解析几何 12 两个相交圆的公共弦方程

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两个相交圆的公共弦方程

当两个圆相交时，它们交点的连线所构成的直线方程即为公共弦方程。

推导过程

设两圆的方程分别为 $C_1:x^{2}+y^{2}+D_1x + E_1y + F_1 = 0$ 和 $C_2:x^{2}+y^{2}+D_2x + E_2y + F_2 = 0$ 。

将两圆方程相减，可得： $(D_1 - D_2)x+(E_1 - E_2)y+(F_1 - F_2)=0$

此方程即为两圆的公共弦方程。原因是两圆交点的坐标同时满足两个圆的方程，那么也必然满足两圆方程相减得到的方程，而该方程表示的是一条直线，所以它就是过两圆交点的直线，即公共弦所在直线的方程。

几何意义

体现位置关系：公共弦方程代表的直线是两圆交点的连线，它直观地展示了两个相交圆的相交位置关系。通过公共弦方程，可以了解两圆相交的具体情况，如交点的分布、公共弦的长度等信息。

与圆心连线的关系：公共弦与两圆的圆心连线垂直。这是因为两圆的圆心连线是两圆的对称轴，而公共弦关于圆心连线对称，所以公共弦与圆心连线垂直。这一性质在解决与两圆相交相关的几何问题时非常重要，常常用于构建直角三角形，利用勾股定理等知识求解相关线段的长度。

应用

求公共弦长：先通过联立公共弦方程与其中一个圆的方程，求出交点坐标，再利用两点间距离公式求出公共弦长。

例如，已知两圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$ ，两圆方程相减得公共弦方程为 $x + y - 1 = 0$ 。将公共弦方程代入圆 $x^{2}+y^{2}=4$ ，可得 $x^{2}+(1 - x)^{2}=4$ ，解此方程求出交点坐标，进而求得弦长。

解决圆系问题：在圆系方程中，公共弦方程有着重要的应用。

例如，过两圆 $C_1$ 和 $C_2$ 交点的圆系方程可表示为 $x^{2}+y^{2}+D_1x + E_1y + F_1+\lambda(x^{2}+y^{2}+D_2x + E_2y + F_2)=0(\lambda\neq - 1)$ 。当 $\lambda = 0$ 时，就是圆 $C_1$ 的方程；当 $\lambda$ 取其他值时，圆系中的圆都过两圆 $C_1$ 和 $C_2$ 的交点，而公共弦方程则是圆系中特殊的一条直线，它与圆系中的圆有着密切的位置关系，可用于研究圆系的性质和相关问题。