函数 03 求函数的定义域

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函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值集合。

所以要根据函数解析式中所涉及的不同运算以及数学规则，来确定自变量的取值范围，避免出现无定义的情况，比如分母不能为零、偶次根式下的数非负等。

一、整式函数的定义域

整式函数是指由常数和变量经过有限次的加、减、乘运算得到的函数。

例如，\(f(x)=3x^2 + 2x + 1\)、\(g(x)=4 - x^3\)都是整式函数。

整式函数的一般形式可以表示为\(y = a_nx^n+a_{n - 1}x^{n - 1}+\cdots+a_1x + a_0\)，其中\(n\)是非负整数，\(a_n,a_{n - 1},\cdots,a_1,a_0\)是常数，且\(a_n\neq0\)（当\(n = 0\)时，函数为常数函数\(y = a_0\)）。因为整式在实数范围内都有定义，所以其定义域为全体实数集\(R\)。

二、分式函数的定义域

分式函数是指形如\(y = \frac{f(x)}{g(x)}\)的函数，其中\(f(x)\)和\(g(x)\)是整式函数，且\(g(x)\neq0\)。

例如，\(y=\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(y = \frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 1}\)都是分式函数。

分式函数的定义域是使分母\(g(x)\neq0\)的实数\(x\)的集合。

比如函数\(y=\frac{1}{x}\)，其定义域为\(\{x|x\neq0\}\)；

比如函数\(y=\frac{x + 2}{x^2 - 4}\)，因为\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，所以定义域为\(\{x|x\neq\pm2\}\)。

比如函数\(f(x)=\frac{1}{x - 3}\)，因为\(x - 3 \neq 0\)，解得\(x \neq 3\)，定义域为\(\{x|x \neq 3\}\)，用区间表示为\((-\infty, 3) \cup (3, +\infty)\)。

三、偶次根式函数的定义域

偶次根式函数是指含有偶次根式（如二次根式、四次根式等）的函数。

一般形式为\(y = \sqrt[2n]{f(x)}\)（\(n\in N^+\)），其中\(f(x)\)是一个函数表达式，并且要满足\(f(x)\geqslant0\)，因为在实数范围内，偶次根式下的数不能为负数。例如，\(y = \sqrt{x - 1}\)、\(y=\sqrt[4]{x^2 + 2x}\)都是偶次根式函数。

对于偶次根式函数\(y = \sqrt[2n]{f(x)}\)，其定义域是使\(f(x)\geqslant0\)的\(x\)的取值范围。

比如函数\(y = \sqrt{x + 3}\)，要使根式有意义，则\(x+3\geqslant0\)，解得\(x\geqslant - 3\)，定义域是\([-3,+\infty)\)。

比如函数\(y=\sqrt[4]{2 - x^2}\)，由\(2 - x^2\geqslant0\)，即\(x^2\leqslant2\)，解得\(-\sqrt{2}\leqslant x\leqslant\sqrt{2}\)，定义域为\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。

四、对数函数的定义域

对于对数函数\(f(x)=\log_a x\)（\(a>0\)且\(a \neq 1\)），其真数必须大于零，所以定义域要求\(x > 0\)。

例如\(f(x)=\log_2 (x - 1)\)，需满足\(x - 1 > 0\)，即\(x > 1\)，其定义域就是\((1, +\infty)\)。

若对数函数的真数部分是一个表达式，比如\(f(x)=\log_3 (x^2 - 4x + 3)\)，则要令\(x^2 - 4x + 3 > 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 3) > 0\)，通过求解不等式可得\(x < 1\)或\(x > 3\)，所以定义域为\((-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\)。

五、三角函数的定义域

1、正弦函数 \(y = \sin x\) 定义域为\(R\)，即\((-\infty,+\infty)\)。

因为对于任意实数\(x\)，都可以在单位圆上找到对应的角度，从而确定正弦函数的值.

2、余弦函数 \(y = \cos x\) 定义域为\(R\)，即\((-\infty,+\infty)\)。

同样，对于任意实数\(x\)，都能在单位圆上确定相应的角度，进而得到余弦函数的值.

3、正切函数 \(y = \tan x\) 

正切函数的表达式为\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，由于分母不能为\(0\)，即\(\cos x\neq0\)。

所以\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)，其定义域为\(\left\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)。

4、余切函数 \(y = \cot x\) 

余切函数 \(y = \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，则\(\sin x\neq0\)。

因此\(x\neq k\pi,k\in Z\)，定义域是\(\left\{x|x\neq k\pi,k\in Z\right\}\).

5、正割函数 \(y = \sec x\) 

正割函数\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，因为\(\cos x\neq0\)。

所以其定义域为\(\left\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)，与正切函数的定义域相同.

6、余割函数 \(y = \csc x\) 

余割函数\(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\)，由于\(\sin x\neq0\)。

则其定义域是\(\left\{x|x\neq k\pi,k\in Z\right\}\)，和余切函数的定义域一致。

六、复合函数的定义域

1. 复合函数的定义

设\(y = f(u)\)是一个函数，\(u = g(x)\)是另一个函数，如果\(y\)可以通过\(u\)表示为\(x\)的函数，即\(y = f(g(x))\)，那么\(y = f(g(x))\)就是一个复合函数，其中\(u\)称为中间变量。

2. 定义域的确定原则

首先要考虑内层函数\(u = g(x)\)的定义域。因为复合函数是基于内层函数的输出作为外层函数的输入，所以\(x\)的取值范围要保证\(g(x)\)有意义。

然后，要考虑外层函数\(y = f(u)\)的定义域。对于\(u = g(x)\)的值域中的每一个\(u\)，必须满足\(u\)在\(f(u)\)的定义域内。

3. 具体步骤和示例

例1：设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(u = g(x)=x - 1\)，求复合函数\(y = f(g(x))=\sqrt{x - 1}\)的定义域。

对于内层函数\(g(x)=x - 1\)，\(x\)可以取任意实数，其定义域为\(R\)。

对于外层函数\(f(u)=\sqrt{u}\)，要求\(u\geqslant0\)。因为\(u = g(x)=x - 1\)，所以\(x - 1\geqslant0\)，解得\(x\geqslant1\)。

综上，复合函数\(y = \sqrt{x - 1}\)的定义域是\([1,+\infty)\)。

例2：设\(f(u)=\frac{1}{u}\)，\(u = g(x)=x^2 - 4\)，求复合函数\(y = f(g(x))=\frac{1}{x^2 - 4}\)的定义域。

先看内层函数\(g(x)=x^2 - 4\)，\(x\)可以取任意实数，定义域为\(R\)。

对于外层函数\(f(u)=\frac{1}{u}\)，要求\(u\neq0\)。因为\(u = g(x)=x^2 - 4\)，所以\(x^2 - 4\neq0\)，即\((x + 2)(x - 2)\neq0\)，解得\(x\neq\pm2\)。

因此，复合函数\(y=\frac{1}{x^2 - 4}\)的定义域是\(\{x|x\neq\pm2\}\)。

例3：设\(f(u)=\log_{2}(u)\)，\(u = g(x)=3 - x\)，求复合函数\(y = f(g(x))=\log_{2}(3 - x)\)的定义域。

内层函数\(g(x)=3 - x\)的定义域是\(R\)。

对于外层函数\(f(u)=\log_{2}(u)\)，要求\(u>0\)。因为\(u = g(x)=3 - x\)，所以\(3 - x>0\)，解得\(x<3\)。

所以复合函数\(y = \log_{2}(3 - x)\)的定义域是\((-\infty,3)\)。

七、注意事项！！！

1、多种限制条件并存：

有时候一个函数解析式中会同时涉及多种情况，比如\(f(x)=\frac{\sqrt{x - 1}}{\log_2 (x - 2)}\)。

此时既要满足偶次根式中被开方数非负（\(x - 1 \geq 0\)，即\(x \geq 1\)），

又要保证对数函数真数大于零（\(x - 2 > 0\)，即\(x > 2\)），

还要考虑分母不为零（\(\log_2 (x - 2) \neq 0\)，也就是\(x - 2 \neq 1\)，即\(x \neq 3\)），

综合这些条件，通过解不等式组可得\(x > 2\)且\(x \neq 3\)，其定义域为\((2, 3) \cup (3, +\infty)\)。

2、实际问题中的定义域：

如果函数是基于实际问题建立的解析式，那么除了要考虑数学上的有意义情况，还需结合实际背景进一步限定自变量的取值范围。

例如，在一个计算长方形面积的函数\(S = xy\)（设长为\(x\)，宽为\(y\)），如果已知长方形周长固定为\(20\)，且长和宽都要求是正数，那么根据周长公式可得\(y = 10 - x\)，代入面积函数得\(S = x(10 - x)\)，此时定义域就不仅要考虑函数本身有意义，还要结合实际情况限定\(0 < x < 10\)。

总之，已知函数解析式求定义域，需要熟练掌握不同函数类型的要求以及各类运算的限制条件，仔细分析、综合考虑，准确求出自变量的取值范围。 

例1：根式与分式复合函数

求函数\(y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}\)的定义域。

分析：

对于根式部分\(\sqrt{x - 1}\)，要使其有意义，则\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)。

对于分式部分，分母不能为\(0\)，即\(x - 2\neq0\)，所以\(x\neq2\)。

综上，函数的定义域为\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。

例2：对数与根式复合函数

求函数\(y=\log_{2}(x - 1)+\sqrt{3 - x}\)的定义域。

分析：

对于对数函数\(\log_{2}(x - 1)\)，其真数必须大于\(0\)，即\(x - 1>0\)，解得\(x>1\)。

对于根式\(\sqrt{3 - x}\)，有\(3 - x\geq0\)，即\(x\leq3\)。

所以函数定义域为\((1,3]\)。

例3：多个根式复合函数

求函数\(y = \sqrt{x - 2}+\sqrt{4 - x}\)的定义域。

分析：

由\(\sqrt{x - 2}\)可得\(x - 2\geq0\)，即\(x\geq2\)。

由\(\sqrt{4 - x}\)可得\(4 - x\geq0\)，即\(x\leq4\)。

因此，函数定义域为\([2,4]\)。

例4：三角函数与分式复合函数

求函数\(y=\frac{\sin x}{x - \pi}\)的定义域。

分析：

对于分式，分母不能为\(0\)，即\(x-\pi\neq0\)，解得\(x\neq\pi\)。

因为正弦函数\(\sin x\)的定义域是\(R\)，所以综合考虑，函数定义域为\(\{x|x\neq\pi\}\)。

例5：指数函数与根式复合函数

求函数\(y = 2^{\sqrt{x + 1}}\)的定义域。

分析：

对于根式\(\sqrt{x + 1}\)，需满足\(x + 1\geq0\)，解得\(x\geq - 1\)。

指数函数\(2^{u}\)（这里\(u = \sqrt{x + 1}\)）的定义域是\(R\)，所以函数定义域为\([-1,+\infty)\)。

例6：对数函数与分式复合函数（嵌套）

求函数\(y=\log_{3}(\frac{1}{x - 1}-1)\)的定义域。

分析：

首先，对于对数函数，其真数\(\frac{1}{x - 1}-1\)必须大于\(0\)。

解不等式\(\frac{1}{x - 1}-1>0\)，通分得到\(\frac{1-(x - 1)}{x - 1}>0\)，即\(\frac{2 - x}{x - 1}>0\)。

这个不等式等价于\((2 - x)(x - 1)>0\)且\(x - 1\neq0\)，解得\(1<x<2\)。

所以函数定义域为\((1,2)\)。

例7：根式、分式与对数函数复合函数

求函数\(y=\log_{2}\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}\)的定义域。

分析：

对于对数函数，其真数\(\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}\)必须大于\(0\)。

首先，对于根式\(\sqrt{x - 3}\)，\(x - 3\geq0\)，即\(x\geq3\)。

对于分式\(\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}\)，分母\(x - 4\neq0\)，即\(x\neq4\)，且要满足\(\sqrt{x - 3}\)与\(x - 4\)同号。

当\(x>4\)时，\(\sqrt{x - 3}>0\)，满足条件；当\(3\leq x<4\)时，\(\sqrt{x - 3}\geq0\)，\(x - 4<0\)，不满足条件。

所以函数定义域为\((4,+\infty)\)。

例8：三角函数与根式复合函数（绝对值）

求函数\(y = \sqrt{\vert\sin x\vert - \frac{1}{2}}\)的定义域。

分析：

对于根式\(\sqrt{\vert\sin x\vert - \frac{1}{2}}\)，要使其有意义，则\(\vert\sin x\vert - \frac{1}{2}\geq0\)。

即\(\vert\sin x\vert\geq\frac{1}{2}\)，解得\(x\in[2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}]\cup[2k\pi+\frac{7\pi}{6},2k\pi+\frac{11\pi}{6}],k\in Z\)。

所以函数定义域为\([2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}]\cup[2k\pi+\frac{7\pi}{6},2k\pi+\frac{11\pi}{6}],k\in Z\)。

例9：双根式与分式复合函数

求函数\(y=\frac{\sqrt{x - 1}+\sqrt{5 - x}}{x - 3}\)的定义域。

分析：

对于根式\(\sqrt{x - 1}\)，\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)。

对于根式\(\sqrt{5 - x}\)，\(5 - x\geq0\)，即\(x\leq5\)。

对于分式，分母\(x - 3\neq0\)，即\(x\neq3\)。

综上，函数定义域为\([1,3)\cup(3,5]\)。

例10：复合函数嵌套多层（指数、对数、根式）

求函数\(y=\log_{3}(2^{\sqrt{x - 2}} - 1)\)的定义域。

分析：

对于对数函数，其真数\(2^{\sqrt{x - 2}}-1\)必须大于\(0\)。

即\(2^{\sqrt{x - 2}}>1 = 2^{0}\)，所以\(\sqrt{x - 2}>0\)。

对于根式\(\sqrt{x - 2}\)，\(x - 2\geq0\)，且\(x - 2\neq0\)，解得\(x>2\)。

所以函数定义域为\((2,+\infty)\)。

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