初中数学 14 二次函数、图像、性质：$y = ax^{2}+bx + c$

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二次函数的概念

一般地，形如$y = ax^{2}+bx + c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中$x$是自变量，$a$、$b$、$c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。例如，$y = 2x^{2}+3x - 1$就是一个二次函数。

二次函数的图象

抛物线：二次函数的图象是一条抛物线。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。例如，$y = 3x^{2}$的图象开口向上，而$y = -2x^{2}$的图象开口向下。

对称轴：抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。例如，对于二次函数$y = x^{2}-2x + 3$，其中$a = 1$，$b = -2$，则对称轴为$x = -\frac{-2}{2\times1}= 1$。

顶点坐标：把对称轴$x = -\frac{b}{2a}$代入二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中，可求得顶点的纵坐标$y = a(-\frac{b}{2a})^{2}+b(-\frac{b}{2a}) + c=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。例如，对于上述$y = x^{2}-2x + 3$，其顶点坐标为$(1,2)$。

二次函数的性质

当$a>0$时：

在对称轴左侧，即$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。

函数有最小值，当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。

当$a<0$时：

在对称轴左侧，即$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。

函数有最大值，当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。

二次函数图象的平移

二次函数图象的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。例如，将二次函数$y = x^{2}$的图象向上平移$3$个单位长度，得到$y = x^{2}+3$的图象；将$y = x^{2}$的图象向左平移$2$个单位长度，得到$y=(x + 2)^{2}$的图象。

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a≠0$）的图象与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a≠0$）的根。当$\Delta=b^{2}-4ac>0$时，方程有两个不同的实数根，二次函数图象与$x$轴有两个交点；当$\Delta=b^{2}-4ac=0$时，方程有两个相同的实数根，二次函数图象与$x$轴有一个交点；当$\Delta=b^{2}-4ac<0$时，方程没有实数根，二次函数图象与$x$轴没有交点。

二次函数的图像与性质是初中数学函数部分的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还与物理等其他学科以及实际生活中的许多问题密切相关，对于培养学生的函数思想、数形结合思想和综合分析问题的能力具有重要意义。