初中数学 07 一元一次方程

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一元一次方程的概念

定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。其一般形式是\(ax + b = 0\)（\(a\)，\(b\)为常数，且\(a≠0\)）。例如，\(3x + 5 = 0\)、\(2 - \frac{1}{2}x = 1\)等都是一元一次方程。

列一元一次方程解应用题的步骤

审：仔细审题，理解题意，明确题目中的已知条件、未知量以及它们之间的数量关系，这是解题的基础。

设：设未知数，通常用\(x\)表示所求的未知量。可以直接设未知数，即问什么设什么；也可以间接设未知数，根据题目情况灵活选择。例如，在行程问题中，如果要求的是时间，可设速度为未知数来间接求解。

列：根据题目中的等量关系列出一元一次方程。这一步是关键，需要准确找出能体现数量关系的等式。比如，在一个购物问题中，已知商品单价为\(10\)元，购买数量加上\(2\)个后总价为\(60\)元，设购买数量为\(x\)个，根据“总价 = 单价×数量”的等量关系，可列出方程\(10(x + 2) = 60\)。

解：运用等式的基本性质来求解所列出的一元一次方程。

去分母：当方程中有分母时，方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母，使方程化为整数形式。例如，对于方程\(\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1\)，各分母的最小公倍数是\(6\)，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(3(x + 1) - 2(2x - 1) = 6\)。

去括号：根据乘法分配律去掉括号。上述方程去括号后变为\(3x + 3 - 4x + 2 = 6\)。

移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，移项要变号。例如，将上式变为\(3x - 4x = 6 - 3 - 2\)。

合并同类项：对同类项进行合并化简。上式合并同类项后得\(-x = 1\)。

系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，使未知数的系数变为\(1\)，从而得到方程的解。对于\(-x = 1\)，两边同时除以\(-1\)，解得\(x = -1\)。

验：把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等，以确保解的正确性。同时，还要检验所得结果是否符合实际问题的情境。

答：写出答案，回答题目所问的问题，注意答案的完整性和准确性。

一元一次方程在不同类型应用题中的应用

行程问题：

基本等量关系：路程 = 速度×时间。常见的情况有相遇问题（两者路程之和等于总路程）、追及问题（快者路程与慢者路程之差等于追及路程）等。例如，甲、乙两人分别从\(A\)、\(B\)两地同时出发相向而行，甲的速度是\(5\)千米/小时，乙的速度是\(3\)千米/小时，经过\(4\)小时相遇，求\(A\)、\(B\)两地的距离。设\(A\)、\(B\)两地的距离为\(x\)千米，根据相遇问题的等量关系可列方程\(x = 5×4 + 3×4\)，解得\(x = 32\)千米。

工程问题：

基本等量关系：工作总量 = 工作效率×工作时间。通常把工作总量看作单位“\(1\)”，各部分工作量之和等于工作总量。比如，一项工程，甲单独做\(10\)天完成，乙单独做\(15\)天完成，两人合作需要几天完成？设两人合作需要\(x\)天完成，甲的工作效率是\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{15}\)，根据等量关系可列方程\((\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\)，解得\(x = 6\)天。

利润问题：

基本等量关系：利润 = 售价 - 进价；利润率 = \(\frac{利润}{进价}×100\%\)。例如，某商品进价为\(80\)元，按标价的\(8\)折出售后，利润率为\(20\%\)，求该商品的标价。设该商品的标价为\(x\)元，售价就是\(0.8x\)元，根据利润的计算公式可列方程\(0.8x - 80 = 80×20\%\)，解得\(x = 120\)元。

列、解一元一次方程是初中数学中非常重要的内容，它能够帮助我们将实际生活中的各种数量关系用数学方程的形式表示出来并求解，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力，为后续学习更复杂的数学知识奠定基础。