初中数学 12 平面直角坐标系、点的坐标

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平面直角坐标系

定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做\(x\)轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做\(y\)轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。

象限：平面直角坐标系被\(x\)轴和\(y\)轴分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标

表示方法：平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，垂足在\(x\)轴、\(y\)轴上对应的数\(a\)、\(b\)分别叫做点\(P\)的横坐标、纵坐标，有序数对\((a,b)\)叫做点\(P\)的坐标。例如，点\(A\)的坐标为\((3,4)\)，表示点\(A\)到\(x\)轴的距离为\(4\)，到\(y\)轴的距离为\(3\)。

特殊点的坐标：

\(x\)轴上的点纵坐标为\(0\)，如\((2,0)\)、\((-3,0)\)等；\(y\)轴上的点横坐标为\(0\)，如\((0,5)\)、\((0,-2)\)等。

原点的坐标为\((0,0)\)。

第一象限内的点横坐标和纵坐标都为正数；第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点横坐标和纵坐标都为负数；第四象限内的点横坐标为正数，纵坐标为负数。

坐标平面内点的距离计算公式

两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，设两个点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则\(A\)、\(B\)两点间的距离为：

\(\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)

例如，已知点\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，则\(\vert AB\vert=\sqrt{(4 - 1)^2+(6 - 2)^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5\)。

点到坐标轴的距离：点\(P(x,y)\)到\(x\)轴的距离为\(\vert y\vert\)，到\(y\)轴的距离为\(\vert x\vert\)。例如，点\(C(-2,3)\)到\(x\)轴的距离是\(\vert3\vert = 3\)，到\(y\)轴的距离是\(\vert -2\vert = 2\)。

点到直线的距离：在平面直角坐标系中，求点\(P(x_0,y_0)\)到直线\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的距离：

\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

例如，求点\(D(1,1)\)到直线\(2x - y + 3 = 0\)的距离，根据公式可得\(d=\frac{\vert2\times1 - 1\times1 + 3\vert}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)。

平面直角坐标系及点的坐标与距离计算公式是初中数学中重要的基础内容，它为后续学习函数、几何图形的变换等知识提供了有力的工具，同时在解决实际问题，如确定物体的位置、计算图形的边长等方面也有广泛的应用。

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