初中数学 10 分式方程：增根

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、分式方程的定义与特征

定义：分母中含有未知数的有理方程，称为分式方程。

特征：

方程中存在分母，且分母包含未知数（如\(x\)、\(y\)）。

示例：\(\frac{1}{x-1} = 2\)，\(\frac{x}{x+2} + \frac{3}{x} = 1\)。

与整式方程的区别：整式方程分母不含未知数（如\(2x+1=0\)），分式方程必须通过去分母转化为整式方程求解。

二、分式方程的解法：去分母法

例1：解方程 \(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x^2-1}\)

1. 确定最简公分母（LCD）：

分母分解：\(x+1\)，\(x-1\)，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，故LCD为\((x+1)(x-1)\)。

2. 去分母：方程两边同乘LCD，消去分母：\(3(x-1) - (x+1) = 1\)

3. 解整式方程：去括号：\(3x-3 -x-1 = 1\)，合并移项：\(2x = 5\)，解得\(x = \frac{5}{2}\)。

4. 验根（关键！）：

将\(x = \frac{5}{2}\)代入LCD：\((\frac{5}{2}+1)(\frac{5}{2}-1) = \frac{7}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{4} \neq 0\)，

结论：\(x = \frac{5}{2}\)是原方程的解。

三、增根的产生与检验

1. 增根定义

去分母过程中，若求得的解使最简公分母为0，则该解为增根（非原方程的解）。

2. 验根的必要性

分式方程必须验根，因去分母时可能引入增根。

例2：解方程 \(\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 1\)

去分母：\(x = 2 + (x-2)\)，

化简：\(x = x\)，看似恒成立，但需验根。

若\(x-2=0\)即\(x=2\)，此时分母为0，故\(x=2\)是增根，原方程无解。

四、分式方程的应用：实际问题建模

1. 行程问题（速度=路程÷时间）

例3：甲、乙两地相距120km，货车从甲地出发1h后，轿车从甲地出发，轿车速度是货车的1.5倍，两车同时到达乙地。求货车速度。

设：货车速度为\(x\) km/h，则轿车速度为\(1.5x\) km/h。

时间关系：货车用时 - 轿车用时 = 1h，\(\frac{120}{x} - \frac{120}{1.5x} = 1\)

解：去分母得\(180 - 120 = 1.5x\)，解得\(x = 40\)，

验根：\(x=40\)时，分母不为0，

答：货车速度为40km/h。

2. 工程问题（效率=工作量÷时间）

例4：甲队单独完成一项工程需20天，乙队单独做比甲队少用5天。甲队先做4天后，乙队加入合作，还需多少天完成？

设：合作还需\(x\)天，总工作量为1，

甲效率\(\frac{1}{20}\)，乙效率\(\frac{1}{15}\)，

工作量方程：\(\frac{4}{20} + \left(\frac{1}{20} + \frac{1}{15}\right)x = 1\)

解：化简得\(\frac{1}{5} + \frac{7x}{60} = 1\)，解得\(x = \frac{48}{7}\)，

验根：合理，

答：还需\(\frac{48}{7}\)天（约7天）。

3. 利润与价格问题

例5：某商店用2000元购进一批商品，按标价八折出售，利润率为20%。若标价提高10%，销量减少10件，仍可获利2160元。求商品原标价。

设：原标价为\(x\)元，进价为\(\frac{2000}{数量}\)，

原售价\(0.8x\)，利润\(0.8x - 进价 = 进价×20%\)，

但更简洁的方式是设原销量为\(y\)件，进价为\(\frac{2000}{y}\)元，

列方程组：

\(\begin{cases}0.8xy = 2000(1+20\%) \\ 0.8x(1+10\%)(y-10) = 2000 + 2160 \end{cases}\)

解：由第一式得\(xy = 3000\)，代入第二式：

\(0.88x(y-10) = 4160 \quad \Rightarrow \quad 0.88(xy -10x) = 4160\)

代入\(xy=3000\)，得\(0.88(3000 -10x)=4160\)，解得\(x=50\)，

验根：合理，

答：原标价为50元。

五、、含字母系数的分式方程

1. 解法要点

与数字系数方程解法相同，但需注意字母取值对分母的影响。

例6：解关于\(x\)的方程 \(\frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} = 1\)（\(a,b\)为常数，\(a+b \neq 1\)）。

去分母：\(a(x-1) + bx = x(x-1)\)，

整理：\(x^2 - (a+b+1)x + a = 0\)，

求解（因式分解或求根公式），需验根：确保\(x \neq 0\)且\(x \neq 1\)。

六、易错点总结

1. 漏验根：分式方程不验根可能导致增根被误判为解；

2. 去分母错误：未给所有项乘最简公分母，如\(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} = 1\)错写为\(x^2 + 1 = 1\)（应乘\(2x\)得\(x^2 + 2 = 2x\)）；

3. 符号错误：去分母时负号处理不当，如\(\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x} = 0\)错写为\(x - 2(x-1) = 0\)（正确为\(x - 2(x-1) = 0\)，但符号正确）；

4. 增根误判：将\(x=0\)等使分母为0的解当作有效解。

七、分式方程与分式化简的区别

分式方程：含等号，需解方程求未知数（如\(\frac{x+1}{x-1}=2\)）；

分式化简：无等号，需化简为最简分式（如\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\)，\(x \neq 1\)）。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学