初中数学 04 代数式、单项式、多项式、整式的加减法

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代数式

定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

例如，\(3x\)、\(a + b\)、\(\frac{1}{2}m^2n\)、\(5\)、\(x\)等都是代数式。

代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

例如，当\(x = 2\)时，代数式\(3x + 1\)的值为\(3×2 + 1 = 7\)。

单项式

定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，\(3x\)、\(-2a^2b\)、\(\frac{1}{3}xy^2\)、\(5\)、\(x\)等都是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，在单项式\(3x\)中，系数是\(3\)，次数是\(1\)；在单项式\(-2a^2b\)中，系数是\(-2\)，次数是\(2 + 1 = 3\)。

多项式

定义：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如，多项式\(2x^2 - 3x + 1\)有三项，分别是\(2x^2\)、\(-3x\)、\(1\)，其中常数项是\(1\)，次数最高项是\(2x^2\)，次数为\(2\)，所以这个多项式的次数是\(2\)。

整式

定义：单项式与多项式统称为整式。也就是说，整式包括单项式和多项式。

整式的加减法

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

例如，\(3x^2y\)与\(-5x^2y\)是同类项，\(2\)与\(7\)也是同类项。

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

例如，\(3x^2 + 2x^2 = (3 + 2)x^2 = 5x^2\)，\(4xy - 3xy = (4 - 3)xy = xy\)。

整式加减法的步骤：

去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

例如，\(2(x + 3) = 2x + 6\)，\(-3(2x - 1) = -6x + 3\)。

合并同类项：按照合并同类项的法则，将同类项进行合并。

例如，计算\((3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 + 3x - 5)\)，先去括号得\(3x^2 - 2x + 1 + 2x^2 + 3x - 5\)，然后合并同类项得\((3x^2 + 2x^2)+(-2x + 3x)+(1 - 5)=5x^2 + x - 4\)。

代数式、单项式、多项式以及整式的加减法是初中数学代数部分的基础内容，它们为后续学习整式的乘除、分式、方程等知识奠定了基础，对于培养学生的代数运算能力和逻辑思维能力具有重要意义。

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