不等式 02 糖水不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

若 \( 0 < a < b，m > 0 \)，有：\( 0 < \frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m} < 1 < \frac{b + m}{a + m} < \frac{b}{a} \)

证明1. 作差法（最直接）

通过计算“新分式 - 原分式”的结果，判断其正负性：

\(\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}\)

由于 \( a, b, m > 0 且 a < b \)，分子 \( m(b - a) > 0 \)，分母 \( b(b + m) > 0 \)，因此整体差值 > 0，即 \( \frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b} \)。

证明2. 作商法（适用于正数分式）

计算“新分式 / 原分式”的结果，判断其与1的大小关系：\(\frac{\frac{a + m}{b + m}}{\frac{a}{b}} = \frac{b(a + m)}{a(b + m)} = \frac{ab + bm}{ab + am}\)

因 \( a < b 且 m > 0 \)，故 \( bm > am \)，分子 \( ab + bm > ab + am \)（分母），且分子、分母均为正数，因此比值 > 1，即 \( \frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b} \)。

证明3. 函数单调性法（从函数视角理解）

构造函数 \( f(x) = \frac{a + x}{b + x} \)（\( x \geq 0 \)，\( a, b > 0 且 a < b \)），分析其单调性：

对 \( f(x) \) 求导（高中知识）：\(f'(x) = \frac{(1)(b + x) - (a + x)(1)}{(b + x)^2} = \frac{b - a}{(b + x)^2}\)

因 \( b - a > 0 \)，分母 \( (b + x)^2 > 0 \)，故 \( f'(x) > 0 \)，即 \( f(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上单调递增。

因此，当 \( x = m > 0 \) 时，\( f(m) > f(0) \)，而 \( f(0) = \frac{a}{b} \)，\( f(m) = \frac{a + m}{b + m} \)，即 \( \frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b} \)。

糖水不等式的核心价值是“用简单模型解决复杂分式比较或证明问题”：

1. 比较分式大小

例：比较 \( \frac{2}{3} \) 与 \( \frac{2 + 1}{3 + 1} = \frac{3}{4} \) 的大小——根据糖水不等式，\( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \)（实际计算：\( \frac{2}{3} \approx 0.667 \)，\( \frac{3}{4} = 0.75 \)，符合结论）。

再例：比较 \( \frac{5}{7} \) 与 \( \frac{5 + 2}{7 + 2} = \frac{7}{9} \)，显然 \( \frac{5}{7} < \frac{7}{9} \)。

2. 证明不等式

例：已知 \( 0 < a < b \)，证明 \( \frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1} < \frac{a + 2}{b + 2} \)——连续应用糖水不等式，每次加1（即 \( m = 1 \)），因函数单调递增，故分式持续增大。

例：证明 \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \dots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10} \)——可通过糖水不等式变形，将乘积转化为分式比较（具体思路：设乘积为 \( P \)，则 \( P^2 < P \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{100}{101} = \frac{1}{101} < \frac{1}{100} \)，故 \( P < \frac{1}{10} \)）。

3. 实际问题建模

例：某工厂生产一批产品，初始合格率为 \( \frac{80}{100} = 80\% \)（80件合格，100件总产品），若后续生产的产品全部合格（即加 \( m \) 件合格产品），则总合格率变为 \( \frac{80 + m}{100 + m} \)，根据糖水不等式，总合格率会大于80%，且 \( m \) 越大，合格率越接近100%，符合实际生产规律。

注意事项

1. 条件限制：糖水不等式的前提是 \( a, b, m > 0 \)，若出现负数，结论可能不成立（例如 \( a = 1, b = 2, m = -1 \)，则 \( \frac{1}{2} > \frac{0}{1} = 0 \)，与原不等式方向一致，但 \( m = -3 \) 时，\( \frac{1 - 3}{2 - 3} = 2 > \frac{1}{2} \)，结论反转，因此负数不适用）。

2. 等号情况：当 \( a = b \) 时，\( \frac{a}{b} = \frac{a + m}{b + m} = 1 \)，此时不等式变为等式，可理解为“向纯糖水中加糖，甜度不变”。

总之，糖水不等式是“生活常识”与“数学抽象”结合的典型案例，不仅易于理解记忆，更能快速解决分式比较、证明等问题，是数学学习中“数形结合”“模型思想”的重要体现。