三角函数 05 角度制与弧度制、角度运算

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一、任意角

在平面内，一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角。其中：

顶点：射线的端点；

始边：旋转的起始位置的射线；

终边：旋转的终止位置的射线。

任意角的分类（按旋转方向）

正角：按逆时针方向旋转形成的角。例：射线从水平向右位置逆时针旋转60°，形成+60°角。

负角：按顺时针方向旋转形成的角。例：射线从水平向右位置顺时针旋转30°，形成-30°角。

零角：射线未作任何旋转时形成的角，其大小为0°（或0 rad）。

按大小范围分类（锐角、钝角等特殊角）

锐角：\(0° < \alpha < 90°\)（或\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)）。示例：三角板中的30°、45°角。

直角：\(90°\)（或\(\frac{\pi}{2}\)）。应用：直角三角形的直角、垂直关系的度量。

钝角：\(90° < \alpha < 180°\)（或\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)）。示例：120°角、\(\frac{2\pi}{3}\)角。

平角：\(180°\)（或\(\pi\)），终边与始边成一条直线（方向相反）。

周角：\(360°\)（或\(2\pi\)），射线旋转一周后终边与始边重合。

二、角度制与弧度制

将一个圆周平均分成360等份，每一份所对应的圆心角称为1度角，记作\(1^{\circ}\)。基本单位：度（\(^{\circ}\)）、分（\(''\)）、秒（\(''\)）。

进制：60进制，即：\(1^{\circ} = 60'\)（1度等于60分），\(1' = 60''\)（1分等于60秒）。

把长度等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作\(1\ \text{rad}\)（通常可省略“rad”）。

弧度制是基于圆的弧长与半径的比值定义的，属于无量纲单位（比值无单位）。若圆的半径为\(r\)，弧长为\(l\)，则对应圆心角的弧度数：\(\theta = \frac{l}{r}\)

三、角度制与弧度制的转换公式

角度转弧度：\(\theta(\text{rad}) = \frac{\pi}{180} \times \theta(^{\circ})\) 例：\(60^{\circ}\)转换为弧度：\(\frac{\pi}{180} \times 60 = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}\)。

弧度转角度：\(\theta(^{\circ}) = \frac{180}{\pi} \times \theta(\text{rad})\) 例：\(\frac{3\pi}{4}\ \text{rad}\)转换为角度：\(\frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = 135^{\circ}\)。

四、二者的区别与联系

对比维度	角度制	弧度制
定义基础	圆周的360等份	弧长与半径的比值
单位性质	带单位（\(^{\circ}\)、\(''\)、\(''\)）	无量纲（纯数值）
数学运算便利性	适合整数角度计算	适合三角函数、微积分等运算
公式简化	三角函数公式（如\(\sin30^{\circ}\)）	公式更简洁（如\(\sinx\)中\(x\)为弧度）

五、弧度制的优势

微积分中的必要性：例如，当\(x\)用弧度表示时，重要极限\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)成立，若用角度制则极限值不同，会导致公式复杂化。

物理与工程应用：角速度、弧长公式（\(l = r\theta\)）、圆周运动等问题中，弧度制能直接与半径、速度等物理量关联，简化计算。

六、常见角度与弧度对照表

角度（\(^{\circ}\)）	0	30	45	60	90	120	135	150	180	270	360
弧度（rad）	0	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)

七、与\(\alpha\)终边相同的角：\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

定义：在平面直角坐标系中，所有与角\(\alpha\)终边相同的角（包括\(\alpha\)本身），它们之间的关系可以表示为：

角度制：\(\beta = k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）

弧度制：\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

示例：与\(30^{\circ}\)终边相同的角有\(390^{\circ}\)（当\(k = 1\)时，\(390^{\circ}=360^{\circ}+30^{\circ}\)）、\(-330^{\circ}\)（当\(k=-1\)时，\(-330^{\circ}=-360^{\circ}+30^{\circ}\)）等。在单位圆中，这些角的终边都落在与\(30^{\circ}\)角终边相同的位置。

三角函数值特点：终边相同的角的同名三角函数值相等。

例如，\(\sin390^{\circ}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos(-330^{\circ})=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

这是因为三角函数是周期函数，周期的整数倍变化后终边位置相同，所以函数值相等。

八、与\(\alpha\)终边相反的角：\(\beta=(2k + 1)\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边相反，简单来说，终边相反的角相差\(180^{\circ}\)（或\(\pi\)弧度）的奇数倍。其关系为:

角度制：\(\beta=(2k + 1)\cdot180^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）

弧度制：\(\beta=(2k + 1)\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

示例：与\(30^{\circ}\)终边相反的角是\(210^{\circ}\)（\(k = 0\)时，\(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\)），在单位圆中，\(30^{\circ}\)角终边在第一象限，\(210^{\circ}\)角终边在第三象限，方向相反。

三角函数值关系：对于终边相反的角，正弦值互为相反数，余弦值也互为相反数。

如\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)；\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

九、与\(\alpha\)终边在同一直线上的角：\(\beta = k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边在同一直线上，那么：

角度制：\(\beta = k\cdot180^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)）

弧度制：\(\beta = k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)）

它们的终边要么重合（\(k\)为偶数时相当于终边相同），要么方向相反（\(k\)为奇数时相当于终边相反）。

示例：\(30^{\circ}\)和\(210^{\circ}\)终边在同一直线上，\(30^{\circ}\)和\(390^{\circ}\)也终边在同一直线上。

十、与\(\alpha\)终边在同一条射线上的角：\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)且\(k\geq0\)）

定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边在同一条射线上，当且仅当：

角度制：\(\beta = k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（\(k\in Z\)且\(k\geq0\)）

弧度制：\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（\(k\in Z\)且\(k\geq0\)）

这种情况类似于终边相同的角，但限制了旋转方向为正方向或者没有旋转（\(k = 0\)）。

示例：\(30^{\circ}\)和\(390^{\circ}\)（\(k = 1\)时）终边在同一条射线上，它们的终边都是从\(x\)轴正半轴开始，按逆时针方向旋转得到的，且在同一条射线上。

十一、与\(\alpha\)终边互相垂直的角：\(\beta=\alpha\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)）

定义：若角\(\beta\)的终边与角\(\alpha\)的终边互相垂直，设\(\alpha\)角终边按逆时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\beta\)角终边（当然也可以是顺时针旋转\(270^{\circ}\)等情况），那么：

角度制：\(\beta=\alpha\pm90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)）

弧度制：\(\beta=\alpha\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)）

示例：若\(\alpha = 30^{\circ}\)，那么与它终边垂直的角\(\beta\)可以是\(120^{\circ}\)（\(\beta = 30^{\circ}+90^{\circ}\)）或者\(-60^{\circ}\)（\(\beta = 30^{\circ}-90^{\circ}\)）。

十二、轴线角 - 角的终边落在坐标轴上的角

定义：轴线角是指角的终边落在坐标轴上的角，包括\(x\)轴正半轴、\(x\)轴负半轴、\(y\)轴正半轴和\(y\)轴负半轴上的角。

在平面直角坐标系中，这些角的特点是其终边不落在象限内，所以不属于任何象限。

\(x\)轴正半轴上的角：可以表示为\(\alpha = k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)）。

例如，\(0^{\circ}\)、\(360^{\circ}\)、\(-360^{\circ}\)等。

\(x\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha=(2k + 1)\cdot180^{\circ}\)（\(k\in Z\)），像\(180^{\circ}\)、\(-180^{\circ}\)等。

\(y\)轴正半轴上的角：可以写成\(\alpha = 90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)），如\(90^{\circ}\)、\(450^{\circ}\)等。

\(y\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha = 270^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)），例如\(270^{\circ}\)、\(-90^{\circ}\)等。

轴线角的应用

在三角函数图像绘制中的应用：轴线角是三角函数图像与坐标轴的交点对应的角度。例如，在绘制\(y = \sin x\)的图像时，当\(x = k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(\sin x = 0\)，这些点是图像与\(x\)轴的交点；当\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(\sin x = 1\)或\(-1\)，是图像的最值点。

在化简三角函数表达式中的应用：当遇到三角函数的定义域限制或者化简含有特殊角度的三角函数表达式时，轴线角的三角函数值可以作为已知条件直接使用。例如，化简\(\frac{\sin x}{\cos x}\)，当\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in Z\)）时，\(\cos x = 0\)，这个表达式无定义，这是基于轴线角\(y\)轴上的角的余弦值为\(0\)的特点。

十三、象限角

定义：象限角是指在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与\(x\)轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。

如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称为轴线角。

第一象限角：其角度范围是\(k\cdot360^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+90^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(30^{\circ}\)、\(40^{\circ}\)等都是第一象限角，当\(k = 0\)时，满足上述范围。这个范围内的角终边在第一象限，其终边上的点的横、纵坐标都是正数。

第二象限角：角度范围是\(k\cdot360^{\circ}+90^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+180^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(120^{\circ}\)、\(135^{\circ}\)等属于第二象限角。在这个范围内，角的终边在第二象限，终边上点的横坐标为负，纵坐标为正。

第三象限角：范围是\(k\cdot360^{\circ}+180^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+270^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(210^{\circ}\)、\(240^{\circ}\)等是第三象限角，此范围内角的终边在第三象限，终边上点的横坐标和纵坐标都是负数。

第四象限角：范围为\(k\cdot360^{\circ}+270^{\circ}<\alpha<(k + 1)\cdot360^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(-30^{\circ}\)（当\(k=-1\)时）、\(330^{\circ}\)等是第四象限角，这些角的终边在第四象限，终边上点的横坐标为正，纵坐标为负。

象限角的三角函数值符号规律

第一象限角：\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha>0\)，\(\tan\alpha>0\)。

因为在第一象限，角终边上点的横、纵坐标都为正，根据三角函数定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)（\(y>0\)，\(r>0\)），\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)（\(x>0\)，\(r>0\)），\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)（\(x>0\)，\(y>0\)），所以三角函数值都为正。

第二象限角：\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha<0\)，\(\tan\alpha<0\)。

在第二象限，\(x<0\)，\(y>0\)，所以\(\sin\alpha=\frac{y}{r}>0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}<0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}<0\)。

第三象限角：\(\sin\alpha<0\)，\(\cos\alpha<0\)，\(\tan\alpha>0\)。

由于第三象限\(x<0\)，\(y<0\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}<0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}<0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}>0\)。

第四象限角：\(\sin\alpha<0\)，\(\cos\alpha>0\)，\(\tan\alpha<0\)。

在第四象限，\(x>0\)，\(y<0\)，因此\(\sin\alpha=\frac{y}{r}<0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}>0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}<0\)。

象限角的应用

判断三角函数值的符号：当已知角是象限角时，可以快速判断三角函数值的符号。

例如，已知\(\alpha\)是第三象限角，那么\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)是负的，\(\tan\alpha\)是正的。这对于化简三角函数表达式、解方程等问题很有帮助。

求解三角函数不等式：如果要解不等式\(\sin\alpha>0\)且\(\cos\alpha<0\)，根据象限角的三角函数值符号规律，可知\(\alpha\)是第二象限角，所以不等式的解是\(2k\pi+\frac{\pi}{2}<\alpha<2k\pi+\pi\)，\(k\in Z\)。

十四、判断角度和所在象限（以 \( \alpha + \beta \) 为例）

1. 方法一：直接计算范围并化简

步骤1：确定 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 所在象限，写出其范围（含 \( k \) 和 \( m \) 两个整数参数）；

步骤2：相加后合并同类项，通过调整 \( k \) 和 \( m \) 的值，将范围转化为 \( n\cdot360^\circ + \theta \) 的形式（\( n \in \mathbb{Z} \)，\( \theta \in [0^\circ, 360^\circ) \)）；

步骤3：根据 \( \theta \) 的范围判断象限。

示例：\( \alpha = 120^\circ \)（第二象限），\( \beta = 210^\circ \)（第三象限），求 \( \alpha + \beta \) 所在象限

\( \alpha \in (90^\circ+360^\circ k, 180^\circ+360^\circ k) \)，\( \beta \in (180^\circ+360^\circ m, 270^\circ+360^\circ m) \)；

相加得：\( \alpha+\beta \in (270^\circ+360^\circ(k+m), 450^\circ+360^\circ(k+m)) \)；

化简：\( 450^\circ = 360^\circ + 90^\circ \)，故范围为 \( (270^\circ+360^\circ n, 90^\circ+360^\circ(n+1)) \)（令 \( n = k+m \)）；

即 \( \alpha+\beta \) 可能在第四象限（\( 270^\circ~360^\circ \)）或第一象限（\( 0^\circ~90^\circ \)），代入具体值：\( 120^\circ+210^\circ=330^\circ \)，在第四象限。

2. 方法二：取特殊值验证

若 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 为已知具体角度，直接计算和，再转化为 \( [0^\circ, 360^\circ) \) 内的角判断象限。

示例：\( \alpha = 60^\circ \)，\( \beta = 150^\circ \)，则 \( \alpha+\beta=210^\circ \)，在第三象限。

十五、判断角度差所在象限（以 \( \alpha - \beta \) 为例）

1. 转化为和的形式：\( \alpha - \beta = \alpha + (-\beta) \)

步骤1：确定 \( -\beta \) 所在象限（与 \( \beta \) 关于 \( x \) 轴对称，角度为 \( -\beta + 360^\circ k \)）；

步骤2：按“角度和”的方法判断 \( \alpha + (-\beta) \) 的象限。

示例：\( \alpha = 240^\circ \)（第三象限），\( \beta = 60^\circ \)（第一象限），求 \( \alpha - \beta \) 所在象限

\( -\beta = -60^\circ \)，等价于 \( 300^\circ \)（第四象限）；

\( \alpha - \beta = 240^\circ + 300^\circ = 540^\circ \)，化简为 \( 540^\circ - 360^\circ = 180^\circ \)，在x轴负半轴（不属于任何象限，但可视为第三、四象限的分界）。

2. 直接计算范围

示例：\( \alpha \in (180^\circ, 270^\circ) \)，\( \beta \in (0^\circ, 90^\circ) \)，则 \( \alpha - \beta \in (90^\circ, 270^\circ) \)，可能在第二或第三象限，取特殊值 \( \alpha=200^\circ \)，\( \beta=30^\circ \)，得 \( 170^\circ \)（第二象限）；\( \alpha=260^\circ \)，\( \beta=30^\circ \)，得 \( 230^\circ \)（第三象限）。

十六、判断角度倍数所在象限（以 \( n\alpha \)，\( n \in \mathbb{N}^* \) 为例）

1. 方法：先将 \( \alpha \) 转化为 \( [0^\circ, 360^\circ) \) 内的角，再计算 \( n\alpha \) 并化简

步骤1：若 \( \alpha = \theta + 360^\circ k \)（\( \theta \in [0^\circ, 360^\circ) \)），则 \( n\alpha = n\theta + 360^\circ \cdot nk \)，只需判断 \( n\theta \) 的象限；

步骤2：计算 \( n\theta \)，若 \( n\theta \geq 360^\circ \)，则减去 \( 360^\circ \) 的整数倍，使其落在 \( [0^\circ, 360^\circ) \) 内，再判断象限。

示例1：\( \alpha = 150^\circ \)（第二象限），求 \( 2\alpha \) 所在象限

\( 2\alpha = 300^\circ \)，在第四象限。

示例2：\( \alpha = 120^\circ \)（第二象限），求 \( 3\alpha \) 所在象限

\( 3\alpha = 360^\circ \)，等价于 \( 0^\circ \)，在x轴正半轴（不属于任何象限）。

示例3：\( \alpha = 30^\circ \)（第一象限），求 \( 4\alpha \) 所在象限

\( 4\alpha = 120^\circ \)，在第二象限。

2. 推广：当 \( n \) 为分数时（如 \( \frac{\alpha}{n} \)）

需结合终边相同角的表示，例如判断 \( \frac{\alpha}{2} \) 的象限：

若 \( \alpha \in (90^\circ+360^\circ k, 180^\circ+360^\circ k) \)，则 \( \frac{\alpha}{2} \in (45^\circ+180^\circ k, 90^\circ+180^\circ k) \)，即当 \( k=0 \) 时在第一象限，\( k=1 \) 时在第三象限，故 \( \frac{\alpha}{2} \) 可能在第一或第三象限。