函数 03 二次函数的根的分布问题与恒成立问题

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二次函数的根的分布问题与恒成立问题

二次函数是高中数学的核心内容，其根的分布问题（即实根在特定区间内的位置关系）和恒成立问题（即函数值在某区间内始终满足特定不等式），本质是通过二次函数的图像特征（开口方向、顶点、对称轴、区间端点函数值）和代数性质（判别式、韦达定理）建立条件，进而求解参数范围或验证结论。以下分两部分详细拆解，均结合“图像分析+代数条件推导”，确保逻辑连贯且可操作。

一、二次函数的根的分布问题

二次函数的一般形式为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），其图像是抛物线，根的分布问题本质是“抛物线与x轴的交点（即方程 \( f(x)=0 \) 的实根）落在指定区间内”的条件分析。需先明确核心分析工具：

1. 判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)：决定是否有实根（\( \Delta \geq 0 \) 有实根，\( \Delta > 0 \) 有两个不等实根，\( \Delta = 0 \) 有两个相等实根）；

2. 开口方向 \( a \)：\( a > 0 \) 抛物线开口向上，\( a < 0 \) 开口向下；

3. 对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \)：决定抛物线的“中心轴”位置，影响根的对称分布；

4. 区间端点函数值 \( f(m)、f(n) \)（\( m < n \) 为区间端点）：反映抛物线在区间边界的“高低”，辅助判断交点是否在区间内；

5. 韦达定理（根与系数关系）：若根为 \( x_1、x_2 \)，则 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)，\( x_1x_2 = \frac{c}{a} \)，可辅助分析根的和、积与区间的关系。

以下按“常见区间类型”分类讲解，每种情况均先明确“问题描述”，再通过“图像特征”推导“代数条件”。

1. 两根均在区间 \( (m, n) \) 内（“内夹型”）

问题描述：

方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根 \( x_1、x_2 \)，且满足 \( m < x_1 < x_2 < n \)（注意：若两根相等，需额外加“判别式 \( \Delta = 0 \)”，且对称轴对应的函数值为0）。

图像特征（以 \( a > 0 \) 为例）：

抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在区间 \( (m, n) \) 内部。此时需满足4个核心条件：

1. 首先有两个实根，故判别式 \( \Delta > 0 \)（若允许等根则 \( \Delta \geq 0 \)）；

2. 抛物线在区间两端“高于x轴”（因开口向上，若区间端点在交点外侧，函数值必为正），故 \( f(m) > 0 \) 且 \( f(n) > 0 \)；

3. 对称轴需在区间 \( (m, n) \) 内（否则两根会偏向区间一侧，无法同时在内部），故 \( m < -\frac{b}{2a} < n \)。

代数条件（分开口方向）：

当 \( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(m) > 0 \\ f(n) > 0 \\ m < -\frac{b}{2a} < n \end{cases} \)

当 \( a < 0 \) 时（开口向下，区间端点函数值需为负）：\( \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(m) < 0 \\ f(n) < 0 \\ m < -\frac{b}{2a} < n \end{cases} \)

示例：

若 \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)，判断是否存在 \( m=0、n=4 \)，使两根在 \( (0,4) \) 内。

解：\( a=1>0 \)，\( \Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 > 0 \)；\( f(0) = -3 < 0 \)（不满足 \( f(m) > 0 \)），故两根不在 \( (0,4) \) 内（实际根为 \( x=-1 \) 和 \( x=3 \)，\( x=-1 \) 在区间外）。

2. 两根均在区间 \( (-\infty, m] \) 或 \( [n, +\infty) \) 内（“外离型”）

问题描述（以“均在 \( (-\infty, m] \)”为例）：

方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根 \( x_1、x_2 \)，且满足 \( x_1 \leq x_2 \leq m \)（“均在 \( [n, +\infty) \)”类似，仅需调整对称轴和端点函数值方向）。

图像特征（以 \( a > 0 \)、“均在 \( (-\infty, m] \)”为例）：

抛物线开口向上，两个交点均在区间 \( (-\infty, m] \) 左侧（或端点）。需满足3个核心条件：

1. 有实根，故 \( \Delta \geq 0 \)；

2. 对称轴在 \( m \) 的左侧（确保两根整体偏左），故 \( -\frac{b}{2a} \leq m \)；

3. 区间端点 \( m \) 处的函数值非负（开口向上，若 \( m \) 在对称轴右侧，函数值必覆盖两根外侧，需为正以保证交点在左侧），故 \( f(m) \geq 0 \)。

代数条件（分开口方向和区间）：

情况1：两根均在 \( (-\infty, m] \) 内

\( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \leq m \\ f(m) \geq 0 \end{cases} \)

\( a < 0 \) 时（开口向下，端点函数值需非正）：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \leq m \\ f(m) \leq 0 \end{cases} \)

情况2：两根均在 \( [n, +\infty) \) 内

\( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \geq n \\ f(n) \geq 0 \end{cases} \)

\( a < 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \geq n \\ f(n) \leq 0 \end{cases} \)

示例：

若 \( f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \)，求 \( m \) 的范围，使两根均在 \( (-\infty, m] \) 内。

解：\( a=2>0 \)，\( \Delta = 16 + 48 = 64 \geq 0 \)；对称轴 \( x = -\frac{4}{2×2} = -1 \)，故需 \( -1 \leq m \)；\( f(m) = 2m^2 + 4m - 6 \geq 0 \)，解得 \( m \geq 1 \) 或 \( m \leq -3 \)。结合 \( -1 \leq m \)，最终 \( m \geq 1 \)（实际根为 \( x=1 \) 和 \( x=-3 \)，当 \( m \geq 1 \) 时，两根均 ≤ m）。

3. 一根在区间 \( (m, n) \) 内，另一根在区间 \( (p, q) \) 内（“区间分离型”，且 \( (m, n) \) 与 \( (p, q) \) 无交集）

问题描述：

方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根，且 \( x_1 \in (m, n) \)，\( x_2 \in (p, q) \)（例如 \( n < p \)，即两个区间左、右分离）。

图像特征（以 \( a > 0 \)、\( n < p \) 为例）：

抛物线开口向上，一个交点在 \( (m, n) \) 内，另一个在 \( (p, q) \) 内。核心逻辑是“区间端点函数值异号”——因抛物线连续，若区间两端函数值一正一负，必存在一个交点在区间内。

需满足：\( f(m) \cdot f(n) < 0 \)（保证 \( (m, n) \) 内有一根）且 \( f(p) \cdot f(q) < 0 \)（保证 \( (p, q) \) 内有一根）。

（注：无需额外加判别式，因“两端异号”已隐含 \( \Delta > 0 \)，若区间端点为根，可将“<”改为“≤”）

代数条件（与开口方向无关，仅需端点异号）：

无论 \( a > 0 \) 还是 \( a < 0 \)，只需满足“两个区间各自的端点函数值异号”：

\( f(m) \cdot f(n) < 0 \) 且 \( f(p) \cdot f(q) < 0 \)（若允许根在区间端点，改为“≤0”）。

示例：

若 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，判断根是否分别在 \( (0,1) \) 和 \( (2,3) \) 内。

解：\( f(0)=2 \)，\( f(1)=0 \)，故 \( f(0) \cdot f(1) = 0 \)（说明 \( x=1 \) 是根，在 \( (0,1] \) 内）；\( f(2)=0 \)，\( f(3)=2 \)，故 \( f(2) \cdot f(3) = 0 \)（说明 \( x=2 \) 是根，在 \( [2,3) \) 内）。因此两根分别在 \( (0,1] \) 和 \( [2,3) \) 内，符合“区间分离”的要求。

4. 一根在区间 \( (m, n) \) 内，另一根等于 \( m \) 或 \( n \)（“端点含根型”）

问题描述：

方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有一根为 \( m \)（或 \( n \)），另一根在 \( (m, n) \) 内（例如 \( x_1 = m \)，\( x_2 \in (m, n) \)）。

图像特征：

抛物线过点 \( (m, 0) \)（即 \( f(m)=0 \)），另一交点在 \( (m, n) \) 内。需满足两个条件：

1. 端点为根：\( f(m) = 0 \)；

2. 另一根在 \( (m, n) \) 内：可通过“韦达定理求另一根”或“区间端点函数值异号”判断。

方法1（韦达定理）：设另一根为 \( x_2 \)，则 \( x_2 = -\frac{b}{a} - m \)（由 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)），故需 \( m < x_2 < n \)；

方法2（函数值）：因 \( f(m)=0 \)，只需保证 \( f(n) \) 与抛物线开口方向“异向”（例如 \( a > 0 \) 时，\( f(n) > 0 \) 则另一根在 \( (m, n) \) 内）。

代数条件：

以“\( x_1 = m \)，\( x_2 \in (m, n) \)”为例：

\( \begin{cases} f(m) = 0 \\ m < -\frac{b}{a} - m < n \end{cases} \)（韦达定理法），或 \( \begin{cases} f(m) = 0 \\ f(n) \cdot a > 0 \end{cases} \)（函数值法，因 \( a > 0 \) 时 \( f(n) > 0 \)，\( a < 0 \) 时 \( f(n) < 0 \)，故乘积为正）。

示例：

若 \( f(x) = x^2 - (k+1)x + k \)，已知一根为1，另一根在 \( (1, 3) \) 内，求 \( k \) 的范围。

解：\( f(1) = 1 - (k+1) + k = 0 \)（确认1是根）；另一根 \( x_2 = k \)（由韦达定理 \( x_1x_2 = k \)，故 \( x_2 = k \)）；需 \( 1 < k < 3 \)，故 \( k \in (1, 3) \)。

二、二次函数的恒成立问题

二次函数的恒成立问题，核心是“函数值 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 在指定区间内（或全体实数域）始终满足 \( f(x) > 0 \)、\( f(x) \geq 0 \)、\( f(x) < 0 \) 或 \( f(x) \leq 0 \)”，需结合“开口方向”和“函数最值”分析——因二次函数在区间内的最值必在“顶点”或“区间端点”处取得（若区间为全体实数，最值仅在顶点处）。

以下按“区间类型”（全体实数、闭区间、开区间）分类讲解，均以“\( f(x) > 0 \) 恒成立”为例，其他不等号（\( \geq、<、\leq \)）可类比推导。

1. 在全体实数域 \( \mathbb{R} \) 上恒成立（“无界区间恒成立”）

问题描述：对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，均有 \( ax^2 + bx + c > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

图像特征与条件推导：

二次函数在全体实数上的图像是“无限延伸的抛物线”，要使函数值始终为正，需满足两个核心条件：

1. 抛物线开口向上（若开口向下，x趋向±∞时函数值趋向-∞，无法恒正），即 \( a > 0 \)；

2. 抛物线与x轴无交点（若有交点，交点处函数值为0，不满足“>0”；若允许“≥0”，则可相切，即交点处函数值为0），即 \( \Delta < 0 \)（若为“\( f(x) \geq 0 \) 恒成立”，则 \( \Delta \leq 0 \)）。

不同不等号的恒成立条件：

\( f(x) > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \)

\( f(x) \geq 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \)

\( f(x) < 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \)

\( f(x) \leq 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \)

特殊情况：一次函数的“伪装”

若 \( a = 0 \)，则 \( f(x) = bx + c \) 是一次函数（或常数函数），此时“恒成立”条件需单独分析：

若 \( f(x) > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：需 \( b = 0 \) 且 \( c > 0 \)（一次函数若斜率不为0，x趋向±∞时函数值必趋向±∞，无法恒正）；

若 \( f(x) < 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：需 \( b = 0 \) 且 \( c < 0 \)。

示例：

若 \( (k-1)x^2 + 2x + 1 > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立，求 \( k \) 的范围。

解：分两种情况：

1. 若 \( k-1 = 0 \)（即 \( k=1 \)）：函数变为 \( 2x + 1 \)，是一次函数，x趋向-∞时函数值趋向-∞，不满足恒正；

2. 若 \( k-1 \neq 0 \)（即二次函数）：需 \( \begin{cases} k-1 > 0 \\ \Delta = 2^2 - 4(k-1)×1 < 0 \end{cases} \)，解得 \( k > 2 \)。

综上，\( k \in (2, +\infty) \)。

2. 在闭区间 \( [m, n] \) 上恒成立（“有界区间恒成立”）

问题描述：对任意 \( x \in [m, n] \)，均有 \( f(x) > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

核心逻辑：二次函数在闭区间上的最值仅在“对称轴”或“区间端点”处取得，因此“恒成立”等价于“区间内的所有函数值满足不等号”，即“区间内的最值满足不等号”——例如：

若 \( f(x) > 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立，则需 \( f(x) \) 在 \( [m, n] \) 上的最小值 \( > 0 \)；

若 \( f(x) < 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立，则需 \( f(x) \) 在 \( [m, n] \) 上的最大值 \( < 0 \)。

因此，关键是先判断“对称轴是否在区间内”，进而确定最值的位置：

分情况推导（以 \( a > 0 \)，\( f(x) > 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立为例）：

\( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，最小值在“离对称轴最近的点”处取得，分两种情况：

1. 对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \leq m \)（对称轴在区间左侧）：

函数在 \( [m, n] \) 上单调递增，最小值在左端点 \( m \) 处，故需 \( f(m) > 0 \)；

2. 对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \geq n \)（对称轴在区间右侧）：

函数在 \( [m, n] \) 上单调递减，最小值在右端点 \( n \) 处，故需 \( f(n) > 0 \)；

3. 对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \in (m, n) \)（对称轴在区间内）：

函数在区间内先减后增，最小值在顶点处（即对称轴对应的函数值），故需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)（顶点纵坐标为 \( \frac{4ac - b^2}{4a} \)，故也可写为 \( \frac{4ac - b^2}{4a} > 0 \)）。

其他情况类比（以 \( a < 0 \)，\( f(x) < 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立为例）：

\( a < 0 \) 时，抛物线开口向下，最大值在“离对称轴最近的点”处取得：

1. 对称轴 \( \leq m \)：函数在 \( [m, n] \) 上单调递减，最大值在 \( m \) 处，需 \( f(m) < 0 \)；

2. 对称轴 \( \geq n \)：函数在 \( [m, n] \) 上单调递增，最大值在 \( n \) 处，需 \( f(n) < 0 \)；

3. 对称轴 \( \in (m, n) \)：函数在区间内先增后减，最大值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) < 0 \)。

示例：

若 \( f(x) = x^2 - 2x + 2 > k \) 在 \( [0, 3] \) 上恒成立，求 \( k \) 的范围。

解：原不等式等价于 \( x^2 - 2x + (2 - k) > 0 \) 在 \( [0, 3] \) 上恒成立，设 \( g(x) = x^2 - 2x + (2 - k) \)（\( a=1>0 \)）。

对称轴 \( x = 1 \in [0, 3] \)，故最小值在顶点处：\( g(1) = 1 - 2 + (2 - k) = 1 - k \)。

需 \( 1 - k > 0 \)，即 \( k < 1 \)，故 \( k \in (-\infty, 1) \)。

3. 在开区间 \( (m, n) \) 上恒成立（“开区间恒成立”）

问题描述：对任意 \( x \in (m, n) \)，均有 \( f(x) > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

与闭区间的区别：

开区间不含端点，因此需分“对称轴是否在区间内”，且需验证“区间端点的极限趋势”（若区间端点为无穷，需验证x趋向±∞时的函数值）。

分情况推导（以 \( a > 0 \)，\( f(x) > 0 \) 在 \( (m, n) \) 上恒成立为例）：

1. 若 \( (m, n) = (-\infty, +\infty) \)：即“全体实数恒成立”，条件同前（\( a > 0 \) 且 \( \Delta < 0 \)）；

2. 若 \( (m, n) = (m, +\infty) \)（右开区间）：

对称轴 \( \leq m \)：函数在 \( (m, +\infty) \) 上单调递增，需 \( \lim_{x \to m^+} f(x) \geq 0 \)（因x趋近于m时函数值不小于0，且单调递增，后续均大于0），即 \( f(m) \geq 0 \)；

对称轴 \( > m \)：函数在 \( (m, -\frac{b}{2a}) \) 递减、\( (-\frac{b}{2a}, +\infty) \) 递增，最小值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)（顶点处函数值正，且x趋向+∞时，\( a > 0 \) 故函数值趋向+∞，满足恒正）；

3. 若 \( (m, n) = (-\infty, n) \)（左开区间）：

对称轴 \( \geq n \)：函数在 \( (-\infty, n) \) 上单调递减，需 \( \lim_{x \to n^-} f(x) \geq 0 \)，即 \( f(n) \geq 0 \)；

对称轴 \( < n \)：函数在 \( (-\infty, -\frac{b}{2a}) \) 递减、\( (-\frac{b}{2a}, n) \) 递增，最小值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)；

4. 若 \( (m, n) \) 是有限开区间（如 \( (1, 3) \)）：

与闭区间类似，但需注意：若对称轴在区间内，仍需顶点处函数值>0；若对称轴在区间外，需“趋近于端点时的函数值≥0”（因开区间不含端点，端点处函数值可为0，但区间内需正）。例如 \( a > 0 \) 且对称轴 \( \leq m \)，需 \( f(m) \geq 0 \)（x趋近于m+时函数值≥0，且单调递增，区间内均正）。

示例：

若 \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 > 0 \) 在 \( (1, +\infty) \) 上恒成立，验证是否成立。

解：\( a=2>0 \)，对称轴 \( x = 1 \)（即 \( \leq m=1 \)）；\( f(1) = 2 - 4 + 1 = -1 < 0 \)，故 \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 < 0 \)，即x趋近于1+时函数值为负，不满足恒成立（实际x=1.5时，\( f(1.5)=4.5 - 6 + 1 = -0.5 < 0 \)）。