解析几何 12 两个相交圆的公共弦方程
两个相交圆的公共弦方程
当两个圆相交时,它们交点的连线所构成的直线方程即为公共弦方程。
推导过程
设两圆的方程分别为\(C_1:x^{2}+y^{2}+D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(C_2:x^{2}+y^{2}+D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。
将两圆方程相减,可得:\((D_1 - D_2)x+(E_1 - E_2)y+(F_1 - F_2)=0\)
此方程即为两圆的公共弦方程。原因是两圆交点的坐标同时满足两个圆的方程,那么也必然满足两圆方程相减得到的方程,而该方程表示的是一条直线,所以它就是过两圆交点的直线,即公共弦所在直线的方程。
几何意义
体现位置关系:公共弦方程代表的直线是两圆交点的连线,它直观地展示了两个相交圆的相交位置关系。通过公共弦方程,可以了解两圆相交的具体情况,如交点的分布、公共弦的长度等信息。
与圆心连线的关系:公共弦与两圆的圆心连线垂直。这是因为两圆的圆心连线是两圆的对称轴,而公共弦关于圆心连线对称,所以公共弦与圆心连线垂直。这一性质在解决与两圆相交相关的几何问题时非常重要,常常用于构建直角三角形,利用勾股定理等知识求解相关线段的长度。
应用
求公共弦长:先通过联立公共弦方程与其中一个圆的方程,求出交点坐标,再利用两点间距离公式求出公共弦长。
例如,已知两圆\(x^{2}+y^{2}=4\)和\((x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4\),两圆方程相减得公共弦方程为\(x + y - 1 = 0\)。将公共弦方程代入圆\(x^{2}+y^{2}=4\),可得\(x^{2}+(1 - x)^{2}=4\),解此方程求出交点坐标,进而求得弦长。
解决圆系问题:在圆系方程中,公共弦方程有着重要的应用。
例如,过两圆\(C_1\)和\(C_2\)交点的圆系方程可表示为\(x^{2}+y^{2}+D_1x + E_1y + F_1+\lambda(x^{2}+y^{2}+D_2x + E_2y + F_2)=0(\lambda\neq - 1)\)。当\(\lambda = 0\)时,就是圆\(C_1\)的方程;当\(\lambda\)取其他值时,圆系中的圆都过两圆\(C_1\)和\(C_2\)的交点,而公共弦方程则是圆系中特殊的一条直线,它与圆系中的圆有着密切的位置关系,可用于研究圆系的性质和相关问题。
判断两圆相交情况:若两圆方程相减能得到一个直线方程,且该直线与两圆都有交点,则可判断两圆相交,该直线即为公共弦方程。通过公共弦方程与两圆方程的关系,可以进一步分析两圆相交的具体特征,如交点个数、相交的角度等。
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