平面向量 06 向量的数乘 $\lambda\overrightarrow{a}$

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1. 向量数乘的定义

实数$\lambda$与向量$\overrightarrow{a}$的乘积是一个向量，记作$\lambda\overrightarrow{a}$。

2. 向量数乘的性质

大小（模）方面

向量$\lambda\overrightarrow{a}$的模$\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert$。

例如，若$\overrightarrow{a}$是一个模为$2$的向量，当$\lambda = 3$时，$\lambda\overrightarrow{a}$的模$\vert3\overrightarrow{a}\vert = 3\times\vert\overrightarrow{a}\vert=3\times2 = 6$。

方向方面

当$\lambda>0$时，$\lambda\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$方向相同；当$\lambda<0$时，$\lambda\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$方向相反；当$\lambda = 0$时，$\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。

例如，设$\overrightarrow{a}$是一个方向向右的向量，当$\lambda = 2$时，$\lambda\overrightarrow{a}$的方向依然向右；当$\lambda=-1$时，$\lambda\overrightarrow{a}$的方向向左。

3. 向量数乘的几何意义

向量的伸缩与反向

当$\vert\lambda\vert>1$时，$\lambda\overrightarrow{a}$是$\overrightarrow{a}$的伸长；当$\vert\lambda\vert<1$时，$\lambda\overrightarrow{a}$是$\overrightarrow{a}$的缩短。

例如，对于向量$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$2\overrightarrow{a}=(2,0)$，是$\overrightarrow{a}$在$x$轴正方向上的伸长；$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=(\frac{1}{2},0)$，是$\overrightarrow{a}$在$x$轴正方向上的缩短。当$\lambda$为负数时，除了长度伸缩外，还会改变向量的方向。比如$-\overrightarrow{a}$是$\overrightarrow{a}$的反向向量。

向量共线的判定依据

若存在实数$\lambda$，使得向量$\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$），那么$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线。

例如，已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,4)$，可以发现$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线。

4. 向量数乘的运算律

结合律

对于任意实数$\lambda$、$\mu$和向量$\overrightarrow{a}$，有$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$。

例如，设$\lambda = 2$，$\mu = 3$，$\overrightarrow{a}=(1,1)$，$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=2(3(1,1))=2(3,3)=(6,6)$，$(\lambda\mu)\overrightarrow{a}=(2\times3)(1,1)=(6,6)$，两者结果相同。

分配律

对于任意实数$\lambda$、$\mu$和向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，有$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$和$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$。

例如，设$\lambda = 1$，$\mu = 2$，$\overrightarrow{a}=(3,4)$，

$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=(1 + 2)(3,4)=3(3,4)=(9,12)$，

$\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}=1(3,4)+2(3,4)=(3,4)+(6,8)=(3 + 6,4 + 8)=(9,12)$；

再设$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，$\lambda = 2$，

$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=2((1,2)+(3,4))=2(4,6)=(8,12)$

$\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}=2(1,2)+2(3,4)=(2,4)+(6,8)=(2 + 6,4 + 8)=(8,12)$，结果都一致。