高中数学 10 概率

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随机事件与概率

必然事件、不可能事件与随机事件：

必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，用符号 \(\Omega\) 表示。例如，“在标准大气压下，水加热到 \(100^{\circ}C\) 时沸腾”就是一个必然事件。

不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，用符号 \(\varnothing\) 表示。比如，“掷一枚质地均匀的骰子，出现大于 \(6\) 的点数”就是不可能事件。

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母 \(A\)，\(B\)，\(C\) 等表示。例如，“掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为 \(3\)”就是一个随机事件。

事件的频率与概率：

频率：在相同的条件下，重复 \(n\) 次试验，事件 \(A\) 发生的次数 \(n_A\) 称为事件 \(A\) 发生的频数，而比值 \(\frac{n_A}{n}\) 称为事件 \(A\) 发生的频率，记作 \(f_n(A)\)。频率具有随机性，不同次的重复试验，频率可能不同，但随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在某个常数附近。

概率：对于一个随机事件 \(A\)，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为事件 \(A\) 的概率，记作 \(P(A)\)。当试验次数 \(n\) 足够大时，事件 \(A\) 的频率 \(f_n(A)\) 会在某个常数附近摆动，这个常数就是事件 \(A\) 的概率，即 \(P(A) \approx f_n(A)\)（\(n\) 足够大）。并且概率满足 \(0 \leq P(A) \leq 1\)，其中必然事件的概率 \(P(\Omega)=1\)，不可能事件的概率 \(P(\varnothing)=0\)。

古典概型

古典概型的定义及特点：

有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的结果只有 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\) 这六种，是有限个基本事件。

等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。就像掷骰子时，出现 \(1\) 点到 \(6\) 点的可能性是一样的。

满足以上两个特点的概率模型称为古典概型。

古典概型的概率计算公式：对于古典概型，设试验的基本事件总数为 \(n\)，事件 \(A\) 包含的基本事件数为 \(m\)，则事件 \(A\) 的概率 \(P(A)=\frac{m}{n}\)。例如，从含有 \(5\) 个红球和 \(3\) 个白球的口袋中，随机摸出一个球是红球的概率，这里基本事件总数 \(n = 5 + 3 = 8\)（总共 \(8\) 个球，摸一个球有 \(8\) 种不同情况），事件“摸出红球”包含的基本事件数 \(m = 5\)（有 \(5\) 个红球），所以该事件的概率 \(P(A)=\frac{5}{8}\)。

几何概型

几何概型的定义及特点：

无限性：试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。比如，在区间 \([0,1]\) 内任取一个实数，这里的基本事件（即取到的每一个实数）是有无限多个的。

等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。在上述区间取数时，取到任何一个实数的可能性都相同。

符合这两个特点的概率模型叫做几何概型。

几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件 \(A\) 发生的概率 \(P(A)\) 等于构成事件 \(A\) 的区域长度（面积或体积等，取决于试验对应的几何度量）与试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积等）的比值。例如，在区间 \([0,5]\) 上随机取一个数 \(x\)，若事件 \(A\) 为“ \(x\) 落在区间 \([1,3]\) 内”，则试验的全部结果构成的区域长度为 \(5 - 0 = 5\)，构成事件 \(A\) 的区域长度为 \(3 - 1 = 2\)，所以事件 \(A\) 的概率 \(P(A)=\frac{2}{5}\)。如果是在平面区域内的几何概型，就用相应的面积来计算概率；若是在空间区域内，则用体积来计算概率。

概率的基本性质

事件的关系与运算：

包含关系：如果事件 \(A\) 发生，则事件 \(B\) 一定发生，称事件 \(B\) 包含事件 \(A\)，记作 \(A \subseteq B\)。例如，掷骰子时，事件“出现点数为 \(2\)”包含于事件“出现偶数点”。

相等关系：若 \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\)，则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相等，记作 \(A = B\)。

并事件（和事件）：事件 \(A\) 与事件 \(B\) 的并事件（或和事件）是指当且仅当 \(A\)，\(B\) 中至少有一个发生时才发生的事件，记作 \(A \cup B\)。比如，掷骰子时，事件“出现点数为 \(1\) 或 \(2\)”就是事件“出现点数为 \(1\)”与事件“出现点数为 \(2\)”的并事件。

交事件（积事件）：事件 \(A\) 与事件 \(B\) 的交事件（或积事件）是指当且仅当 \(A\)，\(B\) 同时发生时才发生的事件，记作 \(A \cap B\)（或 \(AB\)）。例如，掷骰子时，事件“出现点数为偶数且小于 \(5\)”就是事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于 \(5\)”的交事件。

互斥事件：若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 不能同时发生，即 \(A \cap B = \varnothing\)，则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥。比如，掷骰子时，事件“出现点数为 \(1\)”与事件“出现点数为 \(2\)”就是互斥事件。

对立事件：若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 满足 \(A \cap B = \varnothing\) 且 \(A \cup B = \Omega\)，则称事件 \(B\) 是事件 \(A\) 的对立事件，记作 \(B = \overline{A}\)。例如，掷骰子时，事件“出现奇数点”与事件“出现偶数点”就是一对对立事件。

概率的基本性质：

任何事件的概率都在 \(0\) 到 \(1\) 之间，即 \(0 \leq P(A) \leq 1\)。

必然事件的概率为 \(1\)，即 \(P(\Omega)=1\)；不可能事件的概率为 \(0\)，即 \(P(\varnothing)=0\)。

若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥，则 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)。这个性质可以推广到多个互斥事件，若 \(A_1\)，\(A_2\)，\(\cdots\)，\(A_n\) 互斥，则 \(P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)\)。

若事件 \(B\) 是事件 \(A\) 的对立事件，则 \(P(B)=1 - P(A)\)，且 \(P(A)+P(B)=1\)。

概率这部分知识在实际生活中有广泛的应用，比如在保险、抽奖、统计推断以及各种决策制定等方面都起着重要的作用，帮助人们量化和评估不确定性事件发生的可能性。