解析几何 12 有向线段、两点距离、定比分点

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一、有向线段

有向线段的定义：有向线段是规定了方向的线段。它包含起点、终点、方向三个要素。

在平面直角坐标系中，从点\(A\)到点\(B\)的有向线段记为\(\overrightarrow{AB}\)，其中\(A\)是起点，\(B\)是终点，方向是从\(A\)指向\(B\)。

有向线段的表示方法：有向线段可以用它的起点和终点的坐标来表示。

在平面直角坐标系中，若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{AB}\)可以通过坐标差来表示其在\(x\)轴和\(y\)轴方向上的变化，即

\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)

例如，\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(3 - 1,4 - 2)=(2,2)\)。

有向线段的长度和有向线段的数量的区别：

有向线段的长度是一个非负实数，它只与起点和终点的位置有关，不考虑方向，其长度计算公式为

\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)

而有向线段的数量是考虑了方向的一个实数，在坐标轴方向上，其数量等于终点坐标减去起点坐标。

例如，对于\(\overrightarrow{AB}\)，在\(x\)轴方向的数量是\(x_2 - x_1\)，在\(y\)轴方向的数量是\(y_2 - y_1\)。

二、两点距离

定义：两点距离是指平面或空间中两个点之间的长度，它是一个非负实数。

在平面直角坐标系中，两点\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)之间的距离公式为：

\(d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)

例如，\(A( - 1,3)\)，\(B(2,1)\)，则\(d(A,B)=\sqrt{(2 - ( - 1))^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}\)。

与有向线段的关系：两点距离实际上就是连接这两点的有向线段（不考虑方向）的长度。如果把两点看作有向线段的起点和终点，那么两点距离公式就是计算有向线段长度的公式。有向线段的长度在很多几何问题和实际应用（如计算图形的边长、物体移动的路程等）中非常重要，它为我们提供了一种量化两点之间空间关系的方法。

在空间直角坐标系中的两点距离公式：对于空间直角坐标系中的两点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)，两点间的距离公式为

\(d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2}\)

这个公式是平面直角坐标系中两点距离公式的推广，它考虑了三个坐标轴方向上的坐标差异，用于计算三维空间中两点之间的实际距离。

一、有向线段的定比分点定义

设\(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)是平面直角坐标系中的两点，点\(P(x,y)\)分有向线段\(\overrightarrow{P_1P_2}\)所成的比为\(\lambda\)（\(\lambda\neq - 1\)），即\(\overrightarrow{P_1P}=\lambda\overrightarrow{PP_2}\)，则点\(P\)叫做有向线段\(\overrightarrow{P_1P_2}\)的定比分点。

二、定比分点坐标公式推导

由向量坐标运算可知，\(\overrightarrow{P_1P}=(x - x_1,y - y_1)\)，\(\overrightarrow{PP_2}=(x_2 - x,y_2 - y)\)。

因为\(\overrightarrow{P_1P}=\lambda\overrightarrow{PP_2}\)，所以可得方程组\(\begin{cases}x - x_1=\lambda(x_2 - x)\\y - y_1=\lambda(y_2 - y)\end{cases}\)。

对第一个方程进行求解：

展开得\(x - x_1=\lambda x_2-\lambda x\)。

移项得\(x+\lambda x=x_1 + \lambda x_2\)。

合并同类项得\((1 + \lambda)x=x_1+\lambda x_2\)。

解得\(x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1 + \lambda}\)。

同理，对第二个方程求解可得\(y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}\)。

三、特殊情况 - 中点坐标公式

当\(\lambda = 1\)时，点\(P\)为线段\(P_1P_2\)的中点。

此时\(x=\frac{x_1 + x_2}{2}\)，\(y=\frac{y_1 + y_2}{2}\)，这就是中点坐标公式。

例如，若\(P_1(1,3)\)，\(P_2(5,7)\)，中点坐标为\((\frac{1 + 5}{2},\frac{3 + 7}{2})=(3,5)\)。

四、定比分点在数轴上的情况

在数轴上，设\(A\)、\(B\)两点对应的数分别为\(a\)、\(b\)，点\(P\)分\(\overrightarrow{AB}\)的比为\(\lambda\)。

同样由\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，设\(P\)对应的数为\(x\)，可得\(x - a=\lambda(b - x)\)，解得\(x=\frac{a+\lambda b}{1 + \lambda}\)。

例如，在数轴上\(A\)点表示\(2\)，\(B\)点表示\(8\)，若点\(P\)分\(\overrightarrow{AB}\)的比为\(\frac{1}{3}\)，则\(P\)点对应的数\(x=\frac{2+\frac{1}{3}\times8}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2+\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{\frac{14}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{7}{2}\)。

五、应用场景

几何问题求解：在求解三角形的重心坐标等几何问题时会用到定比分点公式。三角形的重心是三条中线的交点，设\(\triangle ABC\)三个顶点坐标分别为\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)、\(C(x_3,y_3)\)，其中线\(AD\)（\(D\)为\(BC\)中点），根据中点坐标公式\(D\)点坐标为\((\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})\)。再根据定比分点公式（重心\(G\)分\(\overrightarrow{AD}\)的比为\(\frac{2}{1}\)）可求出重心\(G\)的坐标为\((\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})\)。

物理中的矢量分解与合成：在物理的矢量运算中，如力的分解与合成，定比分点的思想可以帮助我们确定合力或者分力的大小和方向等相关信息。例如，将一个力按照一定比例分解为两个方向的分力，通过定比分点的方式可以更好地理解和计算力的分量。

六、定比分点坐标公式常见的变形

设\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)是平面直角坐标系中的两点，点\(P(x,y)\)分有向线段\(\overrightarrow{P_1P_2}\)所成的比为\(\lambda\)（\(\lambda\neq - 1\)），则

定比分点坐标公式为：\(x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1 + \lambda}\)，\(y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}\)。

变形一：用坐标表示\(\lambda\)

由\(x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1 + \lambda}\)，经过变形可得\(\lambda=\frac{x - x_1}{x_2 - x}\)（前提是\(x_2\neq x\)）。

同理，由\(y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}\)可得\(\lambda=\frac{y - y_1}{y_2 - y}\)（前提是\(y_2\neq y\)）。

例如，已知\(P_1(1,2)\)，\(P_2(4,5)\)，点\(P(3,4)\)是\(\overrightarrow{P_1P_2}\)的分点，根据\(\lambda=\frac{x - x_1}{x_2 - x}\)，可得\(\lambda=\frac{3 - 1}{4 - 3}=2\)。

变形二：求解\(x_1\)或\(y_1\)

从\(x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1 + \lambda}\)，可推导出\(x_1=(1 + \lambda)x-\lambda x_2\)。

同样，从\(y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}\)可得到\(y_1=(1 + \lambda)y-\lambda y_2\)。

例如，已知\(P\)分\(\overrightarrow{P_1P_2}\)的比\(\lambda = 3\)，\(P(2,3)\)，\(P_2(4,5)\)，求\(P_1\)的坐标。

根据\(x_1=(1 + \lambda)x-\lambda x_2\)，可得\(x_1=(1 + 3)\times2 - 3\times4=-4\)；

根据\(y_1=(1 + \lambda)y-\lambda y_2\)，可得\(y_1=(1 + 3)\times3 - 3\times5=-6\)，所以\(P_1\)的坐标为\((-4,-6)\)。

变形三：求解\(x_2\)或\(y_2\)

由\(x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1 + \lambda}\)，可得\(x_2=\frac{(1 + \lambda)x - x_1}{\lambda}\)（\(\lambda\neq0\)）。

由\(y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1 + \lambda}\)，可得\(y_2=\frac{(1 + \lambda)y - y_1}{\lambda}\)（\(\lambda\neq0\)）。

例如，已知\(P_1(1,1)\)，\(P\)分\(\overrightarrow{P_1P_2}\)的比\(\lambda = 2\)，\(P(3,3)\)，求\(P_2\)的坐标。

根据\(x_2=\frac{(1 + \lambda)x - x_1}{\lambda}\)，可得\(x_2=\frac{(1 + 2)\times3 - 1}{2}=4\)；

根据\(y_2=\frac{(1 + \lambda)y - y_1}{\lambda}\)，可得\(y_2=\frac{(1 + 2)\times3 - 1}{2}=4\)，所以\(P_2\)的坐标为\((4,4)\)。

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