平面向量 06 共线向量基本定理：\(\overrightarrow{n}=\lambda\overrightarrow{a}\)

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1. 共线向量基本定理的内容

共线向量基本定理是指如果\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)，那么向量\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线的充要条件是存在唯一实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)。

2. 共线向量基本定理的理解

充分性：

若存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)（\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)），那么\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线。这是因为当\(\lambda>0\)时，\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)，而零向量与任何向量共线。

例如，若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\lambda = 3\)，则\(\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{a}=(3\times1,3\times2)=(3,6)\)，\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线，且方向相同。

必要性：

若\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)（\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)）共线，则一定存在唯一的实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)。这意味着对于给定的两个共线向量，这个实数\(\lambda\)是唯一确定的。

例如，若\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)共线，\(\overrightarrow{a}=(2,4)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,8)\)，可以发现\(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\)，这个\(\lambda = 2\)是唯一能使\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)成立的实数。

3. 共线向量基本定理的证明

充分性证明：

已知\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)（\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)），设\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，则\((x_{2},y_{2})=\lambda(x_{1},y_{1})=(\lambda x_{1},\lambda y_{1})\)。

若\(\lambda = 0\)，则\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)，零向量与任何向量共线。

若\(\lambda>0\)，则\(\frac{x_{2}}{x_{1}}=\lambda\)，\(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\lambda\)，两向量的对应坐标成比例，所以\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同，即共线。

若\(\lambda<0\)，同理可得\(\frac{x_{2}}{x_{1}}=\lambda\)，\(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\lambda\)，两向量的对应坐标成比例，只是方向相反，也共线。

必要性证明：

若\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)（\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)）共线，设\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)。

当\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)时，取\(\lambda = 0\)，则\(\overrightarrow{b}=0\overrightarrow{a}\)。

当\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)时，因为\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线，所以\(\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}=\lambda\)（两向量对应坐标成比例），即\((x_{2},y_{2})=\lambda(x_{1},y_{1})\)，所以\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)。

下面证明\(\lambda\)的唯一性：假设存在两个实数\(\lambda_{1}\)和\(\lambda_{2}\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda_{1}\overrightarrow{a}\)且\(\overrightarrow{b}=\lambda_{2}\overrightarrow{a}\)，则\(\lambda_{1}\overrightarrow{a}=\lambda_{2}\overrightarrow{a}\)，即\((\lambda_{1}-\lambda_{2})\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)，因为\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)，所以\(\lambda_{1}-\lambda_{2}=0\)，即\(\lambda_{1}=\lambda_{2}\)。

4. 共线向量基本定理的应用场景

判断向量共线：

在平面向量中，给定两个向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，可以通过判断是否存在实数\(\lambda\)使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)来确定它们是否共线。

例如，判断向量\(\overrightarrow{a}=(3,6)\)和\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)是否共线，可发现\(\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}\)，所以它们共线。

几何问题求解：

在几何图形中，如三角形和平行四边形，利用共线向量基本定理可以证明一些边的平行关系。

例如，在\(\triangle ABC\)中，若\(\overrightarrow{DE}\)是\(\overrightarrow{BC}\)的一部分，且\(\overrightarrow{DE}\)与\(\overrightarrow{BC}\)共线，就可以通过设\(\overrightarrow{DE}=\lambda\overrightarrow{BC}\)来求解一些线段的长度比例关系等问题。

向量的分解与表示：

当已知一组共线向量时，可以将其他与之共线的向量用这组向量表示。

例如，已知向量\(\overrightarrow{a}\)，且向量\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线，就可以找到\(\lambda\)使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)，这在向量的线性组合和基底表示等问题中有重要应用。

举例说明共线向量基本定理的应用

1. 判断向量是否共线

例1：已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，判断\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)是否共线。

根据共线向量基本定理，设\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)，则\((2,4)=\lambda(1,2)\)。

可得方程组\(\begin{cases}2 = \lambda\times1\\4=\lambda\times2\end{cases}\)，解得\(\lambda = 2\)。

因为存在实数\(\lambda = 2\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)成立，所以\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。

2. 求解向量中的参数

例2：已知向量\(\overrightarrow{a}=(3, - 1)\)，\(\overrightarrow{b}=(k, - \frac{1}{3})\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，求\(k\)的值。

因为\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，所以存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)。

即\((k,-\frac{1}{3})=\lambda(3,-1)\)，可得方程组\(\begin{cases}k = 3\lambda\\-\frac{1}{3}=-\lambda\end{cases}\)。

由第二个方程解得\(\lambda=\frac{1}{3}\)，将\(\lambda=\frac{1}{3}\)代入第一个方程，可得\(k = 3\times\frac{1}{3}=1\)。

3. 在几何图形中的应用（证明平行关系）

例3：在\(\triangle ABC\)中，\(D\)是\(AB\)边的中点，\(E\)是\(AC\)边的中点。证明\(DE\parallel BC\)且\(DE=\frac{1}{2}BC\)。

设\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\)。

因为\(D\)是\(AB\)中点，所以\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\)。

同理，\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)。

那么\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)。

又\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)。

设\(\overrightarrow{DE}=\lambda\overrightarrow{BC}\)，则\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\lambda(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)，可得\(\lambda=\frac{1}{2}\)。

因为存在实数\(\lambda=\frac{1}{2}\)，使得\(\overrightarrow{DE}=\lambda\overrightarrow{BC}\)，所以\(DE\parallel BC\)且\(DE=\frac{1}{2}BC\)。

4. 在向量分解中的应用

例4：已知向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，\(\overrightarrow{c}\)是与\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)不共线的向量，且\(\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{e}=k\overrightarrow{a}+(k - 1)\overrightarrow{b}\)，若\(\overrightarrow{d}\)与\(\overrightarrow{e}\)共线，求\(k\)的值。

因为\(\overrightarrow{d}\)与\(\overrightarrow{e}\)共线，所以存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{e}=\lambda\overrightarrow{d}\)。

即\(k\overrightarrow{a}+(k - 1)\overrightarrow{b}=\lambda(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})\)。

可得方程组\(\begin{cases}k = 3\lambda\\k - 1 = 4\lambda\end{cases}\)。

将第一个方程\(k = 3\lambda\)代入第二个方程得\(3\lambda - 1 = 4\lambda\)，解得\(\lambda=-1\)。

把\(\lambda=-1\)代入\(k = 3\lambda\)，可得\(k = - 3\)。