解析几何 12 点到直线的距离、平行线间的距离

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1. 点到直线的距离

点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，这个点与垂足之间的线段长度。例如，给定一点\(P(x_0,y_0)\)和直线\(Ax + By+ C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），点\(P\)到直线的距离就是点\(P\)到直线上距离它最近的点（垂足）的距离。

2. 点到直线的距离公式推导（向量法）

设直线\(l:Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），点\(P(x_0,y_0)\)。

在直线\(l\)上任取一点\(Q(x,y)\)，向量\(\overrightarrow{PQ}=(x - x_0,y - y_0)\)。

直线\(l\)的法向量（与直线垂直的向量）为\(\vec{n}=(A,B)\)。

根据向量点积的几何定义，\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=\vert\overrightarrow{PQ}\vert\vert\vec{n}\vert\cos\theta\)，其中\(\theta\)是\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\vec{n}\)的夹角。

当\(\theta = 0\)或\(\pi\)（即\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\vec{n}\)平行）时，\(\vert\overrightarrow{PQ}\vert\cos\theta\)的绝对值就是点\(P\)到直线\(l\)的距离\(d\)。

计算\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=A(x - x_0)+B(y - y_0)=Ax + By - Ax_0 - By_0\)，又因为\(Ax + By=-C\)（直线方程），所以\(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=- Ax_0 - By_0 - C\)。

而\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)，则\(d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。

3. 点到直线的距离公式的应用场景和优势

判断点与直线的位置关系：通过计算点到直线的距离可以判断点在直线的哪一侧。如果距离\(d>0\)，说明点在直线的一侧；如果\(d = 0\)，则点在直线上。例如，在计算机图形学中，判断一个像素点是否在某条绘制的直线的内部或外部区域时可以用到。

求解几何最值问题：在一些几何问题中，要求某点到某直线的最短距离相关的最值。例如，在平面几何中，求一个动点到一条定直线的距离的最小值，就可以直接使用这个公式。

在解析几何综合问题中的应用：当涉及到直线与曲线（如圆，椭圆等）的位置关系时，点到直线的距离公式可以帮助判断曲线与直线是否相切等情况。比如对于圆\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，圆心\((a,b)\)到直线\(Ax + By + C = 0\)的距离\(d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，当\(d = r\)时，圆与直线相切。

4. 特殊情况说明

当\(A = 0\)时，直线方程变为\(By + C = 0\)（即\(y=-\frac{C}{B}\)），此时点\((x_0,y_0)\)到直线的距离\(d=\vert y_0+\frac{C}{B}\vert\)。

当\(B = 0\)时，直线方程变为\(Ax + C = 0\)（即\(x = -\frac{C}{A}\)），此时点\((x_0,y_0)\)到直线的距离\(d=\vert x_0+\frac{C}{A}\vert\)。

1. 两条平行线间的距离

两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长度。因为平行线间的距离处处相等，所以我们可以在其中一条直线上任取一点，计算这个点到另一条直线的距离，这个距离就是两条平行线间的距离。

2. 两条平行线间的距离公式推导

设两条平行线\(l_1:Ax + By + C_1 = 0\)和\(l_2:Ax + By + C_2 = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）。

根据点到直线的距离公式，在直线\(l_1\)上任取一点\(P(x_0,y_0)\)，点\(P\)到直线\(l_2\)的距离\(d\)就是两条平行线间的距离。

由点到直线的距离公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。

又因为点\(P(x_0,y_0)\)在直线\(l_1\)上，所以\(Ax_0 + By_0+ C_1 = 0\)，即\(Ax_0 + By_0=-C_1\)。

将\(Ax_0 + By_0=-C_1\)代入上式可得\(d = \frac{\vert C_2 - C_1\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。

3. 应用场景和优势

几何图形中的应用：在平面几何中，当需要计算平行四边形（其对边平行）的高或者梯形（一组对边平行）的高时，如果已知两条平行边所在直线的方程，就可以利用这个公式计算高的长度。例如，在计算一个底边长已知，两平行边所在直线方程已知的梯形面积时，先求出高（即两条平行线间的距离），再根据梯形面积公式求解。

解析几何问题中的应用：在解析几何综合问题中，当判断两条平行直线与其他几何图形（如圆、椭圆等）的位置关系时，两条平行线间的距离是一个重要的参考量。比如，判断一个圆是否夹在两条平行直线之间，或者与其中一条直线相切等情况，就需要计算圆的半径与两条平行线间距离的关系。

4. 特殊情况说明

当\(A = 0\)时，两条平行线方程为\(By + C_1 = 0\)和\(By + C_2 = 0\)（即\(y = -\frac{C_1}{B}\)和\(y = -\frac{C_2}{B}\)），此时两条平行线间的距离\(d=\vert\frac{C_2 - C_1}{B}\vert\)。

当\(B = 0\)时，两条平行线方程为\(Ax + C_1 = 0\)和\(Ax + C_2 = 0\)（即\(x = -\frac{C_1}{A}\)和\(x = -\frac{C_2}{A}\)），此时两条平行线间的距离\(d=\vert\frac{C_2 - C_1}{A}\vert\)。

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