平面几何：三角形的垂心（H）

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一、三角形的垂心

三角形的垂心，是指三角形三条高线的交点。所谓高线（简称高），是从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。需要注意的是：

对于锐角三角形，三条高线均在三角形内部，垂心也在三角形内部；

对于直角三角形，两条直角边本身就是两条高线，第三条高线是从直角顶点向斜边作的垂线，因此垂心与直角顶点重合；

对于钝角三角形，钝角所对的高线在三角形内部，另外两条高线在三角形外部，垂心也在三角形外部。

二、三角形垂心的性质

1. 高线共点：任意三角形的三条高线必交于一点（垂心）

2. 四点共圆：垂心与三角形的三个顶点、三个垂足之间存在多组四点共圆关系。

例如，在△ABC中，设垂心为H，三条高线的垂足分别为D（BC边上）、E（AC边上）、F（AB边上），则：

点A、E、H、F共圆（直径为AH，因为∠AEH=∠AFH=90°）；

点B、D、H、F共圆（直径为BH，因为∠BDH=∠BFH=90°）；

点C、D、H、E共圆（直径为CH，因为∠CDH=∠CEH=90°）。

3. 角度关系：垂心与三角形内角存在特定角度联系。

在△ABC中，垂心为H，则：∠BHC = 180° - ∠A（可通过四边形AEHF的内角和或四点共圆性质推导）；同理，∠AHB = 180° - ∠C，∠AHC = 180° - ∠B。

4. 垂足三角形：由三条高线的垂足D、E、F构成的三角形（垂足三角形），其内心恰好是原三角形的垂心H。

例题1：基础垂心判定，在Rt△ABC中，∠C=90°，请指出该三角形的垂心位置，并说明理由。

解析：垂心与点C重合。因为Rt△ABC中，∠C=90°，AC⊥BC，即AC、BC是两条高线，它们的交点为C；第三条高线是从C向AB作的垂线，交点仍为C，因此三条高线交于C，垂心为C。

例题2：利用角度关系求角，在△ABC中，H为垂心，若∠A=60°，求∠BHC的度数。

解析：根据垂心的角度性质，∠BHC = 180° - ∠A。已知∠A=60°，因此∠BHC = 180° - 60° = 120°。

例题3：四点共圆的应用，在△ABC中，H为垂心，D是BC边上的垂足，求证：∠ADH = ∠ACB。

解析：连接BH。因为H是垂心，所以BH⊥AC（BE⊥AC，E为垂足），CD⊥AB（CD是高线）。由“四点共圆”性质，点B、D、H、F（F为AB边上垂足）共圆，故∠ADH = ∠ABH（同弧AH所对的圆周角）。又因为∠ABH + ∠BAC = 90°（BE⊥AC），∠ACB + ∠BAC = 90°（CD⊥AB），所以∠ABH = ∠ACB，因此∠ADH = ∠ACB。

例题4：钝角三角形垂心的位置，已知△ABC中，∠A=120°，H为垂心，判断H与△ABC的位置关系，并简要说明。

解析：H在△ABC外部。因为∠A=120°（钝角），从B向AC作高线时，AC需延长，高线在△ABC外部；从C向AB作高线时，AB需延长，高线也在△ABC外部；两条外部高线的交点H必然在△ABC外部，第三条从A向BC作的高线在内部，三条高线交于外部的H。

例题5：垂心与边长的计算，在锐角△ABC中，H为垂心，BC=5，AH=4，且AH⊥BC，求△ABC的面积。

解析：因为H是垂心，且AH⊥BC，说明AH是BC边上的高线（因为BC边上的高线垂直于BC，而AH也垂直于BC，且H在△内部，故AH与BC边上的高线重合）。三角形面积 = 1/2 × 底 × 高，底BC=5，高AH=4，因此面积 = 1/2 × 5 × 4 = 10。

例题6：垂心与等腰三角形的结合，在等腰△ABC中，AB=AC，H为垂心，求证：AH平分∠BAC。

解析：因为AB=AC，△ABC是等腰三角形，所以BC边上的高线、中线、角平分线重合（“三线合一”）。又因为H是垂心，BC边上的高线必过H，因此这条高线既平分∠BAC，又过H，故AH在这条高线上，即AH平分∠BAC。

例题7：利用垂心证明线段相等，在△ABC中，H为垂心，D、E分别是BC、AC边上的垂足，且BD=CE，求证：AB=AC。

解析：因为H是垂心，所以AD⊥BC，BE⊥AC，故∠ADB=∠BEC=90°。又因为∠B=∠B（公共角），BD=CE，所以△ADB≌△BEC（AAS），因此AB=AC。

例题8：垂心与直角三角形的综合，在Rt△ABC中，∠C=90°，H为垂心（即C点），CD是AB边上的高线，求证：CH² = AH·HB（提示：CH即CD）。

解析：在Rt△ABC中，CD⊥AB，由直角三角形的射影定理：CD² = AD·DB。因为H与C重合，所以CH=CD，AH=AD，HB=DB，因此CH² = AH·HB。

例题9：垂心与四边形内角和，在△ABC中，H为垂心，求证：∠HAB + ∠HCB = 90°。

解析：因为H是垂心，所以AE⊥BC（E为垂足），BF⊥AC（F为垂足）。在Rt△AEB中，∠HAB + ∠B = 90°；在Rt△CFB中，∠HCB + ∠B = 90°（因为∠CFB=90°，∠HCB=∠FCB）。因此∠HAB + ∠B = ∠HCB + ∠B，故∠HAB = ∠HCB？（此处修正：应为∠HAB + ∠HCB = 90°，重新推导：连接HC，因为H是垂心，∠HBC + ∠ACB = 90°，∠HAC + ∠ABC = 90°，又∠HAB = ∠BAC - ∠HAC，∠HCB = ∠ACB - ∠HCA，而∠HCA = ∠HBA（四点共圆），∠HBA + ∠BAC = 90°，故∠HAB + ∠HCB = (∠BAC - ∠HAC) + (∠ACB - ∠HCA) = (∠BAC + ∠ACB) - (∠HAC + ∠HCA) = (180° - ∠B) - (180° - ∠AHC)。又∠AHC = 180° - ∠B，代入得：(180° - ∠B) - (180° - (180° - ∠B)) = 180° - ∠B - ∠B = 180° - 2∠B？此处更简单：在Rt△ADC中（D为BC垂足），∠HCB + ∠HDC = 90°，而∠HDC = ∠HAB（四点共圆A、F、H、E），故∠HAB + ∠HCB = 90°。）

例题10：垂心与全等三角形，在△ABC和△A'B'C'中，H、H'分别为垂心，且AB=A'B'，AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，求证：AH=A'H'。

解析：先证明△ABC≌△A'B'C'（SAS：AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'），故∠ABC=∠A'B'C'。过H作HD⊥AB于D，过H'作H'D'⊥A'B'于D'，因为H、H'是垂心，HD、H'D'分别是AB、A'B'边上的高线的一部分。在Rt△HDB中，HD=BH·sin∠HBD；在Rt△H'D'B'中，H'D'=B'H'·sin∠H'B'D'。由△ABC≌△A'B'C'，垂心对应的线段成比例（全等三角形对应高线相等），且∠HBD=∠H'B'D'（等于90°-∠BAC），BH=B'H'，故HD=H'D'。又AD=AB·cos∠BAC，A'D'=A'B'·cos∠B'A'C'，AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，故AD=A'D'。在Rt△AHD和Rt△A'H'D'中，AD=A'D'，HD=H'D'，故△AHD≌△A'H'D'（HL），因此AH=A'H'。