解析几何 12 圆的切线方程、切点弦方程

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一、圆的切线方程

1、点在圆上

对于圆的标准方程\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，若点\(P(x_0, y_0)\)在圆上，则过点\(P\)的切线方程为:

\((x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2\)。

当圆的方程为\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，点\(P(x_0,y_0)\)在圆上时，切线方程为\(x_0x + y_0y = r^{2}\)。

2、点在圆外

设圆的方程为\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，点\(P(x_0, y_0)\)在圆外。

设切线方程为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，即\(kx - y - kx_0 + y_0 = 0\)。

根据圆心\((a,b)\)到切线的距离等于半径\(r\)，由点到直线的距离公式\(d=\frac{\vert k(a - x_0)-(b - y_0)\vert}{\sqrt{k^{2}+1}} = r\)，解出斜率\(k\)的值，进而得到切线方程。

当直线斜率不存在时，需单独讨论直线\(x = x_0\)是否为圆的切线。

二、圆的切点弦方程

过圆外一点作圆的两条切线，连接这两个切点的线段叫做切点弦，其所在直线的方程即为切点弦方程。

对于圆的一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0\)，点\(P(x_0, y_0)\)在圆外，过点\(P\)作圆的两条切线，切点分别为\(A\)、\(B\)，则

切点弦\(AB\)的方程为：\(x_0x + y_0y+\frac{D(x + x_0)}{2}+\frac{E(y + y_0)}{2}+F = 0\)

对于圆的标准方程\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)，点\(P(x_0, y_0)\)在圆外，切点弦方程为：\((x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2\)

推导过程：

对于圆的标准方程\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)，设圆外一点\(P(x_0,y_0)\)，切点为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)。

以点\(A\)为切点的切线方程为\((x_1 - a)(x - a)+(y_1 - b)(y - b)=r^2\)，因为点\(P(x_0,y_0)\)在切线上，所以\((x_1 - a)(x_0 - a)+(y_1 - b)(y_0 - b)=r^2\)。

同理，对于点\(B\)为切点的切线，有\((x_2 - a)(x_0 - a)+(y_2 - b)(y_0 - b)=r^2\)。

这表明点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)都满足方程\((x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2\)，所以该方程就是直线\(AB\)的方程，即切点弦方程。

几何意义：

切点弦方程表示的直线是圆外一点与圆的两个切点所确定的直线。从几何图形上看，它是连接两个切点的线段所在的直线，这条直线与圆以及圆外的点有着特定的位置关系和几何性质。例如，圆心与圆外点的连线垂直平分切点弦。

求切点弦所在直线方程：

已知圆的方程和圆外一点的坐标，可直接利用切点弦方程求出直线方程。例如，对于圆\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(P(3,4)\)，根据切点弦方程\(x_0x + y_0y = r^{2}\)，可得切点弦方程为\(3x + 4y = 4\)。

解决与圆的切线相关的问题：

在一些涉及圆的切线的几何问题中，利用切点弦方程可以方便地找到相关直线的关系，进而解决问题。如通过切点弦与圆心和圆外点连线的垂直关系，可求解一些角度、线段长度等问题。

判断点与圆的位置关系：

若点\(P(x_0,y_0)\)在圆外，那么其对应的切点弦方程存在且唯一；若点\(P\)在圆上，此时切点弦方程就退化为过该点的切线方程；若点\(P\)在圆内，不存在切点弦方程，因为过圆内一点无法作圆的切线。所以可以通过判断是否能写出切点弦方程以及方程的性质来初步判断点与圆的位置关系。

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