初中数学 18 三角形：角平分线、中线、高

三角形的角平分线

定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则线段AD就是△ABC的一条角平分线。

三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。

角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。例如，若AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，且PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则PM = PN。

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。例如，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，则线段AD就是△ABC的中线。

三角形的三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。因为等底等高的三角形面积相等，中线将对边分成相等的两段，所以以中线为底边的两个三角形面积相等。例如，在△ABC中，AD是中线，则S△ABD = S△ACD。

定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。例如，在△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高。

三角形的三条高所在直线交于一点。锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点。

三角形的面积等于底乘以高的一半。即S△ABC = 1/2×BC×AD = 1/2×AC×BE = 1/2×AB×CF（其中AD、BE、CF分别是BC、AC、AB边上的高）。

角平分线是平分三角形内角的线段，其主要性质与角的平分及到角两边的距离有关。

中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，重点在于将对边平分，且与三角形的面积关系密切。

高是从顶点向对边作垂线得到的线段，与三角形的面积计算以及直角三角形的相关性质联系紧密，其位置随三角形类型不同而有所变化。

三者都是三角形中的重要线段，它们的交点（内心、重心、垂心）在三角形中都有特定的位置和性质，对于研究三角形的性质、形状以及相关的几何问题都起着重要的作用。

三角形的角平分线、中线、高是初中数学三角形部分的重要概念，理解和掌握它们的定义、性质以及相互关系，对于解决三角形的相关问题、深入学习几何知识都具有重要意义。