初中数学 18 三角形：角平分线、中线、高、三角形的五心

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三角形（内角）的角平分线

定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则线段AD就是△ABC的一条角平分线。

性质：

三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。

角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。例如，若AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，且PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则PM = PN。

三角形的中线

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。例如，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，则线段AD就是△ABC的中线。

性质：

三角形的三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。因为等底等高的三角形面积相等，中线将对边分成相等的两段，所以以中线为底边的两个三角形面积相等。例如，在△ABC中，AD是中线，则S△ABD = S△ACD。

三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。例如，在△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高。

性质：

三角形的三条高所在直线交于一点。锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点。

三角形的面积等于底乘以高的一半。即S△ABC = 1/2×BC×AD = 1/2×AC×BE = 1/2×AB×CF（其中AD、BE、CF分别是BC、AC、AB边上的高）。

三角形的“五心”

三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心，它们是三角形中具有特殊几何意义的点，各自拥有独特的性质，是平面几何的核心知识点。

一、重心（Centroid，记为G）

重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的“质量中心”（若三角形为均匀薄板，重心是其平衡中心）。

核心性质：

1. 分中线比为2:1：重心将每条中线分为两段，靠近顶点的线段长度与靠近对边中点的线段长度之比为 2:1（即 \( AG:GD = 2:1 \)，其中D为BC边中点）。  

推论：若中线长度为\( m_a \)，则重心到顶点的距离为\( \frac{2}{3}m_a \)，到对边中点的距离为\( \frac{1}{3}m_a \)。

2. 坐标公式：若三角形顶点坐标为\( A(x_1,y_1) \)、\( B(x_2,y_2) \)、\( C(x_3,y_3) \)，则重心G的坐标为：  

\(G\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)\)

3. 面积等分性：重心与三角形三个顶点连线，将原三角形分成3个面积相等的小三角形（即 \( S_{\triangle AGB} = S_{\triangle BGC} = S_{\triangle CGA} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \)）。

4. 向量性质：重心是唯一满足“向量和为零”的点，即 \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \)。

二、垂心（Orthocenter，记为H）

垂心是三角形三条高线（从顶点向对边作的垂线）的交点，其位置随三角形形状变化：锐角三角形的垂心在内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在外部。

核心性质：

1. 四点共圆性：垂心与三角形的任意两个顶点及对边的垂足构成共圆四边形（如H、B、D、F共圆，其中D、F为B、A到对边的垂足），且圆的直径为三角形的某条边（如直径为BC）。

2. 垂足三角形性质：垂心到三边的垂足连线构成的三角形（称为“垂足三角形”），垂心是垂足三角形的内心。

3. 直角三角形特例：直角三角形的垂心与直角顶点重合（因两条直角边本身就是高线，交点为直角顶点）。

4. 向量关系：在锐角三角形中，\( \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{HA} \)（即垂心到各顶点的向量点积相等）。

三、外心（Circumcenter，记为O）

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心（外接圆半径称为“外接圆半径”，记为R）。

核心性质：

1. 到顶点距离相等：外心到三角形三个顶点的距离相等，且等于外接圆半径R（即 \( OA = OB = OC = R \)）。

2. 位置与三角形形状：

锐角三角形：外心在三角形内部；

直角三角形：外心在斜边中点（斜边为外接圆直径，\( R = \frac{1}{2} \times 斜边长度 \)）；

钝角三角形：外心在三角形外部。

3. 角度关系：外心与任意两个顶点的连线夹角（圆心角）等于对应内角的2倍（如 \( \angle BOC = 2\angle BAC \)，需注意：若\( \angle BAC \)为钝角，圆心角为\( 360^\circ - 2\angle BAC \)）。

4. 外接圆半径公式：对任意三角形，\( R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} \)（其中a、b、c为三角形三边，A、B、C为对应内角），且满足 \( R = \frac{abc}{4S} \)（S为三角形面积）。

四、内心（Incenter，记为I）

内心是三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心（内切圆半径称为“内切圆半径”，记为r）。

核心性质：

1. 到三边距离相等：内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆半径r（即内心到AB、BC、CA的距离均为r）。

2. 角度关系：内心与任意两个顶点的连线夹角（如\( \angle BIC \)）与对应内角的关系为：  \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC\)  

（同理可推\( \angle AIB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ACB \)，\( \angle AIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC \)）。

3. 内切圆半径公式：\( r = \frac{S}{p} \)（其中S为三角形面积，\( p = \frac{a+b+c}{2} \)为“半周长”）。

4. 角平分线分边比：内心到某边的交点将该边分为两段，长度比等于对应邻边的比（如内心I在BC上的垂足为D，则 \( BD = \frac{AB + BC - AC}{2} = p - AC \)，\( DC = p - AB \)）。

五、旁心（Excenter，记为\( I_a, I_b, I_c \)）

旁心是三角形一条内角平分线与另外两条外角平分线的交点，一个三角形有且仅有3个旁心（分别对应三边外侧的旁切圆），每个旁心是对应旁切圆的圆心（旁切圆半径记为\( r_a, r_b, r_c \)）。

核心性质：

1. 到三边距离相等：旁心到三角形三边所在直线的距离相等，且等于对应旁切圆半径（如\( I_a \)到BC边、AB延长线、AC延长线的距离均为\( r_a \)）。

2. 角度关系：以对应BC边的旁心\( I_a \)为例，其与顶点的夹角满足：  \(\angle BI_aC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC\)  （与内心的角度关系相反，因旁心涉及外角平分线）。

3. 旁切圆半径公式：\( r_a = \frac{S}{p - a} \)，\( r_b = \frac{S}{p - b} \)，\( r_c = \frac{S}{p - c} \)（p为半周长，S为面积）。

4. 位置特征：旁心始终在三角形外部，且每个旁心对应一个“旁切圆”（与三角形一边及另外两边的延长线相切）。

六、五心的关联：欧拉线上的“三心共线”

在任意三角形中，重心G、垂心H、外心O三点共线，这条直线称为“欧拉线”，且满足固定的距离关系：  \(HG = 2GO \quad \text{（即重心将欧拉线分为2:1的两段）}\)  

特例：等边三角形的五心重合（重心、垂心、外心、内心、旁心合并为同一点），此时欧拉线退化为一个点。

通过以上性质，可快速解决三角形的外接圆、内切圆、角度计算、面积关联等几何问题，是初中及高中平面几何的核心工具。

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