平面几何：三角形的外心（O）

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一、三角形的外心

三角形的外心，是指三角形三边垂直平分线的交点。这个交点到三角形三个顶点的距离相等，其距离值即为三角形外接圆的半径（通常用\(R\)表示），因此外心也是三角形外接圆的圆心。

需要注意的是，外心的位置会因三角形的形状不同而变化，这是外心的重要特性：

1. 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部，且到三个顶点的距离相等，外接圆完全覆盖三角形；

2. 当三角形为直角三角形时，外心在斜边的中点处，此时斜边即为外接圆的直径（依据“直径所对的圆周角为直角”的性质），外接圆半径\(R = \frac{1}{2}\times\)斜边长度；

3. 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部，外接圆会部分包裹三角形，且外心与钝角顶点分别在斜边的两侧。

二、三角形外心的性质

1. 外心到三角形三个顶点的距离相等，即若\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，则\(OA = OB = OC = R\)（\(R\)为外接圆半径）；

2. 外心是三边垂直平分线的交点，因此过外心作任意一边的垂线，必平分该边（垂直平分线的定义）；

3. 外心与三角形顶点的连线，会平分对应顶点的圆周角（圆周角定理的推论：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，外心与顶点连线构成的角为圆心角）；

4. 对于任意三角形，外接圆半径\(R\)满足公式：\(R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}\)（其中\(a, b, c\)分别为三角形三边，\(A, B, C\)为对应边的对角），该公式可由正弦定理推导得出。

例题1：直角三角形外心的位置与半径

已知\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 3\)，\(BC = 4\)，求其外心位置及外接圆半径\(R\)。

解析：直角三角形外心在斜边中点处。先由勾股定理求斜边\(AB\)：\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。因此外接圆半径\(R = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2} = 2.5\)，外心为\(AB\)的中点。

例题2：锐角三角形外心的性质应用

在锐角\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，若\(\angle BOC = 100^\circ\)，求\(\angle BAC\)的度数。

解析：外心\(O\)是外接圆的圆心，\(\angle BOC\)是圆心角，\(\angle BAC\)是圆周角，且两角对应同弧\(BC\)。根据圆周角定理：圆心角是圆周角的2倍，因此\(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}\times100^\circ = 50^\circ\)。

例题3：钝角三角形外心的角度计算

在钝角\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = 120^\circ\)，\(O\)为外心，求\(\angle BOC\)的度数。

解析：\(\angle BAC\)是钝角，对应的弧\(BC\)是劣弧（因为三角形内角对应劣弧，外角对应优弧）。圆心角\(\angle BOC\)与圆周角\(\angle BAC\)对应同弧\(BC\)，但需注意：钝角对应的圆周角，其圆心角为\(360^\circ - 2\angle BAC\)（因劣弧对应的圆心角小于\(180^\circ\)，而钝角对应的圆周角对应劣弧）。代入得：\(\angle BOC = 360^\circ - 2\times120^\circ = 120^\circ\)。

例题4：利用外心与垂直平分线的关系求边长

已知\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，\(AB = AC = 5\)，\(AO\)垂直平分\(BC\)，且\(AO = 3\)，求\(BC\)的长度。

解析：外心在\(BC\)的垂直平分线上，且\(AB = AC\)，故\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(AO\)所在直线即为\(BC\)的垂直平分线，设\(AO\)与\(BC\)交于点\(D\)，则\(D\)是\(BC\)中点，且\(AD \perp BC\)。

因\(O\)是外心，故\(OB = OA = 3\)（此处需注意：\(AO = 3\)即外接圆半径\(R = 3\)）。在\(Rt\triangle ABD\)中，\(AB = 5\)，\(AD = AO = 3\)（因\(O\)在\(AD\)上），由勾股定理得\(BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)，因此\(BC = 2BD = 8\)。

例题5：结合外接圆半径与正弦定理求边长

已知\(\triangle ABC\)的外心为\(O\)，外接圆半径\(R = 5\)，\(\angle B = 60^\circ\)，求边\(AC\)的长度。

解析：由正弦定理公式\(R = \frac{AC}{2\sin B}\)，变形得\(AC = 2R\sin B\)。代入\(R = 5\)，\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(AC = 2\times5\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)。

例题6：外心与三角形形状的判断

已知\(\triangle ABC\)的外心\(O\)在边\(AB\)上，且\(AC = 6\)，\(BC = 8\)，判断\(\triangle ABC\)的形状并求外接圆半径。

解析：外心在三角形的一边上，说明该三角形是直角三角形，且外心所在的边为斜边（因直角三角形外心在斜边中点）。因此\(\triangle ABC\)是直角三角形，斜边为\(AB\)。由勾股定理求\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)，外接圆半径\(R = \frac{1}{2}AB = 5\)。

例题7：外心与线段垂直的性质

在\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，\(D\)是\(BC\)的中点，证明：\(OD \perp BC\)。

解析：因\(O\)是外心，故\(OB = OC\)（外心到顶点距离相等），即\(\triangle OBC\)是等腰三角形。又\(D\)是\(BC\)中点，根据“等腰三角形三线合一”，等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，因此\(OD \perp BC\)。

例题8：外心与角度和的计算

在\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，\(\angle ABC = 40^\circ\)，\(\angle ACB = 60^\circ\)，求\(\angle BOC\)的度数。

解析：先求\(\angle BAC\)：三角形内角和为\(180^\circ\)，故\(\angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ\)。\(\angle BOC\)是圆心角，对应弧\(BC\)，\(\angle BAC\)是圆周角，对应同弧\(BC\)，因此\(\angle BOC = 2\angle BAC = 2\times80^\circ = 160^\circ\)。

例题9：利用外心求钝角三角形的内角

在钝角\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，且\(O\)在\(\triangle ABC\)外部，\(\angle BOC = 80^\circ\)，求\(\angle BAC\)的度数。

解析：外心在外部，说明\(\triangle ABC\)是钝角三角形，且\(\angle BAC\)为钝角（因外心与钝角顶点在对边两侧）。\(\angle BOC\)是圆心角，对应弧\(BC\)，此时\(\angle BAC\)是圆周角，但对应优弧\(BC\)（因钝角对应优弧）。优弧\(BC\)的度数为\(360^\circ - 80^\circ = 280^\circ\)，圆周角是对应弧度数的一半，故\(\angle BAC = \frac{1}{2}\times280^\circ = 140^\circ\)。

例题10：外心、外接圆半径与三角形面积的结合

已知\(\triangle ABC\)中，\(O\)为外心，外接圆半径\(R = 4\)，\(\angle A = 30^\circ\)，求\(\triangle ABC\)面积的最大值。

解析：先由正弦定理得\(BC = 2R\sin A = 2\times4\times\sin 30^\circ = 4\)（\(BC\)为定长）。三角形面积\(S = \frac{1}{2}AB \times AC \times \sin A\)，也可表示为\(S = \frac{1}{2}BC \times h\)（\(h\)为\(A\)到\(BC\)的高）。要使面积最大，需使\(h\)最大。

因\(A\)在以\(BC\)为弦的外接圆上（外心固定，外接圆半径固定），当\(A\)在\(BC\)的垂直平分线上时（即\(AB = AC\)，\(\triangle ABC\)为等腰三角形），\(h\)最大。

此时\(\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ\)，由正弦定理得\(AB = \frac{BC \times \sin \angle ACB}{\sin A} = \frac{4 \times \sin 75^\circ}{\sin 30^\circ}\)。\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)，\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)，故\(AB = 4 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \div \frac{1}{2} = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})\)。

面积\(S = \frac{1}{2}AB \times AC \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times [2(\sqrt{6} + \sqrt{2})]^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \times \frac{1}{2} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 8 + 4\sqrt{3}\)。

因此，\(\triangle ABC\)面积的最大值为\(8 + 4\sqrt{3}\)。