函数 03 函数图象变换：平移、对称、翻折、缩放、旋转

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一、函数图象变换：平移

1. 函数图象的平移原理阐述：函数图象的平移是基于点的平移

函数图象的平移是基于点的平移。在平面直角坐标系中，一个点\((x,y)\)进行平移时，其坐标会根据平移的方向和距离发生相应的改变。对于函数图象，图象上的每一个点都遵循相同的平移规则。

设原函数为\(y = f(x)\)，我们可以把函数图象看成是由无数个点\((x,f(x))\)组成的集合。当图象进行平移时，这些点的坐标就会发生变化。

2. 水平平移（对自变量：左加、右减）

向左平移：\(y = f(x + h)\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向左平移\(h\)（\(h>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x + h,y)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x + h)\)。

例如，对于函数\(y=(x - 1)^{2}\)，若将其向左平移\(2\)个单位，那么\(x\)变为\(x+ 2\)，新的函数为\(y=(x + 2 - 1)^{2}=(x + 1)^{2}\)。从图象上来看，\(y=(x - 1)^{2}\)的对称轴是\(x = 1\)，而\(y=(x + 1)^{2}\)的对称轴是\(x=-1\)，整个抛物线向左移动了\(2\)个单位。

向右平移：\(y = f(x - h)\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向右平移\(h\)（\(h>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x - h,y)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x - h)\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}+2x\)，若将其向右平移\(3\)个单位，把\(x\)变为\(x - 3\)，则新函数为\(y=(x - 3)^{2}+2(x - 3)=x^{2}-6x + 9+2x - 6=x^{2}-4x + 3\)。从图象上看，原函数的对称轴等特征会相应地向右移动\(3\)个单位。

3. 垂直平移（对函数值：上加、下减）

向上平移：\(y = f(x)+k\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向上平移\(k\)（\(k>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x,y + k)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x)+k\)。

例如，对于函数\(y = \sin x\)，若将其向上平移\(1\)个单位，新的函数为\(y=\sin x+1\)。从图象上看，\(y = \sin x\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)，而\(y=\sin x + 1\)的最大值变为\(2\)，最小值变为\(0\)，整个正弦曲线向上移动了\(1\)个单位。

向下平移：\(y = f(x)-k\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向下平移\(k\)（\(k>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x,y - k)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x)-k\)。

例如，对于函数\(y = 2x - 1\)，若将其向下平移\(2\)个单位，新的函数为\(y = 2x-1-2=2x - 3\)。从图象上看，直线\(y = 2x - 1\)向下移动了\(2\)个单位。

4. 组合平移：\(y = f(x + h)+k\)

函数图象可以同时进行水平和垂直方向的平移。例如，函数\(y = f(x)\)先向左平移\(h\)（\(h>0\)）个单位，再向上平移\(k\)（\(k>0\)）个单位，那么函数表达式变为\(y = f(x + h)+k\)。顺序不同，结果可能不同，不过在单纯的平移组合中，先左右后上下或者先上下后左右的最终图象位置是相同的。

例如，函数\(y = x^{2}\)先向左平移\(3\)个单位得到\(y=(x + 3)^{2}\)，再向上平移\(2\)个单位，最终函数为\(y=(x + 3)^{2}+2\)。如果先向上平移\(2\)个单位得到\(y = x^{2}+2\)，再向左平移\(3\)个单位，最终函数同样为\(y=(x + 3)^{2}+2\)。

二、函数图象变换：对称

1. 关于\(x\)轴对称：\(y = f(x)\)--关于\(x\)轴对称-->\(y=-f(x)\)

原理：对于平面直角坐标系中的任意一点\((x,y)\)，它关于\(x\)轴的对称点为\((x,-y)\)。那么对于函数\(y = f(x)\)，图象上的每一点\((x,f(x))\)关于\(x\)轴的对称点为\((x,-f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于\(x\)轴对称的函数为\(y=-f(x)\)。

举例：如函数\(y = 2x + 1\)，关于\(x\)轴对称的函数是\(y=-(2x + 1)= - 2x - 1\)。从图象角度看，\(y = 2x+1\)的图象是一条斜率为\(2\)，截距为\(1\)的直线，位于一、二、三象限；而\(y=-2x - 1\)的图象是一条斜率为\(-2\)，截距为\(-1\)的直线，位于二、三、四象限。

2. 关于\(y\)轴对称：\(y = f(x)\)--关于\(y\)轴对称-->\(y = f(-x)\)

原理：平面直角坐标系中一点\((x,y)\)关于\(y\)轴的对称点是\((-x,y)\)。对于函数\(y = f(x)\)，图象上的点\((x,f(x))\)关于\(y\)轴的对称点是\((-x,f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于\(y\)轴对称的函数是\(y = f(-x)\)。

举例：对于函数\(y=x^{2}-2x\)，关于\(y\)轴对称的函数是\(y=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x\)。在图象上，\(y=x^{2}-2x\)的对称轴是\(x = 1\)，开口向上；而\(y=x^{2}+2x\)的对称轴是\(x=-1\)，开口同样向上。

3. 关于原点对称：\(y = f(x)\)--关于原点（0,0）对称-->\(y=-f(-x)\)

原理：在平面直角坐标系中，点\((x,y)\)关于原点的对称点是\((-x,-y)\)。对于函数\(y = f(x)\)，图象上的点\((x,f(x))\)关于原点的对称点是\((-x,-f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于原点对称的函数是\(y=-f(-x)\)。

举例：考虑函数\(y = x^{3}\)，关于原点对称的函数还是\(y = x^{3}\)，因为\(-f(-x)=-(-x)^{3}=x^{3}\)。从图象上看，\(y = x^{3}\)的图象是一个奇函数的图象，关于原点对称，当\(x>0\)时，函数单调递增；当\(x<0\)时，函数也单调递增。

4. 关于直线\(y = x\)对称（反函数相关）

原理：若点\((a,b)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，那么点\((b,a)\)就在它关于直线\(y = x\)对称的函数图象上。

两个函数\(y = f(x)\)与\(y = f^{-1}(x)\)（如果\(f^{-1}(x)\)存在）的图象关于直线\(y = x\)对称。

举例：对于函数\(y = 2x\)（\(x\in R\)），它的反函数是\(y=\frac{1}{2}x\)（\(x\in R\)），这两个函数的图象关于直线\(y = x\)对称。在图象上，\(y = 2x\)是一条斜率为\(2\)的直线，\(y=\frac{1}{2}x\)是一条斜率为\(\frac{1}{2}\)的直线，它们的交点在直线\(y = x\)上。

5. 关于直线\(y=-x\)对称

原理：平面直角坐标系中的点\((x,y)\)关于直线\(y=-x\)的对称点是\((-y,-x)\)。对于函数\(y = f(x)\)，其图象上的点\((x,f(x))\)关于直线\(y=-x\)的对称点是\((-f(x),-x)\)，由此可以推导出关于直线\(y=-x\)对称的函数表达式。

举例：设函数\(y = x + 1\)，设其关于直线\(y=-x\)对称的函数为\(y = g(x)\)。若\((x,y)\)在\(y = x + 1\)上，则其关于\(y=-x\)的对称点\((-y,-x)\)在\(y = g(x)\)上，即\(-x=-y + 1\)，整理得\(y=-x - 1\)，所以\(y = x + 1\)关于直线\(y=-x\)对称的函数是\(y=-x - 1\)。

三、函数图象变换：翻折

1. 关于\(x\)轴翻折：\(y=-f(x)\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，将其图象关于\(x\)轴翻折，图象上的点\((x,y)\)变为\((x, - y)\)。所以翻折后的函数表达式为\(y=-f(x)\)。

举例：设函数\(y = 2x + 1\)，将它关于\(x\)轴翻折后，得到的函数为\(y =-(2x + 1)= - 2x - 1\)。从图象上看，原函数\(y = 2x+1\)是一条斜率为\(2\)、截距为\(1\)的直线，经过一、二、三象限；翻折后的函数\(y=-2x - 1\)是一条斜率为\(-2\)、截距为\(-1\)的直线，经过二、三、四象限。

2. 关于\(y\)轴翻折：\(y = f(-x)\)

原理：当把函数\(y = f(x)\)的图象关于\(y\)轴翻折时，图象上的点\((x,y)\)变为\(( - x,y)\)，那么翻折后的函数表达式为\(y = f(-x)\)。

举例：对于函数\(y=(x - 1)^{2}\)，关于\(y\)轴翻折后的函数是\(y =(-x - 1)^{2}=(x + 1)^{2}\)。原函数\(y=(x - 1)^{2}\)的对称轴是\(x = 1\)，顶点坐标为\((1,0)\)；翻折后的函数\(y=(x + 1)^{2}\)的对称轴是\(x=-1\)，顶点坐标为\(( - 1,0)\)。

3. 绝对值函数引起的翻折：\(y = |f(x)|\)

原理：当\(f(x)\geq0\)时，\(y = |f(x)|=f(x)\)，函数图象不变；当\(f(x)<0\)时，\(y = |f(x)|=-f(x)\)，这意味着函数图象在\(f(x)<0\)的部分关于\(x\)轴进行翻折。

举例：设函数\(y = x - 1\)，那么\(y = |x - 1|\)的图象是这样得到的：当\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)时，\(y = x - 1\)；当\(x - 1<0\)，即\(x<1\)时，\(y =-(x - 1)= - x + 1\)。所以\(y = |x - 1|\)的图象是将\(y = x - 1\)在\(x<1\)部分关于\(x\)轴翻折得到的，其图象呈“V”字形，顶点坐标为\((1,0)\)。

4. 绝对值函数引起的翻折：\(y = f(|x|)\)

原理：因为\(y = f(|x|)\)满足\(y = f(|x|)=f(x)\)（当\(x\geq0\)）和\(y = f(|x|)=f(-x)\)（当\(x<0\)），所以函数图象是将\(y = f(x)\)（\(x\geq0\)）的部分保留，然后关于\(y\)轴进行对称得到完整的图象。

举例：对于函数\(y = x^{2}-2x\)，则\(y = x^{2}-2|x|\)的图象是这样得到的：当\(x\geq0\)时，\(y = x^{2}-2x\)；当\(x<0\)时，\(y = x^{2}+2x\)。其图象关于\(y\)轴对称，在\(y\)轴右侧是\(y = x^{2}-2x\)的图象，在\(y\)轴左侧是\(y = x^{2}+2x\)的图象，整体图象呈“W”字形。

四、函数图象变换：缩放

1. 纵坐标缩放（沿\(y\)轴方向）：\(y = Af(x)\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，若进行纵坐标缩放，设缩放倍数为\(A\)（\(A\neq0\)），函数表达式变为\(y = Af(x)\)。

当\(A>1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((x, Ay)\)，这意味着函数图象在\(y\)轴方向上伸长；

当\(0 < A < 1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((x, Ay)\)，函数图象在\(y\)轴方向上缩短。

举例：对于函数\(y = \sin x\)，若将其纵坐标伸长为原来的\(2\)倍，即\(A = 2\)，得到的函数为\(y = 2\sin x\)。\(y=\sin x\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)，而\(y = 2\sin x\)的最大值变为\(2\)，最小值变为\(-2\)。从图象上看，\(y = 2\sin x\)的波形在\(y\)轴方向上比\(y=\sin x\)更加“伸展”。

应用场景：在物理学中，比如研究简谐振动\(y = A\sin(\omega t+\varphi)\)，其中\(A\)就是纵坐标缩放系数，它表示振动的振幅。通过改变\(A\)的值，可以改变振动的幅度大小。

2. 横坐标缩放（沿\(x\)轴方向）：\(y = f(\omega x)\)或\(y = f(\frac{x}{\omega})\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，设横坐标缩放倍数为\(\omega\)（\(\omega\neq0\)）。

当\(\omega>1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega},y)\)，函数图象在\(x\)轴方向上缩短；

当\(0 < \omega < 1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega},y)\)，函数图象在\(x\)轴方向上伸长。

此时函数表达式变为\(y = f(\omega x)\)或\(y = f(\frac{x}{\omega})\)（具体根据\(\omega\)与\(1\)的大小关系来确定）。

举例：对于函数\(y=\cos x\)，若将其横坐标伸长为原来的\(2\)倍，即\(\omega=\frac{1}{2}\)，得到的函数为\(y=\cos(\frac{x}{2})\)。\(y = \cos x\)的周期是\(2\pi\)，而\(y=\cos(\frac{x}{2})\)的周期变为\(4\pi\)。从图象上看，\(y=\cos(\frac{x}{2})\)的波形在\(x\)轴方向上比\(y = \cos x\)更加“伸展”。

应用场景：在信号处理领域，对于一个信号函数，横坐标缩放可以改变信号的频率。例如，在音频信号处理中，改变横坐标缩放倍数可以实现音频的变调效果。如果加快音频信号的播放速度（相当于横坐标缩短），音调会变高；反之，减慢播放速度（相当于横坐标伸长），音调会变低。

3. 组合缩放（同时进行横纵坐标缩放）：\(y = Af(\omega x)\)

原理：当函数\(y = f(x)\)同时进行横纵坐标缩放时，设横坐标缩放倍数为\(\omega\)，纵坐标缩放倍数为\(A\)，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega}, Ay)\)，此时函数表达式变为\(y = Af(\omega x)\)。

举例：对于函数\(y = x^{2}\)，若横坐标缩短为原来的\(\frac{1}{3}\)，纵坐标伸长为原来的\(4\)倍，即\(\omega = 3\)，\(A = 4\)，得到的函数为\(y = 4\times(3x)^{2}=36x^{2}\)。从图象上看，抛物线的开口变得更窄（因为横坐标缩短）且更“高瘦”（因为纵坐标伸长）。

五、二维平面中绕原点旋转的坐标变换规则

逆时针旋转\(θ\)角度

设平面直角坐标系中有一点\(P(x,y)\)，将其绕原点逆时针旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y')\)。

根据三角函数的知识，我们可以得到以下坐标变换公式：

\(x' = x\cosθ - y\sinθ\)

\(y' = x\sinθ + y\cosθ\)

例如，当\(θ = 90^{\circ}\)（\(\frac{\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ = 1\)，则\(x'=-y\)，\(y' = x\)，这与前面提到的绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)的坐标变换规则一致。

当\(θ = 180^{\circ}\)（\(\pi\)弧度）时，\(\cosθ=- 1\)，\(\sinθ = 0\)，所以\(x'=-x\)，\(y'=-y\)。

当\(θ = 270^{\circ}\)（\(\frac{3\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ=-1\)，则\(x' = y\)，\(y'=-x\)。

顺时针旋转\(θ\)角度

若将点\(P(x,y)\)绕原点顺时针旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y')\)，则坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ + y\sinθ\)

\(y'=-x\sinθ + y\cosθ\)

例如，当\(θ = 90^{\circ}\)（\(\frac{\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ = 1\)，此时\(x' = y\)，\(y'=-x\)，这与逆时针旋转\(270^{\circ}\)的结果相同，因为顺时针旋转\(90^{\circ}\)和逆时针旋转\(270^{\circ}\)的最终位置是一样的。

六、三维空间中的旋转坐标变换规则（绕坐标轴旋转）

绕\(x\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

设空间中有一点\(P(x,y,z)\)，绕\(x\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\)

\(y' = y\cosθ - z\sinθ\)

\(z' = y\sinθ + z\cosθ\)

绕\(y\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

对于点\(P(x,y,z)\)，绕\(y\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ + z\sinθ\)

\(y' = y\)

\(z'=-x\sinθ + z\cosθ\)

绕\(z\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

若点\(P(x,y,z)\)绕\(z\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ - y\sinθ\)

\(y' = x\sinθ + y\cosθ\)

\(z' = z\)

七、函数图象绕原点（0,0）旋转

1. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，根据前面提到的旋转坐标变换规则，\(x'=-y\)，\(y' = x\)，即\(x = y'\)，\(y=-x'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(y = f(x)\)可变为\(-x'=f(y')\)，那么旋转后的函数为\(y=-f^{-1}(x)\)（这里\(f^{-1}(x)\)表示\(f(x)\)的反函数）。

例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，先求出它的反函数，令\(y = 2x+1\)，则\(x=\frac{y - 1}{2}\)，即反函数为\(y=\frac{x - 1}{2}\)。绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后的函数为\(y =-\frac{x - 1}{2}\)。

2. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，坐标变换规则为\(x'=-x\)，\(y'=-y\)，即\(x=-x'\)，\(y=-y'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(-y'=f(-x')\)，即旋转后的函数为\(y=-f(-x)\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后，函数变为\(y=-(-x)^{2}=-x^{2}\)。

3. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，坐标变换规则为\(x' = y\)，\(y'=-x\)，即\(x=-y'\)，\(y = x'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(x'=f(-y')\)，那么旋转后的函数为\(y = f^{-1}(-x)\)。

例如，对于函数\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geqslant0\)），其反函数为\(y = x^{2}(x\geqslant0)\)。绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后的函数为\(y=(-x)^{2}=x^{2}(x\leqslant0)\)。

八、绕点\((a,b)\)旋转

1. 绕点\((a,b)\)旋转的基本思路

当函数图象绕点\((a,b)\)旋转时，我们可以先将函数图象上的点的坐标进行平移，使得\((a,b)\)成为新的坐标原点。然后按照绕原点旋转的规则进行旋转，最后再将坐标平移回原来的位置。

2. 以绕点\((a,b)\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)为例进行详细推导

平移步骤：设函数\(y = f(x)\)图象上的一点为\((x,y)\)，先将其平移，令\(x_1=x - a\)，\(y_1=y - b\)，此时点\((x_1,y_1)\)相对于点\((a,b)\)为新的坐标原点。

旋转步骤：按照绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)的规则，此时\(x_1\)和\(y_1\)旋转后的坐标\(x_2\)和\(y_2\)满足\(x_2=-y_1\)，\(y_2 = x_1\)，即\(x_2=-(y - b)\)，\(y_2=(x - a)\)。

还原步骤：最后再将坐标平移回原来的位置，得到旋转后的坐标\((x',y')\)，其中\(x'=x_2 + a\)，\(y'=y_2 + b\)。将\(x_2\)和\(y_2\)代入可得\(x'=-(y - b)+a\)，\(y'=(x - a)+b\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，经过上述变换后，对于旋转后的函数图象上的点\((x',y')\)，可以通过一系列代换得到旋转后的函数表达式。

例如，设函数\(y = x + 1\)，绕点\((1,1)\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)。设\((x,y)\)是\(y = x + 1\)上的点，先平移得到\(x_1=x - 1\)，\(y_1=y - 1\)。旋转后\(x_2=-(y_1)=-(y - 1)\)，\(y_2=x_1=(x - 1)\)。再平移回原来位置\(x'=x_2 + 1=-(y - 1)+1=-y + 2\)，\(y'=y_2 + 1=(x - 1)+1=x\)，所以旋转后的函数为\(y=-x + 2\)。