不等式 02 Aczel 不等式（柯东不等式）

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二维Aczel不等式

二维Aczel不等式是Aczel不等式在两个变量（或两个向量）场景下的特殊形式，是处理含“平方差”结构不等式问题的重要工具，在代数证明、函数最值求解、几何长度关系推导等领域有广泛应用。其核心是建立了两组变量的“平方差乘积”与“线性组合平方差”之间的不等关系。

一、二维Aczel不等式的核心形式

1. 基本形式（正定性条件）

设两组实数 \(a_1, a_2\) 和 \(b_1, b_2\) 满足正定性条件：

\(a_1^2 - a_2^2 > 0\)（或 \(a_1^2 - a_2^2 \geq 0\)），且 \(b_1^2 - b_2^2 > 0\)（或 \(b_1^2 - b_2^2 \geq 0\)），

则有不等式：

\[\boxed{(a_1^2 - a_2^2)(b_1^2 - b_2^2) \leq (a_1b_1 - a_2b_2)^2}\]

当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\)（即两组变量成比例）时，等号成立。

2. 变形形式（更直观的“差结构”）

若令 \(x_1 = a_1, x_2 = a_2\)，\(y_1 = b_1, y_2 = b_2\)，则不等式可改写为：

\[(x_1y_1 - x_2y_2)^2 \geq (x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)\]

该形式更清晰地体现了“左边是线性组合的平方，右边是平方差的乘积”这一核心结构。

二、关键前提：正定性条件的意义

二维Aczel不等式的成立依赖于“平方差为正（或非负）”的前提，这一条件的本质是保证两组变量满足“类似柯西不等式的‘内积非负’”性质，具体可从两个角度理解：

1. 代数角度：若 \(a_1^2 - a_2^2 < 0\) 且 \(b_1^2 - b_2^2 < 0\)，可令 \(a_1' = a_2, a_2' = a_1\)，转化为 \(a_1'^2 - a_2'^2 > 0\)，不等式形式不变；若一组平方差为正、一组为负，则右边为负，左边为平方（非负），不等式恒成立（但无实际应用价值）。

2. 几何角度：若将 \((a_1, a_2)\) 视为平面上的向量，\(a_1^2 - a_2^2\) 可看作“伪欧几里得空间”中的内积（区别于欧几里得空间的 \(a_1^2 + a_2^2\)），正定性条件对应向量在该空间中“类时间”或“类空间”的属性。

三、证明方法（两种经典思路）

1. 构造二次函数法（最简洁）

设 \(t\) 为实数，构造二次函数：

\[f(t) = (a_1^2 - a_2^2)t^2 - 2(a_1b_1 - a_2b_2)t + (b_1^2 - b_2^2)\]

将其整理为“平方和”形式：

\[f(t) = (a_1t - b_1)^2 - (a_2t - b_2)^2\]

由正定性条件 \(a_1^2 - a_2^2 > 0\)，二次函数 \(f(t)\) 的开口向上。又因为：

当 \(t = \frac{b_1}{a_1}\)（假设 \(a_1 \neq 0\)）时，\(f\left(\frac{b_1}{a_1}\right) = -\left(a_2 \cdot \frac{b_1}{a_1} - b_2\right)^2 \leq 0\)，

即开口向上的二次函数存在零点或负值，故其判别式 \(\Delta \geq 0\)：

\[\Delta = 4(a_1b_1 - a_2b_2)^2 - 4(a_1^2 - a_2^2)(b_1^2 - b_2^2) \geq 0\]

化简后即得二维Aczel不等式，等号成立时判别式 \(\Delta = 0\)，对应 \(f(t)\) 有重根，即 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\)。

2. 利用柯西不等式推导

柯西不等式的核心是 \((x_1y_1 + x_2y_2)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)\)。

令 \(x_1 = a_1, x_2 = ia_2\)（\(i\) 为虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)），\(y_1 = b_1, y_2 = ib_2\)，代入柯西不等式：

\[(a_1b_1 + (ia_2)(ib_2))^2 \leq (a_1^2 + (ia_2)^2)(b_1^2 + (ib_2)^2)\]

化简左边：\((a_1b_1 - a_2b_2)^2\)，右边：\((a_1^2 - a_2^2)(b_1^2 - b_2^2)\)，即得二维Aczel不等式。

（注：此方法需虚数概念，但本质是通过“符号转换”将柯西的“平方和”转化为Aczel的“平方差”。）

四、应用场景与例题

二维Aczel不等式的核心应用场景是已知“平方差为定值”，求“线性组合的最值”，或证明含“平方差乘积”的不等式。

例题1：求最值

已知实数 \(x, y\) 满足 \(x^2 - 2y^2 = 2\)，求 \(x - 2y\) 的最大值。

解：令 \(a_1 = x, a_2 = \sqrt{2}y\)，则 \(a_1^2 - a_2^2 = x^2 - 2y^2 = 2\)；

再令 \(b_1 = 1, b_2 = \sqrt{2}\)，则 \(b_1^2 - b_2^2 = 1 - 2 = -1\)（此时右边为负，不等式恒成立，需换思路：用Aczel的“等号条件”关联变量）。

由Aczel不等式的等号条件 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\)，即 \(\frac{x}{1} = \frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}} \implies x = y\)。

将 \(x = y\) 代入 \(x^2 - 2y^2 = 2\)，得 \(x^2 - 2x^2 = 2 \implies x^2 = -2\)（无实根，说明需调整 \(b\) 的选择）。

重新令 \(b_1 = 1, b_2 = k\)，则目标 \(x - 2y = a_1 \cdot 1 - (\sqrt{2}y) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = a_1b_1 - a_2b_2\)（其中 \(b_2 = \sqrt{2}\)）。

由Aczel不等式：\((x - 2y)^2 \geq (x^2 - 2y^2)(1^2 - (\sqrt{2})^2) = 2 \times (-1) = -2\)（无意义），换用“反向Aczel”：若 \(a_1^2 - a_2^2 > 0\) 且 \(b_2^2 - b_1^2 > 0\)，则 \((a_1b_2 - a_2b_1)^2 \geq (a_1^2 - a_2^2)(b_2^2 - b_1^2)\)。

令 \(a_1 = x, a_2 = \sqrt{2}y\)（\(a_1^2 - a_2^2 = 2 > 0\)），\(b_1 = 2, b_2 = \sqrt{2}\)（\(b_2^2 - b_1^2 = 2 - 4 = -2 < 0\)，调整为 \(b_1 = \sqrt{2}, b_2 = 2\)，则 \(b_2^2 - b_1^2 = 4 - 2 = 2 > 0\)），则：

\[(x \cdot 2 - \sqrt{2}y \cdot \sqrt{2})^2 \geq (x^2 - 2y^2)(2^2 - (\sqrt{2})^2)\]

化简左边：\((2x - 2y)^2 = 4(x - y)^2\)，右边：\(2 \times 2 = 4\)，故 \(4(x - y)^2 \geq 4 \implies |x - y| \geq 1\)（非目标）。

最终换用“代数代换”：由 \(x^2 = 2 + 2y^2\)，令 \(x = \sqrt{2}\sec\theta\)（三角代换，因 \(x^2 - 2y^2 = 2 \implies \frac{x^2}{2} - y^2 = 1\)，双曲线参数方程），则 \(y = \tan\theta\)，目标 \(x - 2y = \sqrt{2}\sec\theta - 2\tan\theta = \frac{\sqrt{2} - 2\sin\theta}{\cos\theta}\)。

设 \(k = \frac{\sqrt{2} - 2\sin\theta}{\cos\theta}\)，则 \(k\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}\)，由辅助角公式：\(\sqrt{k^2 + 4}\sin(\theta + \phi) = \sqrt{2}\)，故 \(\sqrt{k^2 + 4} \geq \sqrt{2} \implies k^2 \leq 2 \implies |k| \leq \sqrt{2}\)。

因此，\(x - 2y\) 的最大值为 \(\sqrt{2}\)（当 \(\sin(\theta + \phi) = 1\) 时取到）。

例题2：证明不等式

已知 \(a > b > 0\)，\(c > d > 0\)，且 \(a^2 - b^2 = c^2 - d^2 = 1\)，证明：\(ac - bd \geq 1\)。

证明：直接应用二维Aczel不等式，令 \(a_1 = a, a_2 = b\)，\(b_1 = c, b_2 = d\)，则：

正定性条件：\(a_1^2 - a_2^2 = 1 > 0\)，\(b_1^2 - b_2^2 = 1 > 0\)，满足条件；

代入Aczel不等式：\((a^2 - b^2)(c^2 - d^2) \leq (ac - bd)^2\)，即 \(1 \times 1 \leq (ac - bd)^2\)；

又因 \(a > b > 0\)，\(c > d > 0\)，故 \(ac > bd\)，即 \(ac - bd > 0\)，因此 \(ac - bd \geq 1\)。

等号成立时，\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)，结合 \(a^2 - b^2 = c^2 - d^2 = 1\)，得 \(a = c\) 且 \(b = d\)。

五、与柯西不等式的区别与联系

二维Aczel不等式与二维柯西不等式（\((a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)\)）是“结构对称”的两种不等式，核心区别在于“平方和”与“平方差”的差异：

| 对比维度 | 二维柯西不等式 | 二维Aczel不等式 |

| 核心结构 | 平方和的乘积 ≥ 线性组合的平方 | 平方差的乘积 ≤ 线性组合的平方 |

| 前提条件 | 无特殊正定性要求（实数即可） | 需两组变量的平方差同号（正或负）|

| 几何意义 | 欧几里得空间中向量内积的性质 | 伪欧几里得空间中向量内积的性质 |

| 等号条件 | 两组变量成比例（\(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\)） | 两组变量成比例（与柯西一致） |

简言之，柯西不等式处理“和结构”，Aczel不等式处理“差结构”，二者可通过“符号替换”（如将 \(a_2\) 换为 \(ia_2\)）相互推导，是不等式家族中互补的重要工具。

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