不等式 02 不等关系、不等式、实数大小比较的依据

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1. 不等关系的概念

在现实生活和数学问题中，存在着大量的不等关系。例如，两个人的身高不同、两个物体的重量不一样、两个数的大小有差别等。不等关系是通过比较两个量而产生的，用符号“\(>\)”（大于）、“\(<\)”（小于）、“\(\geq\)”（大于或等于）、“\(\leq\)”（小于或等于）来表示。

比如，小明的身高是\(180cm\)，小红的身高是\(165cm\)，那么就可以表示为小明的身高\(>\)小红的身高。

2. 不等式的定义和表示

定义：用不等号（\(>\)、\(<\)、\(\geq\)、\(\leq\)、\(\neq\)）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。

例如，\(3x + 2>5\)，\(x^{2}-1\leq0\)，\(a + b\neq c\)等都是不等式。不等式中的数或字母代表的数是有一定取值范围的，这个取值范围叫做不等式的解集。

不等式的解与解集：

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如，对于不等式\(x - 1>0\)，\(x = 2\)是它的一个解，因为当\(x = 2\)时，\(2 - 1 = 1>0\)，不等式成立。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式\(x - 1>0\)的解集是\(x>1\)，这意味着所有大于\(1\)的数都是这个不等式的解。

3. 不等式的基本性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，那么\(a + c>b + c\)；\(a - c>b - c\)。例如，已知\(5>3\)，那么\(5+2>3 + 2\)（即\(7>5\)），\(5-1>3 - 1\)（即\(4>2\)）。

性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c>0\)，那么\(ac>bc\)；\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c = 2\)时，\(4\times2>2\times2\)（即\(8>4\)），\(\frac{4}{2}>\frac{2}{2}\)（即\(2>1\)）。

性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示为：如果\(a>b\)，\(c<0\)，那么\(ac<bc\)；\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)。例如，已知\(4>2\)，当\(c=-2\)时，\(4\times(-2)<2\times(-2)\)（即\(-8 < - 4\)），\(\frac{4}{-2}<\frac{2}{-2}\)（即\(-2 < - 1\)）。

4. 比较两个数或式子的大小

作差法：

基本原理是：若\(a - b>0\)，则\(a>b\)；若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)；若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可以作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。

作商法：

当\(a\)、\(b\)同号（同为正或同为负）时，若\(\frac{a}{b}>1\)，则\(a>b\)；若\(\frac{a}{b}=1\)，则\(a = b\)；若\(\frac{a}{b}<1\)，则\(a<b\)。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。

实数大小比较的依据

1. 数轴法

依据：实数与数轴上的点一一对应。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

示例：例如，要比较\(3\)和\(-2\)的大小，在数轴上，\(3\)对应的点在\(-2\)对应的点的右边，所以\(3 > - 2\)。同样，对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，如果\(a\)对应的点在数轴上位于\(b\)对应的点的右边，那么\(a > b\)；反之，如果\(a\)对应的点在\(b\)对应的点的左边，那么\(a < b\)。

2. 作差法

依据：设\(a\)、\(b\)是两个实数，则\(a - b\)的值与\(0\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。

具体规则：

若\(a - b>0\)，则\(a>b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(5-3 = 2>0\)，所以\(5>3\)。

若\(a - b = 0\)，则\(a = b\)。比如，对于\(4\)和\(4\)，\(4 - 4 = 0\)，所以\(4 = 4\)。

若\(a - b<0\)，则\(a<b\)。例如，比较\(2\)和\(4\)，\(2 - 4=-2 < 0\)，所以\(2<4\)。

应用场景：这种方法适用于比较两个代数式的大小。例如，比较\(x^{2}+1\)和\(2x\)的大小，可作差\((x^{2}+1)-2x=(x - 1)^{2}\)。因为\((x - 1)^{2}\geq0\)，所以\(x^{2}+1\geq2x\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号。

3. 作商法

依据：当\(a\)、\(b\)是两个同号（同为正或同为负）的实数时，\(\frac{a}{b}\)的值与\(1\)的大小关系可以确定\(a\)和\(b\)的大小关系。

具体规则：

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(4\)和\(3\)，\(\frac{4}{3}>1\)，且\(4\)和\(3\)都是正数，所以\(4>3\)。

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(5\)和\(5\)，\(\frac{5}{5}=1\)，所以\(5 = 5\)。

若\(a\)、\(b\)同为正，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(3\)和\(4\)，\(\frac{3}{4}<1\)，且\(3\)和\(4\)都是正数，所以\(3<4\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}>1\)时，\(a<b\)。例如，比较\(-3\)和\(-4\)，\(\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}<1\)，但因为\(-3\)和\(-4\)都是负数，所以\(-3>-4\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}=1\)时，\(a = b\)。比如，对于\(-6\)和\(-6\)，\(\frac{-6}{-6}=1\)，所以\(-6=-6\)。

若\(a\)、\(b\)同为负，当\(\frac{a}{b}<1\)时，\(a>b\)。例如，比较\(-4\)和\(-5\)，\(\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}<1\)，且\(-4\)和\(-5\)都是负数，所以\(-4>-5\)。

应用场景：作商法常用于比较两个正数的大小，尤其是当两个数是分数或者含有幂运算等形式时比较方便。例如，比较\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{5}{7}\)的大小，\(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}=\frac{21}{20}>1\)，所以\(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\)。

4. 绝对值比较法

依据：对于两个实数\(a\)和\(b\)，\(\vert a\vert\)表示\(a\)到原点的距离，\(\vert b\vert\)表示\(b\)到原点的距离。

具体规则：

当\(\vert a\vert>\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a>b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a < b\)。例如，比较\(5\)和\(3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert>\vert3\vert\)且\(5\)和\(3\)都是正数，所以\(5>3\)；比较\(-5\)和\(-3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert>\vert - 3\vert\)且\(-5\)和\(-3\)都是负数，所以\(-5 < - 3\)。

当\(\vert a\vert=\vert b\vert\)时，\(a = b\)或\(a = - b\)。例如，\(\vert4\vert=\vert - 4\vert = 4\)。

当\(\vert a\vert<\vert b\vert\)时，如果\(a\)是正数，\(b\)是正数，那么\(a<b\)；如果\(a\)是负数，\(b\)是负数，那么\(a>b\)。例如，比较\(3\)和\(5\)，\(\vert3\vert = 3\)，\(\vert5\vert = 5\)，\(\vert3\vert<\vert5\vert\)且\(3\)和\(5\)都是正数，所以\(3<5\)；比较\(-3\)和\(-5\)，\(\vert - 3\vert = 3\)，\(\vert - 5\vert = 5\)，\(\vert - 3\vert<\vert - 5\vert\)且\(-3\)和\(-5\)都是负数，所以\(-3>-5\)。