平面向量 06 向量的数乘 $\lambda\overrightarrow{a}$

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1. 向量数乘的定义

实数 $\lambda$ 与向量 $\overrightarrow{a}$ 的乘积是一个向量，记作 $\lambda\overrightarrow{a}$ 。

2. 向量数乘的性质

大小（模）方面

向量 $\lambda\overrightarrow{a}$ 的模 $\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert$ 。

例如，若 $\overrightarrow{a}$ 是一个模为 $2$ 的向量，当 $\lambda = 3$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 的模 $\vert3\overrightarrow{a}\vert = 3\times\vert\overrightarrow{a}\vert=3\times2 = 6$ 。

方向方面

当 $\lambda>0$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 方向相同；当 $\lambda<0$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 方向相反；当 $\lambda = 0$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ 。

例如，设 $\overrightarrow{a}$ 是一个方向向右的向量，当 $\lambda = 2$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向依然向右；当 $\lambda=-1$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向向左。

3. 向量数乘的几何意义

向量的伸缩与反向

当 $\vert\lambda\vert>1$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 的伸长；当 $\vert\lambda\vert<1$ 时， $\lambda\overrightarrow{a}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 的缩短。

例如，对于向量 $\overrightarrow{a}=(1,0)$ ， $2\overrightarrow{a}=(2,0)$ ，是 $\overrightarrow{a}$ 在 $x$ 轴正方向上的伸长； $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=(\frac{1}{2},0)$ ，是 $\overrightarrow{a}$ 在 $x$ 轴正方向上的缩短。当 $\lambda$ 为负数时，除了长度伸缩外，还会改变向量的方向。比如 $-\overrightarrow{a}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 的反向向量。

向量共线的判定依据

若存在实数 $\lambda$ ，使得向量 $\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}$ （ $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ ），那么 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线。

例如，已知 $\overrightarrow{a}=(1,2)$ ， $\overrightarrow{b}=(2,4)$ ，可以发现 $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$ ，所以 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线。

4. 向量数乘的运算律

结合律

对于任意实数 $\lambda$ 、 $\mu$ 和向量 $\overrightarrow{a}$ ，有 $\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$ 。

例如，设 $\lambda = 2$ ， $\mu = 3$ ， $\overrightarrow{a}=(1,1)$ ， $\lambda(\mu\overrightarrow{a})=2(3(1,1))=2(3,3)=(6,6)$ ， $(\lambda\mu)\overrightarrow{a}=(2\times3)(1,1)=(6,6)$ ，两者结果相同。

分配律

对于任意实数 $\lambda$ 、 $\mu$ 和向量 $\overrightarrow{a}$ 、 $\overrightarrow{b}$ ，有 $(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$ 和 $\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$ 。