初中数学 14 二次函数、图像、性质：\(y = ax^{2}+bx + c\)

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二次函数的概念

一般地，形如\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a≠0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别是二次项系数、一次项系数和常数项。例如，\(y = 2x^{2}+3x - 1\)就是一个二次函数。

二次函数的图象

抛物线：二次函数的图象是一条抛物线。当\(a>0\)时，抛物线开口向上；当\(a<0\)时，抛物线开口向下。例如，\(y = 3x^{2}\)的图象开口向上，而\(y = -2x^{2}\)的图象开口向下。

对称轴：抛物线\(y = ax^{2}+bx + c\)的对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。例如，对于二次函数\(y = x^{2}-2x + 3\)，其中\(a = 1\)，\(b = -2\)，则对称轴为\(x = -\frac{-2}{2\times1}= 1\)。

顶点坐标：把对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)代入二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)中，可求得顶点的纵坐标\(y = a(-\frac{b}{2a})^{2}+b(-\frac{b}{2a}) + c=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，所以顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})\)。例如，对于上述\(y = x^{2}-2x + 3\)，其顶点坐标为\((1,2)\)。

二次函数的性质

当\(a>0\)时：

在对称轴左侧，即\(x<-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，即\(x>-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。

函数有最小值，当\(x = -\frac{b}{2a}\)时，\(y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

当\(a<0\)时：

在对称轴左侧，即\(x<-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，即\(x>-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。

函数有最大值，当\(x = -\frac{b}{2a}\)时，\(y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。

二次函数图象的平移

二次函数图象的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。例如，将二次函数\(y = x^{2}\)的图象向上平移\(3\)个单位长度，得到\(y = x^{2}+3\)的图象；将\(y = x^{2}\)的图象向左平移\(2\)个单位长度，得到\(y=(x + 2)^{2}\)的图象。

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a≠0\)）的图象与\(x\)轴的交点的横坐标就是一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)）的根。当\(\Delta=b^{2}-4ac>0\)时，方程有两个不同的实数根，二次函数图象与\(x\)轴有两个交点；当\(\Delta=b^{2}-4ac=0\)时，方程有两个相同的实数根，二次函数图象与\(x\)轴有一个交点；当\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)时，方程没有实数根，二次函数图象与\(x\)轴没有交点。

二次函数的图像与性质是初中数学函数部分的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还与物理等其他学科以及实际生活中的许多问题密切相关，对于培养学生的函数思想、数形结合思想和综合分析问题的能力具有重要意义。