圆锥曲线 13 圆锥曲线的一般方程

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1. 定义与形式

圆锥曲线的一般方程是\(Ax^{2}+Bxy + Cy^{2}+Dx + Ey+F = 0\)（\(A\)、\(B\)、\(C\)不同时为0）。

这个方程能够表示椭圆、双曲线、抛物线等各种圆锥曲线。

其中\(x\)和\(y\)是变量，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)是常数。

例如，方程\(3x^{2}+2xy + 4y^{2}- 5x + 6y - 7 = 0\)就是圆锥曲线的一般方程形式。

2. 判别式与曲线类型判断：\(\Delta = B^{2}-4AC\)

当\(\Delta<0\)时，表示椭圆。如果同时\(A = C\neq0\)，则表示圆。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}-4x - 4y + 4 = 0\)，这里\(A = C = 1\)，\(B = 0\)，\(\Delta=0 - 4\times1\times1=- 4<0\)，它表示一个圆。

圆的标准方程是\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，将上述圆方程配方可得\((x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=4\)，圆心为\((2,2)\)，半径\(r = 2\)。

对于椭圆，如\(5x^{2}+3y^{2}-10x + 6y - 4 = 0\)，\(A = 5\)，\(B = 0\)，\(C = 3\)，\(\Delta=0 - 4\times5\times3=- 60<0\)，通过配方\(5(x - 1)^{2}+3(y + 1)^{2}=12\)，进一步化为标准椭圆方程\(\frac{(x - 1)^{2}}{\frac{12}{5}}+\frac{(y + 1)^{2}}{4}=1\)。

当\(\Delta>0\)时，表示双曲线。

例如，\(4x^{2}-y^{2}-8x - 2y - 1 = 0\)，\(A = 4\)，\(B = 0\)，\(C=-1\)，\(\Delta=0 - 4\times4\times(-1)=16>0\)，经整理可化为双曲线标准方程\(\frac{(x - 1)^{2}}{1}-\frac{(y + 1)^{2}}{4}=1\)。

当\(\Delta = 0\)时，表示抛物线。

例如，\(y^{2}-4x - 2y + 1 = 0\)，\(A = 0\)，\(B = 0\)，\(C = 1\)，\(\Delta=0 - 4\times0\times1=0\)，通过配方可化为抛物线标准方程\((y - 1)^{2}=4x\)。

3. 旋转与坐标轴变换（涉及\(B\neq0\)的情况）

当\(B\neq0\)时，圆锥曲线的一般方程所表示的曲线可能相对于坐标轴有旋转。通过坐标轴的旋转可以消除\(xy\)项，使方程变得更容易分析。

设旋转角度为\(\theta\)，通过坐标变换\(x = x'\cos\theta - y'\sin\theta\)，\(y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\)代入原一般方程，然后令含有\(x'y'\)项的系数为0，即\(2(A - C)\cos\theta\sin\theta + B(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)=0\)，可以求出旋转角度\(\theta\)，从而简化方程并判断曲线类型。不过这种变换相对复杂，一般用于深入研究圆锥曲线的几何性质和在特定数学问题中的应用。