初中数学 10 分式方程（分母里含有未知数的方程）

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分式方程的概念

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。例如，\(\frac{1}{x}=2\)，\(\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)等都是分式方程，而方程\(\frac{1}{2}x + 1 = 3\)不是分式方程，因为其分母中不含有未知数。

分式方程的解法

基本思路：将分式方程转化为整式方程来求解。

步骤：

去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。例如，对于方程\(\frac{2}{x}+\frac{x}{x - 1}=1\)，最简公分母为\(x(x - 1)\)，方程两边同时乘以\(x(x - 1)\)，得到\(2(x - 1)+x^2 = x(x - 1)\)。

解整式方程。上述整式方程化简为\(2x - 2 + x^2 = x^2 - x\)，移项可得\(2x + x = 2\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)。

检验，将求得的未知数的值代入最简公分母中，如果最简公分母不等于\(0\)，则该值是原分式方程的解；如果最简公分母等于\(0\)，则该值是增根，原分式方程无解。把\(x=\frac{2}{3}\)代入\(x(x - 1)\)，可得\(\frac{2}{3}\times(\frac{2}{3}-1)=\frac{2}{3}\times(-\frac{1}{3})=-\frac{2}{9}\neq0\)，所以\(x=\frac{2}{3}\)是原分式方程的解。

分式方程的增根

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为\(0\)的根。产生增根的原因是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个可能使分母为\(0\)的整式。例如，解方程\(\frac{x}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}+2\)，去分母得\(x = 1 + 2(x - 1)\)，解得\(x = 1\)，但把\(x = 1\)代入原方程的分母\(x - 1\)中，\(x - 1 = 0\)，所以\(x = 1\)是增根，原分式方程无解。