平面向量 06 向量数量积（内积）

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1. 向量数量积的定义

已知两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{n}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），则

向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{n}\)的数量积（也称为内积）定义为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)。

例如，若\(\overrightarrow{a}\)是一个模长为\(3\)，\(\overrightarrow{n}\)是一个模长为\(4\)，且两向量夹角为\(\frac{\pi}{3}\)的向量，那么

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta = 3\times4\times\cos\frac{\pi}{3}=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)。

2. 向量数量积的几何意义

投影的概念：

\(\overrightarrow{n}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影是\(\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)。

这个投影可以是正数、负数或零，取决于夹角\(\theta\)的大小。

当\(\theta\)是锐角时，投影为正数；当\(\theta\)是钝角时，投影为负数；

当\(\theta=\frac{\pi}{2}\)时，投影为零。

例如，若\(\overrightarrow{a}\)水平向右，\(\overrightarrow{n}\)与\(\overrightarrow{a}\)夹角为\(30^{\circ}\)且斜向上，\(\vert\overrightarrow{n}\vert = 5\)，那么\(\overrightarrow{n}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影为

\(\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta = 5\times\cos30^{\circ}=5\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

从几何意义上讲，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}\)等于\(\overrightarrow{a}\)的长度与\(\overrightarrow{n}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上投影的乘积。

3. 向量数量积的运算律

交换律：

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}\)。这是因为

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)

\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=\vert\overrightarrow{n}\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\cos\theta\)，而

\(\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta=\vert\overrightarrow{n}\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\cos\theta\)，所以交换律成立。

例如，若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{n}=(3,4)\)，

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=1\times3 + 2\times4 = 3 + 8 = 11\)，

\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=3\times1 + 4\times2 = 3 + 8 = 11\)。

分配律：

\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)。

证明如下：设\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{n}\)的夹角为\(\theta_{1}\)，\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{c}\)的夹角为\(\theta_{2}\)，\((\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c})\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影为\(\vert\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c}\vert\cos\theta\)，

根据向量加法的三角形法则，\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c})=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c}\vert\cos\theta\)。又因为

\(\vert\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c}\vert\cos\theta=\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta_{1}+\vert\overrightarrow{c}\vert\cos\theta_{2}\)，所以

\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{n}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)。

数乘结合律：

\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{n}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{n})\)（\(\lambda\)为实数）。

例如，设\(\lambda = 2\)，\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{n}=(3,4)\)，

\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{n}=(2(1,2))\cdot(3,4)=(2,4)\cdot(3,4)=2\times3 + 4\times4 = 6 + 16 = 22\)，

\(\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n})=2((1,2)\cdot(3,4))=2(1\times3 + 2\times4)=2\times11 = 22\)，

\(\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{n})=(1,2)\cdot(2(3,4))=(1,2)\cdot(6,8)=1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = 22\)。

4. 向量数量积的坐标表示

若\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{n}=(x_{2},y_{2})\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)。

这是由向量数量积的定义推导而来的。因为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)，而

\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)，\(\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\)，\(\cos\theta=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\)，所以

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)。

例如，若\(\overrightarrow{a}=(3, - 1)\)，\(\overrightarrow{n}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=3\times2+(-1)\times3 = 6 - 3 = 3\)。

5. 向量数量积的应用

求向量的夹角：

根据\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)，可得\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert}\)。

例如，已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{n}=(3, - 1)\)

\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)

\(\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}\)

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=1\times3+2\times(-1)=3 - 2 = 1\)，则

\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，所以\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}\)。

判断向量的垂直关系：

若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{n}\)。

因为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta = 0\)，

而\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)和\(\vert\overrightarrow{n}\vert\)不为零（因为是在非零向量的定义下讨论数量积），

所以\(\cos\theta = 0\)，即\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，两向量垂直。

例如，\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{n}=(0,1)\)，

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}=1\times0 + 0\times1 = 0\)，所以\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{n}\)垂直。

计算向量的模长平方：

因为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\cos0=\vert\overrightarrow{a}\vert^{2}\)，所以可以通过数量积来计算向量模长的平方。

例如，若\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=2\times2 + 3\times3 = 4 + 9 = 13\)，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{13}\)。