初中数学 12 平面直角坐标系、点的坐标

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平面直角坐标系

定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 $x$ 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做 $y$ 轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。

象限：平面直角坐标系被 $x$ 轴和 $y$ 轴分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标

表示方法：平面内任意一点 $P$ ，过点 $P$ 分别向 $x$ 轴、 $y$ 轴作垂线，垂足在 $x$ 轴、 $y$ 轴上对应的数 $a$ 、 $b$ 分别叫做点 $P$ 的横坐标、纵坐标，有序数对 $(a,b)$ 叫做点 $P$ 的坐标。例如，点 $A$ 的坐标为 $(3,4)$ ，表示点 $A$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，到 $y$ 轴的距离为 $3$ 。

特殊点的坐标：

$x$ 轴上的点纵坐标为 $0$ ，如 $(2,0)$ 、 $(-3,0)$ 等； $y$ 轴上的点横坐标为 $0$ ，如 $(0,5)$ 、 $(0,-2)$ 等。

原点的坐标为 $(0,0)$ 。

第一象限内的点横坐标和纵坐标都为正数；第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点横坐标和纵坐标都为负数；第四象限内的点横坐标为正数，纵坐标为负数。

坐标平面内点的距离计算公式

两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，设两个点 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为：

$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

例如，已知点 $A(1,2)$ ， $B(4,6)$ ，则 $\vert AB\vert=\sqrt{(4 - 1)^2+(6 - 2)^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$ 。

点到坐标轴的距离：点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离为 $\vert y\vert$ ，到 $y$ 轴的距离为 $\vert x\vert$ 。例如，点 $C(-2,3)$ 到 $x$ 轴的距离是 $\vert3\vert = 3$ ，到 $y$ 轴的距离是 $\vert -2\vert = 2$ 。

点到直线的距离：在平面直角坐标系中，求点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ （ $A$ 、 $B$ 不同时为 $0$ ）的距离：

$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

例如，求点 $D(1,1)$ 到直线 $2x - y + 3 = 0$ 的距离，根据公式可得 $d=\frac{\vert2\times1 - 1\times1 + 3\vert}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ 。