函数 03 对勾函数与双刀函数

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一、对勾函数

对勾函数是一类形如 \( f(x) = ax + \frac{b}{x} \)（\( a,b \neq 0 \)）的函数，因图像形似“对勾”而得名。

定义域：\( x \neq 0 \)（分为 \( x > 0 \) 和 \( x < 0 \) 两个区间）。

图像特征：两支曲线分别位于第一、三象限（当 \( a,b > 0 \) 时）或第二、四象限（当 \( a,b < 0 \) 时）。

渐近线：\( x = 0 \)（y轴）和 \( y = ax \)（一次函数）。

单调性与最值：

当 \( a,b > 0 \) 时：\( x > 0 \) 时，在 \( (0, \sqrt{\frac{b}{a}}] \) 递减，在 \( [\sqrt{\frac{b}{a}}, +\infty) \) 递增，最小值为 \( 2\sqrt{ab} \)（当 \( x = \sqrt{\frac{b}{a}} \) 时）。

\( x < 0 \) 时，在 \( (-\infty, -\sqrt{\frac{b}{a}}] \) 递增，在 \( [-\sqrt{\frac{b}{a}}, 0) \) 递减，最大值为 \( -2\sqrt{ab} \)（当 \( x = -\sqrt{\frac{b}{a}} \) 时）。

当 \( a,b < 0 \) 时，单调性与上述相反，可通过变量替换转化为正数情况分析。

二、双刀函数

双刀函数是对勾函数的平移扩展，形如 \( f(x) = ax + \frac{b}{x + c} + d \)（\( a,b \neq 0 \)），图像可视为对勾函数平移后的“双刀”形态。

定义域：\( x \neq -c \)（分为 \( x < -c \) 和 \( x > -c \) 两个区间）。

图像特征：由对勾函数 \( f(t) = at + \frac{b}{t} \) 经平移得到（令 \( t = x + c \)，则 \( f(x) = a(t - c) + \frac{b}{t} + d = at + \frac{b}{t} + (d - ac) \)）。

渐近线：\( x = -c \)（垂直渐近线）和 \( y = ax + (d - ac) \)（斜渐近线）。

单调性与最值：每支曲线的单调性与对勾函数类似，通过换元 \( t = x + c \) 后，可转化为对勾函数的最值问题，极值点满足 \( at = \frac{b}{t} \)（即 \( t = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \)）。

三、例题解析

例题1：对勾函数的最值求解：求函数 \( f(x) = 2x + \frac{8}{x} \)（\( x > 0 \)）的最小值。

由基本不等式：\( 2x + \frac{8}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \frac{8}{x}} = 2\sqrt{16} = 8 \)。

当且仅当 \( 2x = \frac{8}{x} \)，即 \( x^2 = 4 \)（\( x > 0 \)），得 \( x = 2 \) 时取等号。

答案：最小值为 \( 8 \)。

例题2：对勾函数的单调性分析：判断函数 \( f(x) = -x - \frac{1}{x} \)（\( x > 0 \)）的单调性。

变形为 \( f(x) = -\left(x + \frac{1}{x}\right) \)，其中 \( g(x) = x + \frac{1}{x} \) 在 \( (0,1] \) 递减，在 \( [1, +\infty) \) 递增。

由复合函数性质，\( f(x) = -g(x) \) 单调性与 \( g(x) \) 相反：在 \( (0,1] \) 递增，在 \( [1, +\infty) \) 递减。

答案：在 \( (0,1] \) 单调递增，在 \( [1, +\infty) \) 单调递减。

例题3：双刀函数的换元转化：求函数 \( f(x) = x + \frac{4}{x - 1} \)（\( x > 1 \)）的最小值。

令 \( t = x - 1 \)（\( t > 0 \)），则 \( x = t + 1 \)，函数转化为：

\( f(t) = (t + 1) + \frac{4}{t} = t + \frac{4}{t} + 1 \)。

由基本不等式：\( t + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} = 4 \)，当且仅当 \( t = 2 \) 时取等号。

此时 \( x = t + 1 = 3 \)，最小值为 \( 4 + 1 = 5 \)。

答案：最小值为 \( 5 \)。

例题4：含参数的对勾函数最值：已知 \( x > 0 \)，函数 \( f(x) = ax + \frac{1}{x} \) 的最小值为 \( 2 \)，求 \( a \) 的值。

由基本不等式：\( ax + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{ax \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{a} \)（需 \( a > 0 \)）。

已知最小值为 \( 2 \)，故 \( 2\sqrt{a} = 2 \)，解得 \( a = 1 \)。

答案：\( a = 1 \)。

例题5：双刀函数的定义域与最值综合：求函数 \( f(x) = 2x + \frac{3}{x + 2} \) 在 \( x \geq 1 \) 时的最小值。

令 \( t = x + 2 \)（\( t \geq 3 \)），则 \( x = t - 2 \)，函数转化为：

\( f(t) = 2(t - 2) + \frac{3}{t} = 2t + \frac{3}{t} - 4 \)。

求导分析单调性：\( f'(t) = 2 - \frac{3}{t^2} \)，当 \( t \geq 3 \) 时，\( f'(t) > 0 \)，故 \( f(t) \) 在 \( [3, +\infty) \) 递增。

最小值在 \( t = 3 \)（即 \( x = 1 \)）时取得：\( f(3) = 6 + 1 - 4 = 3 \)。

答案：最小值为 \( 3 \)。

总结

对勾函数与双刀函数的核心是“整式 + 反比例分式”的结构，解题时通过换元转化为基本形式，结合基本不等式或导数分析单调性与最值，平移变换是联系两者的关键纽带。

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