初中数学 07 一元一次方程、含字母系数

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一、一元一次方程的定义

概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程。

一般形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为常数，且\(a \neq 0\)）。

例如：\(3x - 5 = 0\)、\(\frac{1}{2}y + 1 = 0\)都是一元一次方程；而\(x^2 + 2x = 1\)（未知数次数为2）、\(\frac{1}{x} + 3 = 0\)（分母含未知数，为分式方程）则不是。

二、一元一次方程的解法

（一）核心原理：等式的基本性质

1. 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即若\(a = b\)，则\(a \pm c = b \pm c\)。

2. 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即若\(a = b\)，则\(ac = bc\)；若\(a = b\)且\(c \neq 0\)，则\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)。

（二）解题步骤（以示例说明）

例：解方程 \(\frac{2x - 1}{3} - 1 = \frac{x + 1}{2}\)

1. 去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数（此处为6），消去分母。

\(6 \times \frac{2x - 1}{3} - 6 \times 1 = 6 \times \frac{x + 1}{2}\)

化简得：\(2(2x - 1) - 6 = 3(x + 1)\)。

2. 去括号：使用分配律展开括号。

\(4x - 2 - 6 = 3x + 3\)

化简得：\(4x - 8 = 3x + 3\)。

3. 移项：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，注意变号。

\(4x - 3x = 3 + 8\)

化简得：\(x = 11\)。

4. 合并同类项：将同类项合并（此例中移项后已合并完成）。

5. 系数化为1：若未知数系数不为1，两边同除以系数（此例中\(x\)系数为1，无需操作）。

检验：将\(x = 11\)代入原方程，左边\(= \frac{2 \times 11 - 1}{3} - 1 = \frac{21}{3} - 1 = 7 - 1 = 6\)，右边\(= \frac{11 + 1}{2} = 6\)，左边=右边，解正确。

三、一元一次方程的应用

（一）解题步骤（实际问题建模）

1. 审题：找出题目中的已知量、未知量及等量关系。

2. 设未知数：通常设所求量为\(x\)（直接设元），也可间接设元。

3. 列方程：根据等量关系列出一元一次方程。

4. 解方程：按上述步骤求解。

5. 检验并作答：验证解是否符合实际意义，再作答。

（二）常见应用场景

1. 行程问题（路程=速度×时间）

例：甲、乙两人相距10km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，两人相向而行，几小时后相遇？

设\(x\)小时后相遇，等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 总距离。

列方程：\(3x + 2x = 10\)，解得\(x = 2\)。

答：2小时后相遇。

2. 工程问题（工作量=工作效率×工作时间）

例：一项工程，甲单独做需5天完成，乙单独做需10天完成，两人合作几天完成？

设合作\(x\)天完成，设总工作量为1，则甲效率为\(\frac{1}{5}\)，乙效率为\(\frac{1}{10}\)。

等量关系：（甲效率 + 乙效率）× 时间 = 总工作量。

列方程：\((\frac{1}{5} + \frac{1}{10})x = 1\)，解得\(x = \frac{10}{3}\)。

答：两人合作\(\frac{10}{3}\)天完成。

3. 利润问题（利润=售价-成本，利润率=利润÷成本×100%）

例：一件商品按成本价提高20%后标价，再打九折出售，获利20元，求成本价。

设成本价为\(x\)元，标价为\((1 + 20\%)x = 1.2x\)，售价为\(0.9×1.2x = 1.08x\)。

等量关系：售价 - 成本 = 利润。

列方程：\(1.08x - x = 20\)，解得\(x = 250\)。

答：成本价为250元。

4. 比例问题（各部分量按比例分配）

例：某班男女生人数比为3:2，全班共50人，求男生人数。

设男生3\(x\)人，女生2\(x\)人，等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数。

列方程：\(3x + 2x = 50\)，解得\(x = 10\)，则男生人数为\(3x = 30\)。

答：男生有30人。

四、常见误区与注意事项

去分母时漏乘：如方程\(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x + 1}{3}\)，去分母时需注意常数项“1”也要乘分母最小公倍数，即\(3x + 6 = 2(x + 1)\)，而非\(3x + 1 = 2(x + 1)\)。

移项未变号：如移项\(3x + 5 = 2x - 1\)时，应得\(3x - 2x = -1 - 5\)，而非\(3x - 2x = -1 + 5\)。

系数化为1时除反：如方程\(-2x = 4\)，两边应除以\(-2\)得\(x = -2\)，而非\(x = 4÷2 = 2\)。

实际问题验解：解需符合实际意义，如人数不能为负数或小数，时间不能为负数等。

五、拓展：含字母系数的一元一次方程

含字母系数的一元一次方程是指方程中的系数用字母表示的方程，它是一元一次方程的拓展，在代数推理和实际问题中有广泛应用。

（一）定义与标准形式

定义：形如\(ax + b = 0\)（\(a \neq 0\)）的方程，其中\(a\)、\(b\)为字母系数（常数），\(x\)为未知数。

特点：系数\(a\)、\(b\)可以是具体的数，也可以是其他字母或代数式，但需满足\(a \neq 0\)（否则方程可能无解或有无穷多解）。

示例：

\(2x + k = 0\)（\(k\)为常数）

\(mx - n = 0\)（\(m \neq 0\)，\(m\)、\(n\)为常数）

\(a(x - 1) = b\)（展开后为\(ax - (a + b) = 0\)，\(a \neq 0\)）

（二）解法步骤

与数字系数的一元一次方程解法类似，但需注意对字母系数的讨论。

例1：解方程 \(kx + 5 = 3x - 2k\)

1. 移项：将含未知数\(x\)的项移到等号左边，常数项移到右边。

\(kx - 3x = -2k - 5\)

2. 合并同类项：提取公因式\(x\)。

\((k - 3)x = -2k - 5\)

3. 系数化为1：两边同除以\(x\)的系数\(k - 3\)，需讨论\(k - 3 \neq 0\)（即\(k \neq 3\)）。

\(x = \frac{-2k - 5}{k - 3} \quad (k \neq 3)\)

当\(k = 3\)时，方程左边为\(0\)，右边为\(-2 \times 3 - 5 = -11\)，即\(0 = -11\)，方程无解。

（三）解的情况分类讨论

对于方程\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为字母系数），解的情况由\(a\)、\(b\)的取值决定：

1. 唯一解：当\(a \neq 0\)时，方程有唯一解\(x = -\frac{b}{a}\)。

2. 无解：当\(a = 0\)且\(b \neq 0\)时，方程变为\(0x + b = 0\)（即\(b = 0\)），矛盾，方程无解。

3. 无穷多解：当\(a = 0\)且\(b = 0\)时，方程变为\(0x + 0 = 0\)，无论\(x\)取何值都成立，方程有无穷多解。

例2：讨论方程 \(m(x - 1) = 2x - 3\) 的解

1. 展开并整理：

\(mx - m = 2x - 3 \quad \Rightarrow \quad (m - 2)x = m - 3\)

2. 分类讨论：

当\(m \neq 2\)时，方程有唯一解：\(x = \frac{m - 3}{m - 2}\)。

当\(m = 2\)时，方程左边为\(0\)，右边为\(2 - 3 = -1\)，即\(0 = -1\)，无解。

（四）应用场景

（一）公式变形

将一个公式从一种形式转换为另一种形式，本质是解含字母系数的方程。

例3：将公式 \(S = \frac{n(a + l)}{2}\) 变形为用\(S\)、\(n\)、\(l\)表示\(a\)

1. 去分母：两边同乘2。

\(2S = n(a + l)\)

2. 展开并移项：

\(2S = na + nl \quad \Rightarrow \quad na = 2S - nl\)

3. 系数化为1：两边同除以\(n\)（\(n \neq 0\)）。

\(a = \frac{2S - nl}{n} \quad (n \neq 0)\)

（二）实际问题中的参数方程

例4：某商品进价为\(a\)元，按标价的八折出售仍可获利20%，求标价\(x\)元

1. 列方程：售价 - 进价 = 利润。

\(0.8x - a = 0.2a\)

2. 解方程：

\(0.8x = 1.2a \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1.2a}{0.8} = \frac{3}{2}a\)

即标价为进价的\(1.5\)倍。

（五）注意事项

1. 分母不为零：在系数化为1时，需确保除以的系数不为零。例如，方程\(ax = b\)的解为\(x = \frac{b}{a}\)，必须注明\(a \neq 0\)。

2. 分类讨论完整性：讨论解的情况时，需考虑所有可能的参数取值。例如，解方程\((m - 1)x = 2m\)时，需分\(m = 1\)和\(m \neq 1\)两种情况。

3. 实际问题检验：在应用题中，解需符合实际意义，如价格、数量等不能为负数。

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