不等式 02 不等式的基本性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、不等关系

在现实生活和数学问题中，存在着大量的不等关系。例如，两个人的身高不同、两个物体的重量不一样、两个数的大小有差别等。不等关系是通过比较两个量而产生的，用符号“\(>\)”（大于）、“\(<\)”（小于）、“\(\geq\)”（大于或等于）、“\(\leq\)”（小于或等于）来表示。比如，小明的身高是\(180cm\)，小红的身高是\(165cm\)，那么就可以表示为小明的身高\(>\)小红的身高。

不等式定义：用不等号（\(>\)、\(<\)、\(\geq\)、\(\leq\)、\(\neq\)）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。例如，\(3x + 2>5\)，\(x^{2}-1\leq0\)，\(a + b\neq c\)等都是不等式。不等式中的数或字母代表的数是有一定取值范围的，这个取值范围叫做不等式的解集。

不等式的解与解集：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如，对于不等式\(x - 1>0\)，\(x = 2\)是它的一个解，因为当\(x = 2\)时，\(2 - 1 = 1>0\)，不等式成立。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式\(x - 1>0\)的解集是\(x>1\)，这意味着所有大于\(1\)的数都是这个不等式的解。

二、不等式的基本性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，那么\(a + c>b + c\)；\(a - c>b - c\)。例如，已知\(5>3\)，那么\(5+2>3 + 2\)（即\(7>5\)），\(5-1>3 - 1\)（即\(4>2\)）。

性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c>0\)，那么\(ac>bc\)；\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c = 2\)时，\(4\times2>2\times2\)（即\(8>4\)），\(\frac{4}{2}>\frac{2}{2}\)（即\(2>1\)）。

性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c<0\)，那么\(ac<bc\)；\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c=-2\)时，\(4\times(-2)<2\times(-2)\)（即\(-8 < - 4\)），\(\frac{4}{-2}<\frac{2}{-2}\)（即\(-2 < - 1\)）。

三、比较两个数或式子的大小的方法

作差法：

基本原理是：若\(a - b>0\)，则\(a>b\)；若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)；若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可以作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。

作商法：

当\(a\)、\(b\)同号（同为正或同为负）时，若\(\frac{a}{b}>1\)，则\(a>b\)；若\(\frac{a}{b}=1\)，则\(a = b\)；若\(\frac{a}{b}<1\)，则\(a<b\)。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。

四、实数大小比较的依据

1. 数轴法

依据：实数与数轴上的点一一对应。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

示例：例如，要比较\(3\)和\(-2\)的大小，在数轴上，\(3\)对应的点在\(-2\)对应的点的右边，所以\(3 > - 2\)。同样，对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，如果\(a\)对应的点在数轴上位于\(b\)对应的点的右边，那么\(a > b\)；反之，如果\(a\)对应的点在\(b\)对应的点的左边，那么\(a < b\)。

2. 作差法

依据：设\(a\)、\(b\)是两个实数，则\(a - b\)的值与\(0\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。

具体规则：

若\(a - b>0\)，则\(a>b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(5-3 = 2>0\)，所以\(5>3\)。

若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)。比如，对于\(4\)和\(4\)，\(4 - 4 = 0\)，所以\(4 = 4\)。

若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(2\)和\(4\)，\(2 - 4=-2 < 0\)，所以\(2<4\)。

应用场景：这种方法适用于比较两个代数式的大小。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。

3. 作商法

依据：当\(a\)、\(b\)是两个同号（同为正或同为负）的实数时，\(\frac{a}{b}\)的值与\(1\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。

具体规则：

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(4\)和\(3\)，\(\frac{4}{3}>1\)，且\(4\)和\(3\)都是正数，所以\(4>3\)。

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(5\)和\(5\)，\(\frac{5}{5}=1\)，所以\(5 = 5\)。

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(3\)和\(4\)，\(\frac{3}{4}<1\)，且\(3\)和\(4\)都是正数，所以\(3<4\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(-3\)和\(-4\)，\(\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}<1\)，但因为\(-3\)和\(-4\)都是负数，所以\(-3>-4\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(-6\)和\(-6\)，\(\frac{-6}{-6}=1\)，所以\(-6=-6\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(-4\)和\(-5\)，\(\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}<1\)，且\(-4\)和\(-5\)都是负数，所以\(-4>-5\)。

应用场景：作商法常用于比较两个正数的大小，尤其是当两个数是分数或者含有幂运算等形式时比较方便。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。

4. 绝对值比较法

依据：对于两个实数\(a\)和\(b\)，\(\vert a\vert\)表示\(a\)到原点的距离，\(\vert b\vert\)表示\(b\)到原点的距离。

具体规则：

当\(\vert a\vert>\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a>b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a < b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert>\vert3\vert\)且\(5\)和\(3\)都是正数，所以\(5>3\)；比较\(-5\)和\(-3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert>\vert - 3\vert\)且\(-5\)和\(-3\)都是负数，所以\(-5 < - 3\)。

当\(\vert a\vert=\vert b\vert\)时，\(a = b\)或\(a = - b\)。例如，\(\vert4\vert=\vert - 4\vert = 4\)。

当\(\vert a\vert<\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a<b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a>b\)。例如，比较\(3\)和\(5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert<\vert5\vert\)且\(3\)和\(5\)都是正数，所以\(3<5\)；比较\(-3\)和\(-5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert<\vert - 5\vert\)且\(-3\)和\(-5\)都是负数，所以\(-3>-5\)。

五、等式（=）的基本性质

等式是表示两个数或者表达式之间用等号“=”连接的语句，它具有一些重要的性质，这些性质是解方程和进行代数式变形的重要依据。

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。

用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a + c=b + c\)，\(a - c=b - c\)。

例如，对于等式\(x + 3 = 5\)，等式两边同时减去\(3\)，得到\(x+3 - 3 = 5 - 3\)，即\(x = 2\)。这个性质可以理解为在天平的两边同时增加或减少相同的重量，天平仍然保持平衡。

再如，若\(2x-1 = 3\)，两边同时加上\(1\)，则\(2x-1+1 = 3 + 1\)，也就是\(2x = 4\)。

性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，等式仍然成立。

用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)（\(c\neq0\)）；\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c\neq0\)）。

例如，对于等式\(\frac{x}{2}=3\)，等式两边同时乘以\(2\)，得到\(\frac{x}{2}\times2 = 3\times2\)，即\(x = 6\)。这就好比把天平两边的物体同时扩大或缩小相同的倍数，天平依然平衡。

又如，若\(3x = 9\)，两边同时除以\(3\)，则\(\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\)，即\(x = 3\)。需要注意的是，在除法运算中，除数不能为\(0\)，因为\(0\)做除数没有意义。

六、等式性质的应用

解方程：

例如解方程\(2x + 5 = 13\)，首先根据等式性质1，两边同时减去\(5\)，得到\(2x+5 - 5 = 13 - 5\)，即\(2x = 8\)。然后根据等式性质2，两边同时除以\(2\)，\(\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}\)，解得\(x = 4\)。

代数式的变形：

若已知\(a = b\)，要证明\(3a + 2 = 3b+2\)。根据等式性质2，因为\(a = b\)，所以\(3a = 3b\)（两边同时乘以\(3\)），再根据等式性质1，\(3a+2 = 3b + 2\)（两边同时加上\(2\)）。

等式还有传递性，即如果\(a = b\)，\(b = c\)，那么\(a = c\)。例如，已知\(x = y\)，\(y = 3\)，那么可以得出\(x = 3\)。这种传递性在解决一些较为复杂的等式关系问题时非常有用，比如在几何证明或者多个方程联立求解等情况中经常会用到。

七、不等式的性质

预备知识：在逻辑关系中，“∧”表示“且”的意思。例如在 \((x > y)\land(y > z)\Rightarrow x > z\) 这个表达式中，它表示“\(x > y\)”这个条件和“\(y > z\)”这个条件同时成立。只有当这两个条件都满足的时候，才能根据这个逻辑关系推出后面的结论。

1. 对称性

若\(x > y\)，则\(y < x\)，可表示为\(x > y\Rightarrow y < x\)；

若\(y < x\)，则\(x > y\)，可表示为\(y < x\Rightarrow x > y\)。

2. 传递性

若\(x > y\)且\(y > z\)，那么\(x > z\)，表示为\((x > y)\land(y > z)\Rightarrow x > z\)。

3. 加法单调性（可加性）

若\(x > y\)，对于任意实数\(z\)，有\(x+z > y + z\)，表示为\(x > y\Rightarrow x + z>y + z\)。

4. 乘法单调性（可乘性）

若\(x > y\)，当\(z > 0\)时，\(xz > yz\)，表示为\((x > y)\land(z > 0)\Rightarrow xz > yz\)；

若\(x > y\)，当\(z < 0\)时，\(xz < yz\)，表示为\((x > y)\land(z < 0)\Rightarrow xz < yz\)。

5. 同向可加性

若\(x > y\)且\(m > n\)，那么\(x + m>y + n\)，表示为\((x > y)\land(m > n)\Rightarrow x + m>y + n\)。

6. 同向同正可乘性

若\(x > y>0\)且\(m > n>0\)，那么\(xm > yn\)，表示为\((x > y>0)\land(m > n>0)\Rightarrow xm > yn\)。

7. 正值不等式可乘方

若\(x > y>0\)，对于正数\(n\)，有\(x^{n}>y^{n}\)，表示为\((x > y>0)\land(n>0)\Rightarrow x^{n}>y^{n}\)。

8. 正值不等式可开方

若\(x > y>0\)，对于正数\(n\)（\(n > 1\)），有\(\sqrt[n]{x}>\sqrt[n]{y}\)，表示为\((x > y>0)\land(n>1)\Rightarrow\sqrt[n]{x}>\sqrt[n]{y}\)。

9. 倒数法则

若\(ab>0\)且\(a > b\)，那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)，表示为\((ab > 0)\land(a > b)\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。

对于非零实数\(a\)，\(\frac{1}{a}\)称为\(a\)的倒数。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{1}{3}\)的倒数是\(-3\)。

同号两数的倒数法则

当\(a\)和\(b\)是同号的两个正数时，如果\(a > b\)，那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(3>2\)，它们的倒数分别是\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{1}{2}\)，而\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。

当\(a\)和\(b\)是同号的两个负数时，如果\(a > b\)（此时\(a\)的绝对值小于\(b\)的绝对值），那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(-2>-3\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(-3\)的倒数是\(-\frac{1}{3}\)，而\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。

异号两数的倒数法则

正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。所以正数大于负数，正数的倒数小于负数的倒数。例如，\(4\)是正数，\(-2\)是负数，\(4>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。

不等式两边取倒数的规则

当\(a > b > 0\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(3>2>0\)，两边取倒数得到\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。

当\(0 > a > b\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(-2 > - 3>0\)，两边取倒数得到\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。

当\(a > 0 > b\)时，\(\frac{1}{a}>0\)，\(\frac{1}{b}<0\)，所以\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)。例如，对于\(4>0>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。

在分数除法中，除以一个数等于乘以它的倒数。例如，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}\)，这里\(\frac{4}{5}\)的倒数是\(\frac{5}{4}\)。

在化简分式时，也经常用到倒数。例如，对于分式\(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\)，先将分母中的\(\frac{1}{x}+1\)通分得到\(\frac{1 + x}{x}\)，那么原分式就变为\(\frac{x}{1 + x}\)，这里就是利用了倒数的关系进行化简。

八、综合题型：已知一个不等式，求另一个相关代数式的取值范围

例1：已知\(2 < x < 5\)，求\(3x + 1\)的取值范围。

解题步骤：

首先，根据不等式性质2，对不等式\(2 < x < 5\)两边同时乘以\(3\)，可得：\(2×3 < 3x < 5×3\)，即\(6 < 3x < 15\)。

然后，再根据不等式性质1，对\(6 < 3x < 15\)两边同时加\(1\)，得到：\(6 + 1 < 3x + 1 < 15 + 1\)，也就是\(7 < 3x + 1 < 16\)。

所以\(3x + 1\)的取值范围是\(7 < 3x + 1 < 16\)。

例2：已知\(-3 \leq y \leq 2\)，求\(2 - 4y\)的取值范围。

解题步骤：

第一步，先根据不等式性质2和3，对不等式\(-3 \leq y \leq 2\)两边同时乘以\(-4\)，因为乘以负数，不等号方向改变，所以可得：\((-3)×(-4) \geq -4y \geq 2×(-4)\)，即\(12 \geq -4y \geq -8\)。

第二步，再根据不等式性质1，对\(12 \geq -4y \geq -8\)两边同时加\(2\)，得到：\(12 + 2 \geq 2 - 4y \geq -8 + 2\)，也就是\(14 \geq 2 - 4y \geq -6\)。

所以\(2 - 4y\)的取值范围是\(-6 \leq 2 - 4y \leq 14\)。

九、综合题型：已知多个不等式，求由它们组成的代数式的取值范围

例3：已知\(\begin{cases}1 < x < 3 \\ 2 < y < 4\end{cases}\)，求\(x + y\)的取值范围。

解题步骤：

把两个不等式相加来求\(x + y\)的范围，根据不等式性质1，对于\(1 < x < 3\)和\(2 < y < 4\)，将它们对应相加可得：\((1 + 2) < x + y < (3 + 4)\)，即\(3 < x + y < 7\)。

所以\(x + y\)的取值范围是\(3 < x + y < 7\)。

例4：已知\(\begin{cases}-1 \leq a \leq 2 \\ 3 \leq b \leq 5\end{cases}\)，求\(2a - b\)的取值范围。

解题步骤：

先分别求出\(2a\)的取值范围，根据不等式性质2，对\(-1 \leq a \leq 2\)两边同时乘以\(2\)，可得：\(-1×2 \leq 2a \leq 2×2\)，即\(-2 \leq 2a \leq 4\)。

然后求\(2a - b\)的取值范围，对于\(-2 \leq 2a \leq 4\)和\(3 \leq b \leq 5\)，根据不等式性质1和3，将\(-2 \leq 2a \leq 4\)中的各项减去\(3 \leq b \leq 5\)中的对应项（相当于两边同时减去\(b\)，但要注意不等号方向变化情况），可得：\((-2 - 5) \leq 2a - b \leq (4 - 3)\)，即\(-7 \leq 2a - b \leq 1\)。

所以\(2a - b\)的取值范围是\(-7 \leq 2a - b \leq 1\)。

十、综合题型：已知两个代数式取值范围求新代数式取值范围

例5：已知\(\begin{cases}-4 \leq x-y \leq -1 \\ -1 \leq 4x-y \leq 5\end{cases}\)，求\(9x - y\)的取值范围。

本题考查利用已知不等式组中代数式的取值范围来求另一个代数式的取值范围，我们可以通过将已知代数式进行合理变形、组合，再运用不等式的性质来求解，以下是具体步骤：

步骤一：设未知数，构建等式关系

设\(9x - y = m(x - y) + n(4x - y)\)，将其展开可得：

\[\begin{align*}9x - y &= m(x - y) + n(4x - y)\\&= mx - my + 4nx - ny\\&=(m + 4n)x + (-m - n)y\end{align*}\]

则可得到方程组\(\begin{cases}m + 4n = 9\\ -m - n = -1\end{cases}\)

步骤二：解方程组

将上述两个方程相加来消去\(m\)，可得：

\(\begin{align*}(m + 4n) + (-m - n) &= 9 + (-1)\\m + 4n - m - n &= 8\\3n &= 8\\n &= \frac{8}{3}\end{align*}\)

把\(n = \frac{8}{3}\)代入\(-m - n = -1\)，可得：

\(\begin{align*}-m - \frac{8}{3} &= -1\\-m &= -1 + \frac{8}{3}\\-m &= \frac{5}{3}\\m &= -\frac{5}{3}\end{align*}\)

所以\(9x - y = -\frac{5}{3}(x - y) + \frac{8}{3}(4x - y)\)。

步骤三：根据已知不等式组求取值范围

因为\(-4 \leq x - y \leq -1\)，根据不等式性质，两边同时乘以\(-\frac{5}{3}\)，不等号方向改变，可得：

\(\begin{align*}(-1)×\left(-\frac{5}{3}\right) &\leq -\frac{5}{3}(x - y) \leq (-4)×\left(-\frac{5}{3}\right)\\\frac{5}{3} &\leq -\frac{5}{3}(x - y) \leq \frac{20}{3}\end{align*}\)

又因为\(-1 \leq 4x - y \leq 5\)，两边同时乘以\(\frac{8}{3}\)，不等号方向不变，可得：

\(\begin{align*}(-1)×\frac{8}{3} &\leq \frac{8}{3}(4x - y) \leq 5×\frac{8}{3}\\-\frac{8}{3} &\leq \frac{8}{3}(4x - y) \leq \frac{40}{3}\end{align*}\)