三角函数 05 三角函数恒等变换

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1. 两角和与差的三角函数公式

两角和的正弦公式：\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)。

例如，已知\(A = 30^{\circ}\)，\(B = 60^{\circ}\)，

\(\sin(30^{\circ}+ 60^{\circ})=\sin30^{\circ}\cos60^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin60^{\circ}\)，因为

\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以

\(\sin(30^{\circ}+ 60^{\circ})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=1\)。

两角差的正弦公式：\(\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)。

两角和的余弦公式：\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)。

两角差的余弦公式：\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)。

两角和的正切公式：\(\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}\)，其推导过程是由

\(\tan(A + B)=\frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)}=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}\)，分子分母同时除以\(\cos A\cos B\)（\(A,B\)使\(\cos A\cos B\neq0\)）得到。

两角差的正切公式：\(\tan(A - B)=\frac{\tan A-\tan B}{1 + \tan A\tan B}\)。

2. 二倍角公式

正弦的二倍角公式：\(\sin2A = 2\sin A\cos A\)。

例如，若\(A = 30^{\circ}\)，则\(\sin60^{\circ}=2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

余弦的二倍角公式：\(\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A = 2\cos^{2}A - 1=1 - 2\sin^{2}A\)。

比如，已知\(A = 45^{\circ}\)，\(\cos90^{\circ}=\cos^{2}45^{\circ}-\sin^{2}45^{\circ}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=0\)。

正切的二倍角公式：\(\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}\)。

3. 半角公式

正弦的半角公式：\(\sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}\)，正负号根据\(\frac{A}{2}\)所在象限确定。

余弦的半角公式：\(\cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}\)。

正切的半角公式：\(\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin A}{1 + \cos A}=\frac{1 - \cos A}{\sin A}\)。

4. 辅助角公式

对于\(a\sin x + b\cos x\)，可以将其化为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x +\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)。

例如，\(\sin x+\sqrt{3}\cos x = 2\sin(x +\frac{\pi}{3})\)，这里\(a = 1\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1 + 3}=2\)，\(\tan\varphi=\sqrt{3}\)，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)。

5. 积化和差公式

\(\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A + B)+\sin(A - B)]\)。

\(\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin(A + B)-\sin(A - B)]\)。

\(\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A + B)+\cos(A - B)]\)。

\(\sin A\sin B=-\frac{1}{2}[\cos(A + B)-\cos(A - B)]\)。