{x + 1}-2)(\sqrt{x + 1}+2)}{\sqrt{x + 1}+2}\right|=\left|\frac{x - 3}{\sqrt{x + 1}+2}\right|\)。因为\(x\to3\)，不妨设\(|x - 3| < 1\)，即\(2 < x < 4\)，此时\(\sqrt{x + 1}+2>3\)，所以\(\left|\frac{x - 3}{\sqrt{x + 1}+2}\right|<\frac{|x - 3|}{3}\)。要使\(|\sqrt{x + 1}-2| < \varepsilon\)，只要\(\frac{|x - 3|}{3}<\varepsilon\)，即\(|x - 3| < 3\varepsilon\)。取\(\delta=\min\{1,3\varepsilon\}\)，当\(0 < |x - 3| < \delta\)时，\(|\sqrt{x + 1}-2| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to3}\sqrt{x + 1}=2\)。

二、函数极限的定义（当\(x\to\infty\)时）

设函数\(f(x)\)当\(|x|\)大于某一正数时有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(X\)，使得当\(|x|>X\)时，不等式\(|f(x)-A| < \varepsilon\)都成立，那么就称常数\(A\)是函数\(f(x)\)当\(x\to\infty\)时的极限，记作\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)。

例4：证明\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\varepsilon\)，只要\(x>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(X = \frac{1}{\varepsilon}\)，当\(|x|>X\)时，\(\left|\frac{1}{x}-0\right| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。

例5：证明\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x}=2\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，\(\left|\frac{2x + 1}{x}-2\right|=\left|\frac{1}{x}\right|\)，要使\(\left|\frac{1}{x}\right| < \varepsilon\)，只要\(x>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(X=\frac{1}{\varepsilon}\)，当\(x>X\)时，\(\left|\frac{2x + 1}{x}-2\right| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x}=2\)。

例6：证明\(\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^{2}+1}{x^{2}} = 3\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，\(\left|\frac{3x^{2}+1}{x^{2}}-3\right|=\left|\frac{1}{x^{2}}\right|\)，要使\(\left|\frac{1}{x^{2}}\right| < \varepsilon\)，只要\(|x|>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\)。取\(X=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\)，当\(x < -X\)时，\(\left|\frac{3x^{2}+1}{x^{2}}-3\right| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^{2}+1}{x^{2}} = 3\)。

三、函数极限的定义（当\(x\to x_0^{+}\)时，右极限）

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的右邻域\((x_0,x_0 + \delta)\)内有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x_0 < x < x_0+\delta\)时，不等式\(|f(x)-A| < \varepsilon\)都成立，那么就称常数\(A\)是函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的右极限，记作\(\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=A\)或\(f(x_0^{+}) = A\)。

例7：（右极限）设\(f(x)=\begin{cases}x + 1, &x\geq1\\2x, &x < 1\end{cases}\)，证明\(\lim_{x\to1^{+}}f(x)=2\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，当\(x > 1\)时，\(f(x)=x + 1\)，要使\(|(x + 1)-2| = |x - 1| < \varepsilon\)，取\(\delta=\varepsilon\)，当\(1 < x < 1+\delta\)时，\(|f(x)-2| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to1^{+}}f(x)=2\)。

四、函数极限的定义（当\(x\to x_0^{-}\)时，左极限）

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的左邻域\((x_0-\delta,x_0)\)内有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x_0-\delta < x < x_0\)时，不等式\(|f(x)-A| < \varepsilon\)都成立，那么就称常数\(A\)是函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的左极限，记作\(\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=A\)或\(f(x_0^{-}) = A\)。

例8：（左极限）对于上述函数\(f(x)=\begin{cases}x + 1, &x\geq1\\2x, &x < 1\end{cases}\)，证明\(\lim_{x\to1^{-}}f(x)=2\)。

当\(x < 1\)时，\(f(x)=2x\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(|2x - 2| = 2|x - 1| < \varepsilon\)，只要\(|x - 1| < \frac{\varepsilon}{2}\)。取\(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\)，当\(1-\delta < x < 1\)时，\(|f(x)-2| < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to1^{-}}f(x)=2\)。

五、函数极限的定义（单侧极限与双侧极限的关系）

函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时极限存在的充分必要条件是它在点\(x_0\)处的左极限和右极限都存在且相等，即\(\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)\)。

例9：设\(f(x)=\begin{cases}3x - 1, &x\geq2\\x + 1, &x < 2\end{cases}\)，求\(\lim_{x\to2}f(x)\)。

先求左极限\(\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{-}}(x + 1)=3\)，右极限\(\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}(3x - 1)=5\)，因为左极限和右极限不相等，所以\(\lim_{x\to2}f(x)\)不存在。

例10：设\(f(x)=\begin{cases}x^{2}, &x\geq0\\x, &x < 0\end{cases}\)，求\(\lim_{x\to0}f(x)\)。

左极限\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}x = 0\)，右极限\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x^{2}=0\)，因为左极限等于右极限，所以\(\lim_{x\to0}f(x)=0\)。

函数极限的性质1. 唯一性

性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)\)存在，那么这个极限是唯一的。

证明思路（反证法）：假设\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)且\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=B\)（\(A\neq B\)），不妨设\(\varepsilon=\frac{\vert A - B\vert}{2}\)。因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，所以存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon\)；又因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=B\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-B\vert < \varepsilon\)。

举例说明：取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert A - B\vert=\vert A - f(x)+f(x)-B\vert\leqslant\vert A - f(x)\vert+\vert f(x)-B\vert < 2\varepsilon=\vert A - B\vert\)，产生矛盾，所以极限唯一。例如函数\(y = x + 1\)，当\(x\to2\)时，极限是唯一的为\(3\)。

函数极限的性质2. 局部有界性

性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，那么存在常数\(M>0\)和\(\delta>0\)，使得当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)\vert\leqslant M\)。

证明思路：因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于\(\varepsilon = 1\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < 1\)，即\(\vert f(x)\vert=\vert f(x)-A + A\vert\leqslant\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert < 1+\vert A\vert\)，取\(M = 1+\vert A\vert\)即可。

举例说明：例如\(f(x)=2x - 1\)，当\(x\to1\)时，极限为\(1\)。对于\(\varepsilon = 1\)，存在\(\delta\)（这里\(\delta = 1\)就行），当\(0 < \vert x - 1\vert < 1\)时，\(1 - 1 < 2x - 1 < 3\)，即\(\vert f(x)\vert < 3\)，满足局部有界性。

函数极限的性质3. 局部保号性

性质描述：如果\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，且\(A>0\)（或\(A < 0\)），那么存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。

证明思路（以\(A>0\)为例）：因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，取\(\varepsilon=\frac{A}{2}\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon=\frac{A}{2}\)，所以\(f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0\)。

举例说明：对于函数\(f(x)=3x - 1\)，当\(x\to1\)时，\(\lim_{x \to 1}f(x)=2>0\)。取\(\delta=\frac{1}{3}\)，当\(0 < \vert x - 1\vert < \delta\)时，\(f(x)=3x - 1>0\)。

4. 函数极限与数列极限的关系（海涅定理）

性质描述：\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)的充分必要条件是：对于任意以\(x_{0}\)为极限的数列\(\{x_{n}\}\)（\(x_{n}\neq x_{0}\)），都有\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A\)。

证明思路（必要性）：若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \varepsilon\)。因为\(\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}\)且\(x_{n}\neq x_{0}\)，所以对于这个\(\delta\)，存在\(N\)，当\(n > N\)时，\(0 < \vert x_{n}-x_{0}\vert < \delta\)，从而\(\vert f(x_{n})-A\vert < \varepsilon\)，即\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A\)。

举例说明：设\(f(x)=x^{2}\)，\(x_{0}=2\)，对于数列\(x_{n}=2+\frac{1}{n}\)（\(n = 1,2,\cdots\)），\(\lim_{n \to \infty}x_{n}=2\)，且\(x_{n}\neq2\)。\(\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=\lim_{n \to \infty}(2 + \frac{1}{n})^{2}=4\)，这与\(\lim_{x \to 2}x^{2}=4\)是相符的，体现了函数极限和数列极限的这种关系。

1. 极限的四则运算法则

加法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)+g(x)] = A + B\)。

证明：对于任意\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

同理，因\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，

\(\vert[f(x)+g(x)]-(A + B)\vert=\vert[f(x)-A]+[g(x)-B]\vert\leqslant\vert f(x)-A\vert+\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}(3x + \frac{1}{x})=\lim_{x \to 2}3x+\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=6+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}\)。

减法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)-g(x)] = A - B\)。

证明类似加法法则。

例如，\(\lim_{x \to 1}(2x - x^{2})=\lim_{x \to 1}2x-\lim_{x \to 1}x^{2}=2 - 1 = 1\)。

乘法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}[f(x)\cdot g(x)] = A\cdot B\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\)，存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)\vert\leqslant M\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert f(x)g(x)-AB\vert\)

\(=\vert f(x)g(x)-Ag(x)+Ag(x)-AB\vert\)

\(=\vert g(x)[f(x)-A]+A[g(x)-B]\vert\leqslant\vert g(x)\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert < \varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 3}(x^{2}\cdot\sin x)=\lim_{x \to 3}x^{2}\cdot\lim_{x \to 3}\sin x = 9\cdot\sin 3\)。这里\(\sin x\)是有界函数，\(\lim_{x \to 3}x^{2}=9\)，利用乘法法则计算。

除法法则

若\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)。

证明：因为\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B\neq0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert g(x)-B\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\)，此时\(\vert g(x)\vert>\frac{\vert B\vert}{2}\)。

又\(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert f(x)-A\vert < \frac{\vert B\vert}{2}\cdot\varepsilon\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|=\left|\frac{Bf(x)-Ag(x)}{Bg(x)}\right|=\left|\frac{B[f(x)-A]-A[g(x)-B]}{Bg(x)}\right|\leqslant\frac{\vert B\vert\vert f(x)-A\vert+\vert A\vert\vert g(x)-B\vert}{\vert B\vert\vert g(x)\vert}<\varepsilon\)。

例如，\(\lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2}+2x + 4)}{x - 2}=\lim_{x \to 2}(x^{2}+2x + 4)=12\)。

2. 复合函数的极限运算法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，若\(\lim_{x \to x_{0}}g(x)=u_{0}\)，\(\lim_{u \to u_{0}}f(u)=A\)，且在\(x_{0}\)的某去心邻域内\(g(x)\neq u_{0}\)，则\(\lim_{x \to x_{0}}f[g(x)] = A\)。

例如，设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(g(x)=x^{2}+1\)，求\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]\)。

首先\(\lim_{x \to 1}g(x)=\lim_{x \to 1}(x^{2}+1)=2\)，然后\(\lim_{u \to 2}f(u)=\lim_{u \to 2}\sqrt{u}=\sqrt{2}\)，所以\(\lim_{x \to 1}f[g(x)]=\sqrt{2}\)。

3. 无穷小的运算法则与极限计算结合

有限个无穷小的和是无穷小：

设\(\alpha(x)\)，\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x \to x_{0}}\beta(x)=0\)。

令\(\gamma(x)=\alpha(x)+\beta(x)\)，对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)+\beta(x)\vert\leqslant\vert\alpha(x)\vert+\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小：

设函数\(u(x)\)在\(x \to x_{0}\)的某邻域内有界，即存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert u(x)\vert\leqslant M\)。

设\(\alpha(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0\)。对于任意\(\varepsilon>0\)，

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert u(x)\alpha(x)\vert=\vert u(x)\vert\vert\alpha(x)\vert\leqslant M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}u(x)\alpha(x)=0\)。

例如，\(\lim_{x \to 0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，因为\(\sin\frac{1}{x}\)是有界函数，\(x\)是当\(x \to 0\)时的无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小：

设\(\alpha(x)\)、\(\beta(x)\)是当\(x \to x_{0}\)时的无穷小，令\(\gamma(x)=\alpha(x)\beta(x)\)。

对于任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)；

存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)\beta(x)\vert=\vert\alpha(x)\vert\vert\beta(x)\vert < \varepsilon\)，所以\(\lim_{x \to x_{0}}\gamma(x)=0\)。