解析几何 12 点、线、圆与圆的位置关系

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一、点与圆的位置关系

设圆的标准方程为\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)，点\(M(x_0,y_0)\)，则点\(M\)与圆的位置关系有以下三种：

点在圆内：\((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2\lt r^2\)。

点在圆上：\((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2 = r^2\)。

点在圆外：\((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2\gt r^2\)。

二、直线与圆的位置关系

设圆的方程为\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)，直线方程为\(Ax + By + C = 0\)，圆心\((a,b)\)到直线的距离为\(d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，则直线与圆的位置关系有以下三种：

相离：\(d\gt r\)，直线与圆没有公共点。

相切：\(d = r\)，直线与圆有且只有一个公共点，此时直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。

相交：\(d\lt r\)，直线与圆有两个公共点。

三、圆与圆的位置关系

1、两圆外离

数量关系：圆心距\(d\gt r_1 + r_2\)。

图形特征：两圆没有公共点，并且一个圆在另一个圆的外部。

公切线情况：有\(4\)条公切线，两条外公切线和两条内公切线。

2、两圆外切

数量关系：圆心距\(d = r_1 + r_2\)。

图形特征：两圆有且只有一个公共点，并且除这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部，这个公共点叫做切点。

公切线情况：有\(3\)条公切线，两条外公切线和一条内公切线。

3、两圆相交

数量关系：\(\vert r_1 - r_2\vert\lt d\lt r_1 + r_2\)。

图形特征：两圆有两个公共点。

公切线情况：有\(2\)条公切线，都是外公切线。

4、两圆内切

数量关系：\(d=\vert r_1 - r_2\vert\)（\(r_1\neq r_2\)）。

图形特征：两圆有且只有一个公共点，并且除这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，这个公共点为切点。

公切线情况：有\(1\)条公切线。

5、两圆内含

数量关系：\(d\lt\vert r_1 - r_2\vert\)。

图形特征：两圆没有公共点，并且一个圆在另一个圆的内部。当\(d = 0\)时，两圆为同心圆。

公切线情况：没有公切线。

判断圆与圆的位置关系时，通常先计算两圆的圆心距\(d\)，再将\(d\)与两圆半径\(r_1\)、\(r_2\)进行比较，从而确定两圆的位置关系。

四、当圆与圆的位置关系不确定时，该如何进行讨论？

当圆与圆的位置关系不确定时，通常根据圆心距与两圆半径的关系来进行分类讨论：

1、明确已知条件

确定两圆的方程，从而得到两圆的圆心坐标和半径。设两圆的圆心分别为\(O_1(x_1,y_1)\)，\(O_2(x_2,y_2)\)，半径分别为\(r_1\)，\(r_2\)。

2、计算圆心距

根据两点间距离公式\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)，求出两圆的圆心距\(d\)。

3、分类讨论位置关系

外离情况：若\(d>r_1 + r_2\)，则两圆外离，此时两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆的外部。

外切情况：当\(d = r_1 + r_2\)时，两圆外切，两圆有且只有一个公共点，除这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部。

相交情况：若\(|r_1 - r_2|<d<r_1 + r_2\)，两圆相交，两圆有两个公共点。

内切情况：当\(d = |r_1 - r_2|\)（\(r_1\neq r_2\)）时，两圆内切，两圆有且只有一个公共点，除这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。

内含情况：若\(d<|r_1 - r_2|\)，两圆内含，两圆没有公共点，并且一个圆在另一个圆的内部。当\(d = 0\)时，两圆为同心圆。

在具体问题中，可能还需要结合其他条件进行进一步的分析和判断，比如两圆的公切线情况、两圆方程相减得到的直线与两圆的关系等，以更全面地确定圆与圆的位置关系以及相关性质。

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