立体几何 08 棱台的定义、分类、性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

棱台的定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。

斜高：对于正棱台，侧面等腰梯形的高叫做棱台的斜高。

对角面：过棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做棱台的对角面。

按底面多边形的边数分类

三棱台

定义：用一个平行于三棱锥底面的平面去截三棱锥，底面与截面之间的部分即为三棱台。

性质

有两个三角形的底面，三个梯形的侧面。

三条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似三角形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+S_{侧}\)，其中\(S_{\triangle上}\)、\(S_{\triangle下}\)分别是上、下底面三角形的面积，\(S_{侧}\)是三个梯形侧面的面积之和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+\sqrt{S_{\triangle上}S_{\triangle下}})\)，\(h\)为三棱台的高。

四棱台

定义：由平行于四棱锥底面的平面截四棱锥得到的几何体，它的上、下底面是四边形。

性质

有两个四边形的底面，四个梯形的侧面。

四条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似四边形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{四边形上}+S_{四边形下}+S_{侧}\)，\(S_{四边形上}\)、\(S_{四边形下}\)是上、下底面四边形的面积，\(S_{侧}\)为四个梯形侧面的面积和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{四边形上}+S_{四边形下}+\sqrt{S_{四边形上}S_{四边形下}})\)，\(h\)是四棱台的高。

五棱台

定义：用平行于五棱锥底面的平面去截五棱锥，所得到的底面和截面之间的部分称为五棱台，它的上、下底面是五边形。

性质

有两个五边形的底面，五个梯形的侧面。

五条侧棱延长后交于一点。

上、下底面是相似五边形，对应边互相平行。

表面积和体积计算

表面积：\(S = S_{五边形上}+S_{五边形下}+S_{侧}\)，\(S_{五边形上}\)、\(S_{五边形下}\)分别为上、下底面五边形的面积，\(S_{侧}\)是五个梯形侧面的面积总和。

体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{五边形上}+S_{五边形下}+\sqrt{S_{五边形上}S_{五边形下}})\)，\(h\)为五棱台的高。

按是否为正棱台分类

正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的上、下底面都是正多边形，且它们的中心重合，侧棱都相等，侧面都是全等的等腰梯形。

非正棱台：由非正棱锥截得的棱台。其底面不是正多边形，或者上、下底面中心不重合等，不满足正棱台的条件。

一般棱台的性质

棱台的上、下底面是相似多边形，且对应边互相平行。

棱台的侧面是梯形，侧棱延长后交于一点。

正棱台的性质

正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等。

正棱台的上、下底面中心的连线垂直于底面，这条线段就是棱台的高。

正棱台的高、斜高和两底面相应边心距组成一个直角梯形；正棱台的高、侧棱和两底面外接圆半径也组成一个直角梯形。

棱台的表面积

棱台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。对于正棱台，设上底面周长为\(C_1\)，下底面周长为\(C_2\)，斜高为\(h'\)，上底面面积为\(S_1\)，下底面面积为\(S_2\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}(C_1 + C_2)h'\)，表面积\(S = S_1+S_2+S_{侧}\)。