立体几何 08 多面体：棱柱、棱锥、棱台

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多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，其分类方式有多种：

一、按面的形状分类

1、正多面体

定义：正多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

种类：在三维空间中，正多面体只有五种，分别是正四面体（四个正三角形面）、正六面体（六个正方形面，即正方体）、正八面体（八个正三角形面）、正十二面体（十二个正五边形面）和正二十面体（二十个正三角形面）。

古希腊哲学家柏拉图（Plato，Πλατών，公元前427年—公元前347年）曾对它们进行研究，所以正多面体也被称为柏拉图立体。

2、半正多面体

定义：半正多面体是使用两种或更多种正多边形为面的凸多面体，每个顶点的情况相同，且所有面都是正多边形。

种类：阿基米德（公元前287年—公元前212年）曾研究过这类多面体，所以半正多面体也被称为阿基米德多面体，共有13种。例如截角正方体，它是由8个正三角形和6个正八边形组成；还有截角四面体，由4个正三角形和4个正六边形组成。

3、一般多面体

定义：面由任意的多边形组成，不满足正多面体和半正多面体的严格条件。这些多边形的边长、角度等不一定相等。

示例：像一些不规则的棱柱、棱锥等。例如，底面是不规则四边形的棱柱，其四个侧面是平行四边形，底面是不规则的四边形，它就属于一般多面体。

二、按是否凸多面体分类

1、凸多面体

定义：把多面体的任意一个面伸展成平面，如果其他各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫做凸多面体。直观来讲，凸多面体没有凹陷的部分。

性质：凸多面体具有一些良好的性质，例如欧拉公式\(V - E+F = 2\)（其中\(V\)表示顶点数，\(E\)表示棱数，\(F\)表示面数）对所有凸多面体都成立。常见的正多面体和半正多面体都是凸多面体。

2、凹多面体

定义：存在一个面，将其伸展成平面后，其他面不都在这个平面的同一侧，即多面体存在凹陷的部分。

示例：可以想象一个类似“碗状”被挖去一部分的多面体，它就属于凹多面体。

三、按棱与面的关系分类

1、棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；根据侧棱与底面是否垂直，可分为直棱柱（侧棱垂直于底面）和斜棱柱（侧棱不垂直于底面）。特殊的四棱柱有平行六面体（底面是平行四边形）、长方体（底面是矩形的直棱柱）、正方体（棱长都相等的长方体）等。

2、棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等；如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3、棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

分类：根据底面多边形的边数可分为三棱台、四棱台、五棱台等；由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

棱柱的定义

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，两个底面之间的距离叫做棱柱的高。

对角面：过棱柱不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。

直截面：垂直于棱柱侧棱的截面叫做棱柱的直截面。

按底面多边形的边数分类

三棱柱

定义：底面是三角形的棱柱叫做三棱柱。它有两个全等的三角形底面和三个矩形侧面，共有5个面、9条棱和6个顶点。

应用示例：三棱镜是三棱柱在光学领域的典型应用。三棱镜可以将白光分解成七种不同颜色的光，形成光谱，这是由于不同颜色的光在三棱镜中的折射角度不同导致的。

四棱柱

定义：底面为四边形的棱柱是四棱柱。它有两个四边形底面和四个侧面，具有6个面、12条棱和8个顶点。

特殊类型：四棱柱包含多种特殊情况，如平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）、长方体（底面是矩形的直四棱柱）和正方体（棱长都相等的长方体）。在日常生活中，纸箱、书本等很多物体的形状都近似于四棱柱。

五棱柱

定义：底面是五边形的棱柱称作五棱柱。它有两个五边形底面和五个侧面，一共7个面、15条棱和10个顶点。

实例：一些建筑装饰中的立柱可能会设计成五棱柱的形状，以增加建筑的美观和独特性。

更高边数棱柱：依此类推，底面为六边形、七边形等的棱柱分别称为六棱柱、七棱柱等，其面数、棱数和顶点数都遵循一定的规律。面数等于边数加2，棱数是边数的3倍，顶点数是边数的2倍。

按侧棱与底面的位置关系分类

直棱柱

定义：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的侧面都是矩形，因为侧棱垂直于底面，所以每个侧面与底面的夹角都是90度。

特点：直棱柱的高等于侧棱的长度，并且直棱柱的上下底面全等且对应边互相平行。例如，长方体就是一种特殊的直四棱柱。

斜棱柱

定义：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱。斜棱柱的侧面是平行四边形，因为侧棱与底面不垂直，所以侧面与底面的夹角不是90度。

性质：斜棱柱的高是指两个底面之间的垂直距离，它小于侧棱的长度。在实际应用中，一些特殊的建筑结构或机械零件可能会采用斜棱柱的形状来满足特定的设计需求。

按底面是否为正多边形分类

正棱柱（属于直棱柱）

定义：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱不仅侧棱垂直于底面，而且底面是正多边形，如正三角形、正方形、正五边形等。

特性：正棱柱的各个侧面都是全等的矩形，并且所有的侧棱长都相等。正棱柱具有较高的对称性，在美学设计和工程应用中经常被使用。例如，正六棱柱形状的螺母，其六个侧面全等，便于使用扳手进行拧紧和拆卸操作。

非正棱柱

定义：底面不是正多边形的棱柱为非正棱柱。它可能是直棱柱，也可能是斜棱柱。非正棱柱的底面多边形的边长和内角不完全相等，侧面的形状和大小也可能存在差异。

举例：底面是一般平行四边形的直棱柱或斜棱柱就属于非正棱柱，在一些不规则的建筑结构或特定的机械部件中可能会出现这种棱柱形状。

一般棱柱的性质

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行。

棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱都平行且相等。

棱柱的对角面是平行四边形。

直棱柱的性质

直棱柱的侧面都是矩形，侧棱长等于棱柱的高。

直棱柱的侧棱垂直于底面内的任意一条直线。

正棱柱的性质

正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

正棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是正多边形，具有更高的对称性。

棱柱的表面积和体积计算

表面积：棱柱的表面积等于两个底面的面积与侧面积之和。对于直棱柱，设底面周长为\(C\)，侧棱长为\(l\)，底面积为\(S_{底}\)，则侧面积\(S_{侧}=Cl\)，表面积\(S = 2S_{底}+S_{侧}\)。

体积：棱柱的体积公式为\(V = S_{底}h\)，其中\(S_{底}\)是底面面积，\(h\)是棱柱的高。这个公式可以通过将棱柱分割成多个三棱柱，再利用三棱柱的体积公式推导得出。

棱柱的应用

建筑领域：许多建筑的柱子、梁等结构采用棱柱的形状，如长方体形状的柱子，既具有较好的支撑作用，又方便施工和设计。

制造业：在机械零件的制造中，棱柱形状的零件较为常见，例如一些块状的机械部件，其外形可以设计成棱柱，以满足特定的功能需求。

数学教育：棱柱是学习空间几何的重要模型，通过对棱柱的研究，可以帮助学生理解空间中的线面关系、角度和距离等概念。

棱锥的定义

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

对角面：过不相邻两条侧棱的截面叫做对角面。

中截面：过棱锥高的中点且平行于底面的截面叫做中截面。

按底面多边形的边数分类

三棱锥

定义：底面是三角形的棱锥称作三棱锥，也被叫做四面体。它具有四个面（都是三角形）、六条棱和四个顶点。

特性：三棱锥是所有棱锥中面数最少的，它的每一个面都可以作为底面。正三棱锥是特殊的三棱锥，其底面是正三角形，且顶点在底面的射影是底面正三角形的中心。

应用实例：在化学中，甲烷（\(CH_4\)）分子的空间结构可以近似看作正四面体，也就是正三棱锥的形状。

四棱锥

定义：底面为四边形的棱锥是四棱锥，它有五个面、八条棱和五个顶点。

特性：四棱锥的底面形状多样，不同形状的底面会导致四棱锥具有不同的性质。例如底面是正方形的四棱锥，其侧面三角形可能具有一些特殊的对称性。

应用实例：埃及的金字塔通常被抽象为四棱锥的形状，其底面是正方形，侧面是四个全等的等腰三角形。

五棱锥

定义：底面是五边形的棱锥叫做五棱锥，它包含六个面、十条棱和六个顶点。

应用实例：在一些建筑装饰或特殊的机械零件设计中，可能会采用五棱锥的形状来满足特定的功能或美学需求。

更高边数的棱锥：

依此类推，底面为六边形、七边形等的棱锥分别称为六棱锥、七棱锥等，其面数、棱数和顶点数遵循一定规律。

面数等于底面边数加\(1\)，棱数是底面边数的\(2\)倍，顶点数等于底面边数加\(1\)。

按是否为正棱锥分类

正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。

特性

正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做正棱锥的斜高。

正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

应用实例：正四棱锥在建筑和艺术设计中较为常见，如一些亭子的顶部设计成正四棱锥的形状，既美观又具有一定的稳定性。

非正棱锥

定义：不满足正棱锥条件的棱锥就是非正棱锥。即底面不是正多边形，或者顶点在底面的射影不是底面多边形的中心，或者两者都不满足。

特性：非正棱锥的侧面形状和大小不一定相同，其性质相对较为复杂，需要根据具体的底面形状和顶点位置来分析。

应用实例：在一些不规则的建筑造型或特殊的工业模型中，可能会出现非正棱锥的形状，以满足特定的设计和功能要求。

一般棱锥的性质

棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。即若棱锥高为\(h\)，顶点到截面距离为\(h_1\)，底面面积为\(S\)，截面面积为\(S_1\)，则\(\frac{S_1}{S}=(\frac{h_1}{h})^2\)。

正棱锥的性质

正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高都相等。

正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

棱锥的表面积和体积计算

棱锥的表面积：棱锥的表面积等于底面积与侧面积之和。对于正棱锥，设底面正多边形的边长为\(a\)，底面周长为\(C\)，斜高为\(h'\)，底面积为\(S_{底}\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}Ch'\)，表面积\(S = S_{底}+S_{侧}\)。

棱锥的体积：棱锥的体积公式为\(V=\frac{1}{3}S_{底}h\)，其中\(S_{底}\)是底面面积，\(h\)是棱锥的高。这个公式可以通过实验或微积分等方法推导得出。例如，用一个三棱柱和三个等底等高的三棱锥做实验，可以发现三棱柱的体积是等底等高三棱锥体积的\(3\)倍。

棱台的定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。

斜高：对于正棱台，侧面等腰梯形的高叫做棱台的斜高。

对角面：过棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做棱台的对角面。

按底面多边形的边数分类

三棱台

定义：用一个平行于三棱锥底面的平面去截三棱锥，底面与截面之间的部分即为三棱台。

性质

有两个三角形的底面，三个梯形的侧面。

三条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似三角形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+S_{侧}\)，其中\(S_{\triangle上}\)、\(S_{\triangle下}\)分别是上、下底面三角形的面积，\(S_{侧}\)是三个梯形侧面的面积之和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+\sqrt{S_{\triangle上}S_{\triangle下}})\)，\(h\)为三棱台的高。

四棱台

定义：由平行于四棱锥底面的平面截四棱锥得到的几何体，它的上、下底面是四边形。

性质

有两个四边形的底面，四个梯形的侧面。

四条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似四边形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{四边形上}+S_{四边形下}+S_{侧}\)，\(S_{四边形上}\)、\(S_{四边形下}\)是上、下底面四边形的面积，\(S_{侧}\)为四个梯形侧面的面积和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{四边形上}+S_{四边形下}+\sqrt{S_{四边形上}S_{四边形下}})\)，\(h\)是四棱台的高。

五棱台

定义：用平行于五棱锥底面的平面去截五棱锥，所得到的底面和截面之间的部分称为五棱台，它的上、下底面是五边形。

性质

有两个五边形的底面，五个梯形的侧面。

五条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似五边形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{五边形上}+S_{五边形下}+S_{侧}\)，\(S_{五边形上}\)、\(S_{五边形下}\)分别为上、下底面五边形的面积，\(S_{侧}\)是五个梯形侧面的面积总和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{五边形上}+S_{五边形下}+\sqrt{S_{五边形上}S_{五边形下}})\)，\(h\)为五棱台的高。

按是否为正棱台分类

正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的上、下底面都是正多边形，且它们的中心重合，侧棱都相等，侧面都是全等的等腰梯形。

非正棱台：由非正棱锥截得的棱台。其底面不是正多边形，或者上、下底面中心不重合等，不满足正棱台的条件。

一般棱台的性质

棱台的上、下底面是相似多边形，且对应边互相平行。

棱台的侧面是梯形，侧棱延长后交于一点。

正棱台的性质

正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等。

正棱台的上、下底面中心的连线垂直于底面，这条线段就是棱台的高。

正棱台的高、斜高和两底面相应边心距组成一个直角梯形；正棱台的高、侧棱和两底面外接圆半径也组成一个直角梯形。

棱台的表面积

棱台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。对于正棱台，设上底面周长为\(C_1\)，下底面周长为\(C_2\)，斜高为\(h'\)，上底面面积为\(S_1\)，下底面面积为\(S_2\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}(C_1 + C_2)h'\)，表面积\(S = S_1+S_2+S_{侧}\)。