函数同构

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函数同构是指通过变量替换、表达式变形等方式，将不同函数转化为同一结构形式的思想，核心是找到“结构共性”，从而利用该结构对应的函数性质（单调性、最值等）解决问题。

一、基础概念：同构的核心

函数同构的本质是“换元统一结构”。若两个函数\( f(x) \)和\( g(x) \)可通过换元\( t = h(x) \)转化为同一函数\( F(t) \)，即\( f(x) = F(h_1(x)) \)且\( g(x) = F(h_2(x)) \)，则称\( f(x) \)与\( g(x) \)同构，\( F(t) \)为“母函数”。

二、常见同构结构及案例

1. 指数型：\( F(t) = e^t + kt \)（或\( e^t - kt \)）

特征：含指数函数\( e^x \)与一次函数的组合，通过换元将不同表达式转化为\( e^t + kt \)形式。

案例：

不等式\( x e^x + 2x \geq e^x + 1 \)可变形为：

左边：\( x e^x - e^x + 2x = e^x(x - 1) + 2x \)

右边：1

进一步观察发现，若令\( t = x - 1 \)，则\( x = t + 1 \)，代入左边：

\( e^{t + 1} \cdot t + 2(t + 1) = t e^{t + 1} + 2t + 2 \)

但更简单的方式是构造母函数\( F(t) = e^t(t - 1) + 2t \)，原不等式即\( F(x) \geq 1 \)，通过分析\( F(t) \)的单调性求解。

2. 对数型：\( F(t) = \ln t + kt \)（或\( \ln t - kt \)）

特征：含对数函数\( \ln x \)与一次函数的组合，换元后转化为\( \ln t + kt \)形式。

案例：

方程\( x \ln x - ax + a = 0 \)（\( x > 1 \)）可变形为：

\( \ln x - a + \frac{a}{x} = 0 \)，即\( \ln x + a\left( \frac{1}{x} - 1 \right) = 0 \)

令\( t = \frac{1}{x} \)（\( 0 < t < 1 \)），则\( \ln \frac{1}{t} + a(t - 1) = 0 \)，即\( -\ln t + a(t - 1) = 0 \)，进一步得\( \ln t = a(t - 1) \)，此时母函数为\( F(t) = \ln t - a(t - 1) \)，转化为研究\( F(t) \)的零点问题。

3. 指数-对数交叉型：\( F(t) = t e^t \)（或\( t \ln t \)）

特征：指数与对数通过“\( x \leftrightarrow \ln x \)”替换关联，核心母函数为\( F(t) = t e^t \)（因其与\( t \ln t \)可互化）。

转化关系：

\( x e^x = e^x \cdot e^{\ln x} = e^{x + \ln x} \)（指数化变形）

\( x \ln x = e^{\ln x} \cdot \ln x \)（令\( t = \ln x \)，则\( x \ln x = t e^t \)）

案例：

方程\( x e^x = \ln x \)（\( x > 0 \)）可变形为：

左边：\( x e^x = e^{x + \ln x} \)

右边：\( \ln x = - \ln \frac{1}{x} \)，进一步改写为\( x e^x = - \frac{\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x} \)（较复杂）

更简单的方式：令\( t = x e^x \)，则右边\( \ln x = \ln \left( \frac{t}{e^x} \right) = \ln t - x \)，方程变为\( t = \ln t - x \)，但更直接的是利用\( F(t) = t e^t \)的单调性（\( F(t) \)在\( (-1, +\infty) \)递增），结合\( x e^x \)与\( \ln x \)的符号（\( x > 1 \)时\( x e^x > 0 \)，\( \ln x > 0 \)；\( 0 < x < 1 \)时\( x e^x > 0 \)，\( \ln x < 0 \)），可知方程无实根。

4. 分式型：\( F(t) = \frac{t + 1}{e^t} \)（或\( \frac{\ln t + 1}{t} \)）

特征：分子为一次函数，分母为指数或幂函数，通过“\( x \leftrightarrow e^x \)”替换实现同构。

案例：

不等式\( \frac{\ln x + 1}{x} \leq a \)与\( \frac{x + 1}{e^x} \leq a \)同构。

理由：令\( x = e^t \)，则左边\( \frac{\ln e^t + 1}{e^t} = \frac{t + 1}{e^t} \)，与右边结构一致，母函数为\( F(t) = \frac{t + 1}{e^t} \)。

通过分析\( F(t) \)的最大值（\( F(0) = 1 \)），可快速求解不等式。

5. 对称型：\( F(x) \)与\( F(\ln x) \)（或\( F(e^x) \)）

特征：函数与自身经过指数/对数替换后的形式同构，常用于方程\( F(a) = F(b) \)的求解。

案例：

已知\( f(x) = x e^x \)，若\( f(a) = f(b) \)（\( a \neq b \)），求\( a + b \)的范围。

分析：\( f(x) = x e^x \)在\( (-1, +\infty) \)递增，\( (-\infty, -1) \)递减，且\( f(a) = f(b) \)时，不妨设\( a < -1 < b \)。

注意到\( f(x) = x e^x \)与\( f(\ln x) = x \ln x \)同构，若\( a \)和\( b \)满足\( b = \ln(-a) \)（通过换元推导），则可转化为求\( a + \ln(-a) \)（\( a < -1 \)）的范围，最终得\( a + b < -1 \)。